数学眼光,因对比而深刻：小学数学五下“找次品”课例研究

数学眼光，因对比而深刻：小学数学五下“找次品”课例研究
一、研究背景
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。

在提倡学生核心素养的当下，如何让“找次品”这类“难课”简单教，让学生在收获知识技能的同时感悟数学思想，发现现象背后的数学道理，就成了我想解决的问题。

二、课前思考
（一）教材分析
“找次品”是人教版小学数学五年级下册数学广角中的内容，包含两个例题。

例1是从“3个里面找一个次品”，初步感悟用天平找次品的推理过程。

要求学生能说、会记，为例2研究“从8个中找一个次品”做铺垫。

根据教材的编排，教学例2时，教师要大胆放手，让学生充分发散思维去找次品，再通过列表统计学生找次品的方法，观察发现“一分为三”是最优的策略，最后从“10个、11个中找一个次品”验证自己的发现是否合理。

教材蕴含的数学思想非常丰富，有优化思想、演绎推理思想、几何直观、模型思想等。

（二）学情分析
通过研磨发现：一是学生容易想到用天平去找次品，二是在分物品时，学生基本上会把8个分成（4，4）来称，9个分成（3，3，3）来称，少部分学生会分成（4，4，1）来称。

（三）设计理念
本课以培养学生“数学眼光”为目标，顺应学生的经验与思考，巧妙利用“对比—质疑”手段，唤醒学生思维，发现数学现象背后的道理。

三、教学设计
（一）教学目标
1.在不断尝试、对比、质疑中理解“一分为三”策略更优的道理，能解决简单的“找次品”问题。

2.借助天平，会用“如果……那么”“接下来从……中找”的语言表达找次品的过程，发展演绎推理能力，感悟优化思想。

3.发展想象力，积累数学活动经验，感受数学的魅力。

（二）教学重点
会“一分为三”地解决简单的“找次品”问题。

（三）教学难点
理解“一分为三”是最优策略的道理。

（四）教学准备
希沃互动课件。

四、课堂实录
（一）课题质疑，导入新课
师：（课件出示：找次品）今天我们学什么？你有什么疑问吗？
生：什么是次品？怎么找次品？为什么要找次品？
师：（根据学生回答，相机板书课题、问号）
（二）自主探究，感受推理
1.尝试解决从3个中找一个次品。

师：（课件出示问题：从3个乒乓球中找一个轻的次品）请你默读，知道了什么？
生：有3个乒乓球，一个轻一些，要把它找出来。

师：那个轻的我们就看作次品。

像这样，不符合标准要求的物品就称为次品。

现在解决第二个问题，怎么找？
生：用手掂量，能确定吗？
师：还有别的方法吗？
生：用天平称。

师：老师这里有一个天平，可是没有砝码，怎么称呢？
学生讨论。

2.反馈。

师：（准备好希沃互动课件）谁愿意到前面来称一称？边操作边说说怎么找，需要几次。

生：（拖动课件上的乒乓球）天平两端各放一个，如果平衡，次品就是外面的那一个，如果不平衡，次品就是上升的那一个，一次就能找出来。

师：谁来评一评，他讲得怎么样？好在哪里？
生：说得很清楚。

师：他怎么说的？（出示语言范式：天平两端各放一个，如果平衡，次品就是天平外面那一个；如果不平衡，那么次品就是上升的那一个。

）
师：是呀，用上“如果……那么”，就能把称的情况讲清楚。

外面的这一个怎么没有称？
生：只要称两个，第三个可以想出来。

师：请大家按照这种方式跟你的同桌说一遍怎么称的，可以边说边手势比划。

（三）展示交流，暴露思维
1.顺应“一分为二”的学情，研究从8个中找一个次品。

师：（课件出示从8个中找一个次品）现在从8个里面找一个次品，你至少需要几次找出来？
生：（独立画图找一找）
师：边称边讲解，其他同学思考，和你的次数一样吗？
生：（边称边讲）把8分成（4，4），天平两端各放4个，如果天平不平衡，次品在上升的4个里面，再把4分成（2，2），如果不平衡，说明次品在上升的2个里面。

