中考考点——二次函数知识点汇总情况(全)

内容：1、一元一次函数；
2、一元二次函数；
3、反比例函数
★二次函数知识点 一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数
2
y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c
，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式：
1. 二次函数基本形式：二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a b ac k a b h 4422
-=
-=，.
2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2ax y =；②k ax y +=2；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤
c bx ax y ++=2 三、二次函数的性质：
1、2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.
2
y ax c =+的性质：上加下减。

a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()00，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．
0a <
向下
()00，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随
x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()0c ，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．
3.
()
2
y a x h =-的性质：左加右减。

4.
()2
y a x h k
=-+的性质：
5.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同. 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线
a b x 2-
=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是
h x =.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、二次函数图象的平移：
0a <
向下
()0c ，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随
x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随
x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．
0a <
向下
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随
x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随
x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．
0a <
向下
()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随
x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．
1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k
=-+，确定其顶点坐标(
)
h k ，；
⑵ 保持抛物线2
y ax =的形状不变，将其顶点平移到(
)
h k ，处，具体平移方法如下：
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】
平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2. 平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，
c bx ax y ++=2
变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，
c bx ax y ++=2
变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
五、二次函数
()2
y a x h k
=-+与2
y ax bx c =++的比较
从解析式上看，
()2
y a x h k
=-+与
2
y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中
2
424b ac b h k a a -=-=
，． 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数
2
y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，
a
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0
b >
时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0
b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，0
2b
a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0
b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
（3）ab 的符号的判定：对称轴a b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是
“左同右异”
3. 常数项c ：⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与
y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位
置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 七、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2
y ax bx c =---；
()2
y a x h k
=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k
=---；
2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c =-+； ()2
y a x h k
=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2
y ax bx c =-+-；
()2
y a x h k
=-+关于原点对称后，得到的解析式是
()2
y a x h k
=-+-；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）：
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a =--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．
5. 关于点
()
m n ，对称：()2
y a x
h k
=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是
()2
22y a x h m n k
=-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a
永远不变．求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原
抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 八、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数
2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其
中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
2214b ac
AB x x a
-=-=
.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线
2
y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2
y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判
断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下
面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
0∆> 抛物线与x 轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
∆= 抛物线与x 轴只有一个交点
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<
抛物线与x 轴无交点
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
九、函数的应用
⎧⎪
⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少
★二次函数考查重点与常见题型
1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x 为自变量的二次函数2)2(2
2--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是（ ）。

2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函
数
12
-+=bx kx y 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D
3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性
的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为
35
=
x ，求这条抛物线的解析式。

4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线
2
y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数2
y ax bx c =++的图像如图1，则点
),(a c
b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于
)0,
(
1
x
A，)0,
(
2
x
B两点)
(
2
1
x
x<，
交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1·x2=3<0，又∵x1<x2，
∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．
∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．
∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5．
当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，∠MCO>∠ACO．
例5、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）1
5 2
3
…
y（件）2
5 2
1
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则
1525,
220
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩解得
k=-1，b=40，•即一次函数表达
式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元：w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
★二次函数知识点汇总★
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线
c
bx
ax
y+
+
=2中，c
b
a,
,的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与
2
ax
y=中的a完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a b
x 2-
=,故：
①0=b 时，对称轴为y
轴；②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在
y 轴左侧；
③0<a b (即a 、b 异号)时,对称轴在
y 轴右侧.
(3)c 的大小决定抛物线
c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线
c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0
<a b
.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下
0=x (y 轴)
(0,0) k ax y +=2
0=x (y 轴) (0, k ) ()2
h x a y -=
h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2
h x = (h ,k )
c bx ax y ++=2
a b
x 2-
=
(a b ac a
b 4422--，
) 11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：
c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点
(1)y 轴与抛物线
c bx ax y ++=2
得交点为(c ,0) (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02
=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与
x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴
上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，
两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数
()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 ⎩⎨⎧++=+=c bx ax y n
kx y 2
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线
c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c
x x a b x x =⋅-=+2
121,
()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
13．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数
c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数
c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02
=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
有两个不相等的实数根；当二次函数
c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴没有交点时，则一元二
次方程02
=++c bx ax 没有实数根
14.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它
们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二
二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）
知识点四，正比例函数和一次函数
1、一般地，如果
b
kx
y+
=（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数
b
kx
y+
=中的b为0时，kx
y=（k为常数，k≠0）。

这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数
b
kx
y+
=的图像是经过点（0，b）的直线；正比
例函数
kx
y=的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号b的符号函数图像图像特征
k>0 b>0
y
0 x
图像经过一、二、三象限，y随x的增
大而增大。

b<0
y
0 x 图像经过一、三、四象限，y随x的增
大而增大。

K<0 b>0
y
0 x
图像经过一、二、四象限，y随x
的增大而减小
b<0
y
0 x
图像经过二、三、四象限，y随x
的增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数kx y =有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

5、一次函数的性质
一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

解这类问题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念：一般地，函数
x k
y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式
也可以写成1
-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实
数。

2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的性质 反比例函数
)0(≠=
k x k
y
k 的符号 k>0
k<0
图像
y
O x
y
O x
性质
①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定：确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数
x k
y =
中，只有一
个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：一般地，如果特
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于
a b
x 2-
=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线
c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点
（1）一般 一般式：
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时，即对应二次好方程02
=++c bx ax 有实根1x 和
2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可
转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最
小值），即当a b x 2-=时，a b ac y 442
-=
最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b 2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，
a b ac y 442-=
最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2
x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=12
1最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，
c bx ax y ++=22
2最小。

知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（a b
2-，
a b
ac 442
-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a b
2-时，y 随x
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>a
b
2-
时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=a b
2-
时，y 有最小
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（a b 2-，a b ac 442
-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a b
2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>
a b
2-
时，y 随x 的增大而减小，简记左增右
减；
（4）抛物线有最高点，当x=a b
2-
时，y 有最
值，
a b ac y 442-=
最小值
大值，
a b ac y 442-=
最大值
2、二次函数
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下。

b 与对称轴有关：对称轴为x=a b
2-。

c 表示抛物线与y 轴
的交点坐标：（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
()()221221y y x x -+- A
0 x B 2，二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式
()2
y a x h k
=-+，确定其顶点坐标
()h k ，；
② 保持抛物线2
y ax =的形状不变，将其顶点平移到
()h k ，处，具体平移方法如下：
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
③平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。

直线斜率：
121
2tan x x y y k --=
=α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程：①两点由直线上两点确定的
直线的两点式方程，简称两式:
)()(tan 11
21
21x x x x x y y b x b kx y y ---=
+=+=-α 此公式有多种变形
牢记；②点斜 )(11x x kx y y -=-；③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b(k ≠0)
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1
=+b y a x
5、设两条直线分别为，1l
：
11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且
12b b ≠。

若12121l l k k ⊥⇔⋅=-，点P （x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
1
)1(2002
200++-=
-++-=
k b
y kx k b y kx d
抛物线
c bx ax y ++=2
中， a b c,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③
<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在
y 轴右侧. 口诀 --- 同左 异右
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线
经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，
仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0
<a b
.
十一、初中数学助记口诀(函数部分)
特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。

对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。

自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。