2019高中数学第一章单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版

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,
2π 3
上是减少的,且
sin
-
π 6
=-12,sin23π =
23,
所以 y=sin x 在 x=-π6时取最小值-12,在 x=π2时取最大值 1.故 y=-
3sin x+1 在
-
π 6
,
2π 3
上的最大值是-3×
-
1 2
+1=52;最小值是-3×1+1=-2.
反思感悟对于形如y=asin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x
一二三
【做一做1】 (1)函数y=-2sin x的定义域是
,值域

,最小正周期是
,在区间

是增加的,在区间
上是减少的.
(2)函数y=cos x-2的定义域是
,最大值为
,最小
值为
,在区间
上是增加的,在区间
上是减少的.
答案:(1)R [-2,2] 2π
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)
2������π
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
(1)cos 945°;
(3)cos
3π 2
+
π 3
;
(2)sin356π;
(4)sin
-
100π 3
.
解:(1)cos 945°=cos(2×360°+225°)
=cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=- 22.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (1.9)
sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (1.10)
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (1.11)
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α. (1.12)
=
=
cos10°+ 1-sin210°
2cos10°
=2scions8100°°
=
cos10° 2cos10°
=
12.
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)(方法一)当 n=2k,k∈Z 时,
原式=ssinin((���������+���+22���������π���π))+csoisn((���������-���-22���������π���π)) = co2s������. 当 n=2k+1,k∈Z 时,
+
π 2
,2������π
+
3π 2
(k∈Z)
2������π-
(2)R -1 -3 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
一二三
二、特殊角的终边的对称关系
1.角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;
2.角α±π的终边与角α的终边关于原点对称;
3.角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
答案:(1) (2) (3)× (4)
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】 已知函数y=-3sin x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
(2)求函数在区间
-
π 6
,
2π 3
上的最值.
思路分析:可模仿函数y=sin x的有关性质来研究函数y=-3sin x+1
(2)sin356π=sin
4π + 11π
6
=sin116π
=sin
2π-
π 6
=-sinπ6=-12.
(3)cos
3π + π
23
=cos
π+π+π
23
=-cos
π+π
23
=-
-sin
π 3
= 23.
(4)sin
-
100π 3
=-sin
32π + 4π
3
=-sin43π=-sin
π+π
3
=sinπ3
一二三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
“×”.
(1)若α+β=π,则α与β的终边关于y轴对称.( )
(2)对于 k∈Z,cos
������π 2
+
������
=sin α 一定成立. (
)
(3)存在角α,使sin(π+α)=sin α,cos(π-α)=cos α. ( ) (4)在△ABC中,若A+B= π2,则均有sin A=cos B,cos A=sin B成立. ()
+
π 6
+
������
=
π 2
;
π 4
-������
+
π 4
+
������
= π2;A+B+C=π,������+���2���+������ = π2(A,B,C 是△ABC 的三个内角)等.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练 3 已知 cos
������
+
π 4
= 23,则 sin
π 4
-������
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
课标阐释 思维脉络
1.能结合单位圆理 解正弦函数、余弦 函数的基本性质. 2.会求一些简单的 函数的性质. 3.了解特殊角的终 边的对称关系. 4.能借助单位圆直 观地探索正弦函 数、余弦函数的诱 导公式. 5.掌握诱导公式求 任意角的正弦函 数、余弦函数.
的相关性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)由y=sin x的性质可得y=-3sin x+1的性质如下:
定义域:R.
值域:[-2,4].
周期性:周期为2π.
单调性:由
y=sin
x
在区间
2������π-
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)上是增加的,在
2������π
+
π 2
,2������π
的值等于(
)
A.23
B.-23
C.
5 3
D.±
5 3
解析:sin
π 4
-������
=sin
π 2
-
π 4
+
������
=cos
������
+
π 4
= 23.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
诱导公式在三角形中的应用
【例 4】 在△ABC 中,若 sin������+2������-������=sin������-���2���+������,试判断△ABC 的形状. 思路分析:充分利用三角形内角和定理以及诱导公式,寻求两内 角之间的关系,从而确定三角形形状.
(2)cos
5π 6
+
������
=cos π-
π 6
-������
=-cos
π 6
-������
=- 23.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给值求值问题,观察已知角和待求角的关系,运用诱导
公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相
同的角.
2.一些常见的角之间的关系有:
π 3
-������
+
3π 2
(k∈Z)上是减少的,知
y=-3sin
x+1
在区间
2������π-
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)上是减少的,在区间
2������π
+
π 2
,2������π
+
3π 2
(k∈Z)上
是增加的.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)因为函数
y=sin
x

