2023-2024学年浙江省名校协作体高二(上)适应性数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数为虚数单位，则()
A.1
B.
C.
D.5
2.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为()
A. B. C. D.
3.设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列结论正确的是()
A.B.P(A)+P(B)≤1
C. D.若，则P(A)≤P(B
4.在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，BC的中点，则直线PM 与NQ所成的角为()
A. B. C. D.90°
5.函数的图像大致为()
A. B. C. D.
6.已知，则以下关系不正确的是()
A. B. C. D.
7.如图，已知AOB是半径为4，圆心角为的扇形，点E，F分别是OA，OB上的两动点，且，点P在圆弧上，则的最小值为()
A.4
B.8
C.
D.16-82
8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是()
A.已知平面向量满足，则
B.已知复数z满足，则
C.已知平面向量满足，则
D.已知复数，满足，则2122＝0
10.已知函数，则.()
A.是奇函数
B.的图像关于点对称
C.有唯一一个零点
D.不等式的解集为(-1,1)U3,+)
11.下列说法中，正确的是()
A.若，则与夹角为锐角
B.若O是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形
C.在中，若，则N为的重心
D.在中，若，则P为的垂心
12.如图，在梯形ABCD中，，，，，E，F为线段AB的两个三等分点，将和分别沿着DE，CF向上翻折，使得点A，B分别至M，在N的左侧，且平面ABCD，O，P分别为DE，CD的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是()
A.O，P，M，N四点共面
B.当时，平面平面ABCD
C.存在某个位置使得DMLFN
D.存在某个位置使得平面平面CFN
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.集合，，，则.
14.已知函数，则不等式的解集为.
15.已知，则的最大值为.
16.已知等腰直角的斜边AB长为4，其所在平面上两动点O、P满足
且、、,若,则的最大值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分)
已知复数R，i是虚数单位》
若z是纯虚数，求m的值和；
设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
18.本小题12分)
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(I)求角B；
(II)从①,②中选取一个作为条件，证明另外一个成立；
(III若D为线段AB上一点，且，，求的面积.
19.本小题12分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
1⑴经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=A s in(w t＋p)＋B(其中，求摩天轮转动一周的解析式；
(游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值.
20.本小题12分)
甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一
场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.
若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率；
2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大.
21.本小题12分)
如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P-ABCM.
1⑴求四棱锥的体积的最大值；
(若棱PB的中点为N，求CN的长；
设的大小为，若求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.
22.本小题12分)
已知，，函数,
讨论的单调性；
2)设，若的最大值为，求的取值范围.
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查复数模的计算，属于基础题.
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.
【解答】
解：，
故选D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积，属于基础题.
根据题意求出圆锥的底面半径和母线长，即可得到侧面积.
【解答】
解：由题意得圆锥底面半径，母线长，
所以其侧面积为
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，事件的包含与相等，事件的并、交运算，属较易题.
根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案.
【解答】
解：对于A选项，若A，B是一个随机试验中的两个事件，
则，故A选项错误；
对于B选项，若，则，故B选项错误；
对于C选项，当A、B相互独立时，，
当A、B不相互独立时，则不成立，故C选项错误；
对于D选项，若，则，故D选项正确.
故选D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，属基础题.
取AB的中点R，连接RN，RQ，，根据M，N，P为中点，得到，从而直线PM与NQ所成的角为或补角，最后解三角形即可得解.
【解答】
解：如图所示：
取AB的中点R，连接RN，RQ，，
因为M，N，P分别为，，的中点，
所以，，
所以，
所以直线PM与NQ所成的角是或它的补角，
易得，
所以是等边三角形，
所以，
故选C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，涉及函数值的计算，属于基础题.
根据题意，由函数的解析式求出与的值，分析选项可得答案.
【解答】
解：根据题意，函数，
则，排除B，C；
,排除D.
故选A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质，指数函数及其性质，幂函数和比较大小，属于中档题.