再把2分成（1，1），次品就是上升的那一个，需要3次找出来。

师：（帮学生把分法记录在副板上）可以简化一下语言，这样说：如果……那么……，接下来从……中找。

3次确定吗？大家同意吗？
生：同意。

2.研究从9个中找一个次品，体会从不利的角度去想。

师：从9个里面找一个次品（次品轻一些）你会找吗？请用画图的方法记录下你找的过程，再跟同桌交流，看谁的次数少。

学生自主探究。

师：谁的次数最少？请到前面讲解。

生：将9分成（4，4，1），如果平衡，那么次品就是天平外面那一个；如果不平衡，次品就在上升的4个里面。

接下来从4个里面找，如果不平衡次品就在上升的两个里面，接下来从2个里面找，次品就在上升的那个盘子里，需要3次找出来。

师：当4和4称的时候，一次就找出来了嘛，为什么还要称呢？
生：因为不确定。

师：也就是说不仅要次数少，还要保证找出来，要从剩下的那个大数里面去找。

从最不利的情况去思考，会让方法更稳妥。

（板书：从大数中找）
师：还有别的方法吗？
生：（边演示边讲解，其他学生发自内心地鼓掌。

）
（四）对比质疑，发展眼光
1.对比把9分成（4，4，1）和（3，3，3）的称法，有什么不一样呢？
生：一个平均分了，一个没有平均分。

2.对比把8分成（4，4）和9分成（3，3，3）的分法，为优化“一分为三”做铺垫。

师：（课件出示图1）你有什么疑问呢？
生：为什么总数多找次品的次数反而少呢？
师：你真善于思考。

是呀，这是为什么呢？
生1：两端的个数不一样。

要放3个。

师：这里的个数是怎么来的呢？它们的分法一样吗？8个能不能也2次找出来呢？赶紧再试试。

生：（兴奋地）我找到了。

（画图讲解）
（五）数形结合，解释道理
1.“一分为二”与“一分为三”进行对比。

师：（出示“一分为二”与“一分为三”的对比图，如图2。

）都是从8个乒乓球里面找一个次品，怎么次数不一样呢？你觉得是什么问题？快跟同桌讨论讨论。

生：（讨论后还是不明白。

）
师：（教师启发）左边的这种分法可以称为“一分为二”，次品可能会在哪里？右面这种分法可以称为“一分为三”，次品可能会在哪里？（相机板书：一分为二、一分为三）
生：左面的称法次品可能会在天平的左边、右边，右边的称法次品可能会在天平的左边、右边、外面。

师：（边说边擦出第三个盘子）这有什么好处呢？
生：……
师：多了一个盘子，就能帮我们多想一种情况。

而左边这种分法其实也有第三个盘子，只不过那里面是0个，是空闲状态，它想帮忙也帮不上啊！看来，“一分为三”比“一分为二”好。

2.对比“一分为三”的其他分法，归纳“尽量平均分，最多和最少相差1”。

师：这“一分为三”的称法确实好，充分利用了第3个盘子，缩小了查找的范围。

是不是任意分3份都可以呢？展示（1、1、6）（2、2、4）（4、4、1）
生：发现有的分3份称的次数并不是最少的。

师：看来这分三份是有讲究的，请你们对比观察，应该怎样分呢？
生：平均分三份，不能平均分3份的，最多和最少相差1。

3.“一分为三”与“一分为多”进行对比。

师：你还有什么想法？
生1：会不会分4份称的次数更少呢？
生2：会不会分的份数越多，称的次数越少呢？
师：你很有问题意识，大家觉得呢？赶紧验证一下你的想法吧。

生：（验证发现：称的次数会大于2次。

）
师：（出示条形图，数形结合，说明道理。

）看来，只有“一分为三”才是最优策略。

（六）回顾小结，拓展应用
（出示从80个里面找一个次品）
五、课例反思
（一）合理取舍，抓住问题本质进行简单而深刻的教学
“怎么分物品”就是找次品的核心问题，“一分为三”就是最优的策略。

围绕重要内容多角度探究，直达问题本源。

（二）选取典型素材，为学生搭建探究支架
抓住最典型的素材展开探究。

通过分析，从3个中找必须探究，因为那是学会推理的开始。

从8个中找的情况比较复杂，便于各种方法的对比，从9个中找比较容易想到一分为三，引发认知冲突。

有了从9个中找的启发，再回头研究8个的主动性就更强一些。

（三）善用对比引质疑，发展数学眼光
应用“对比”这一教学策略，引起学生思考。

第一次对比：天平外面的为什么不称？感受推理的重要性。

第二次对比：把9分成（4，4，1）和（3，3，3）进行对比称，感受平均分的重要性。

第三次对比：9个只需称2次就能保证找到次品，8个却需要3次，这合理吗？第四次对比：同样是从8个物品中找一个次品，为什么把8个分成（3，3，2）两次就可以称出来，而分成（4，4）却需要3次？发现分法不同，把目光聚焦到“第3个盘子”上。

第五次对比：把8个分成3份称的不同情况进行对比，发现“使最大数与最小数的差为1”的这种尽量平均分的方法最好。

第六次对比：“一分为三”和“一分为多”进行对比，通过数形结合发现，分的份数越多，第二次查找的范围越大，再次确认“一分为三”就是最好的策略。