-
π 6
,
π 2
上是增加的,在
π 2
π 3
-������
+
π 6
+
������
=
π 2
,
π 6
-������
+
5π 6
+
������
=π,然后运用诱导公式可以将问题顺
利地解决.
解:(1)∵
π 3
-������
+
π 6
+
������
= π2,
∴cos
π 6
+
������
=cos
π 2
-
π 3
-������
=sin
π 3
-������
= 12.
【做一做 2】 (1)角π6与角-π6的终边关于
(2)角π3与角23π的终边关于
对称;
(3)角π5与角65π的终边关于
对称;
(4)角π与角-3π的终边关于
对称.
4
4
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
对称;
一二三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. (1.8)
一二三
一、正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单
位圆看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质:
1.定义域是R;
2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
3.它们是周期函数,其周期都是2kπ(k∈Z),最小正周期为2π;
4.正弦函数
sin
π 2
+
������
=cos α,cos
π 2
+
������
=-sin α. (1.13)
sin
π 2
-������
=cos α,cos
π 2
-������
=sin α. (1.14)
公式1.8~1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
一二三
2.诱导公式的记忆方法 任意角可归纳为 k·π2±α 的形式,则诱导公式可概括为“奇变偶不 变,符号看象限”: (1)“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变. ((23))““奇 象”限“偶”指”是k·对π2±kα·π2中±,α将中α的看整作数锐k角来时讲,k的·π2±. α 所在象限,再根据 “一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值符号.
C.
3 2
D.-
3 2
解析:cos 330°=cos(360°-30°)=cos 30°= 23.
答案:C
【做一做4】 sin 95°+cos 175°的值为( ) A.sin 5° B.cos 5° C.0 D.2sin 5° 解析:sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0. 答案:C
=
23.
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求值问题
【例 3】
(1)已知 sin
π 3
-������
= 12,求 cos
பைடு நூலகம்π 6
+
������
的值;
(2)已知 cos
π 6
-������
=
23,求 cos
5π 6
+
������
的值.
思路分析:首先对所求三角函数中的角与已知三角函数中的角作
比较,采用整体分析的方法,建立角与角之间的关系,如
一二三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程 任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数 上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了 化未知为已知的数学思想.
一二三
【做一做3】 cos 330°等于( )
A.12
B.-12
原式=ssinin[[���������+���+((22���������+���+11))ππ]]+cosisn[[���������-���-((22���������+���+11))ππ]]
=-co2s������.
所以原式=
2 cos������
(������为偶数),
-
2 cos������
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)原式=sin260°-cos 0°+tan 45°-cos230°+sin 30°
=34-1+1-34
+
1 2
=
12.
1+cos(180°-80°)sin(90°+80°)
(2)原式=
cos(360°+10°)+ 1-sin2(180°-10°)
1+(-cos80°)cos80° 1-cos280°
(������为奇数).
(方法二)原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))���������c���soisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
探究一
探究二
探究三
探究四
利用诱导公式化简与求值 【例2】 计算: (1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2) 1+cos100°sin170° ;
cos370°+ 1-sin2170°
(3)ssinin((���������+���+���������π���π))+cosisn((���������-���-���������π���π))(n∈Z).
y=sin
x
在每一个区间
2������π-
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)上是增
加的,在每一个区间
2������π
+
π 2
,2������π
+
3π 2
(k∈Z)上是减少的;余弦函数
y=cos x在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在每一个区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
的性质.要清楚a,b对函数y=asin x+b的影响,若参数不确定还要注意
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