利用指数函数和幂函数的单调性比较大小对A进行判断，再利用选项A的结论，结合不等式的性质对B进行判断，再利用幂函数的单调性，结合选项A的结论对C进行判断，再利用特例对D进行判断，从而得结论.
【解答】
解：对于因为函数是减函数，而，
所以，即，因此α＞b＞0.
又因为函数在是增函数，而，
所以，即，因此c＞a
综上所述，，故A正确;
对于因为由选项A知：，，所以bc>ab.
又因为由选项A知：，，所以，因此，故B正确;
对于因为函数在是减函数，而由选项A知：，
所以，即，故C正确;
对于若，，则，，因此，故D不正确.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题.
取EF的中点为M，连接OM，PM，结合向量的线性运算得到，根据PM≥OP-OM 即可得到结果.
【解答】
解：取EF的中点为M，连接OM，PM，
因为，，所以，
则
,
因为，，
所以，
又，当且仅当O、P、M三点共线时取等号，
所以，
即的最小值为8.
故选B.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，以及基本不等式求最值或范围和“对勾”函数的性质，涉及到两角和与差的正弦公式，正切函数的单调性，属于难题.
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用C表示B，求出取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围.
【解答】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积为，
由，得，
化简得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或不合题意，舍去，可得，
所以，
由，且，，则，
所以，所以
，
的
所以，
设，其中，
所以，
当且仅当时，即时，取最小值，
由于，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以
故选C.
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的运算律，复数的运算，共轭复数，属于基础题.
由平面向量的数量积的运算律计算判定AC，由复数的模、共轭复数，以及复数的运算判定BD.
【解答】
解：对于A，，，故A正确；
对于B，设，因为满足，则，而，故
,故B正确；
对于C，平面向量，满足，，
,整理得，故选项C正确；
对于D，令，22＝1-2，则，但22=2≠0，故D错误，10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；属于中档题.
求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知
f(1+)+f(1-)=2，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明
在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，
f()<1；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.知D正确.
【解答】
解：对于A，由得：，即定义域为,不关于原点对称，
f()为非奇非偶函数，A错误；
对于B，，
,
..f(1＋c)+f(1-)=2，图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，；
设，则在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，在上单调递减；
f()在上单调递减；由选项B知：图象关于对称，在上单调递减；
当时，，，，在上无零点；当时，
,
,使得，则在上有唯一零点；
综上所述：有唯一一个零点，C正确；
对于D，由选项C知：在和上单调递减，又时，；时，
f()<1；
①当，即时，由得：，解得：舍或；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，满足题意；
④当，即时，，，不合题意；
综上所述：的解集为：，D正确.
故选：BCD.
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，利用向量的数量积求向量的夹角，以及向量数量积的概念及其运算，属中档题.
根据向量数量积的定义，三角形内心的向量式，三角形重心的向量式，向量垂直的性质即可逐一判断.
【解答】
解：对A选项，，与夹角为锐角或零度角，选项错误；
对B选项，是内心，根据内心的向量式可得，
又，：b：：3：4，，为钝角，选项错误；对C选项，在中，若，取BC的中点D，则
=-(+)=-2D，所以N在中线AD上，同理可得N也在AB边的中线上，为△ABC 的重心，选项正确；
对D选项，在中，若，
,,,同理，为的垂心，选
项正确.
故选CD.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查空间翻折情况下的点、线、面间的关系判断，涉及共面问题、线线垂直、面面垂直的判定，属难题.
根据翻折情况分析MN在底面投影的情况，把握特殊状态下点、线、面间的关系即可分析得解.
【解答】
解：连接AP，BP，
由已知各边长度可得、均为等边三角形，
且四边形AEPD、BFPC均为菱形，
故AP与DE互相垂直平分，BP与CF互相垂直平分，
故O也为AP中点，
设M在底面的投影为，N在底面的投影为，
则平面ABCD，平面ABCD，故，
故M、、N、四点共面，
又平面ABCD，平面，平面平面，，
,,故在线段AP上，在线段BP上，
若O、P、M、N四点共面，则由线面平行的性质定理可得，
则，或直线OP与直线重合，
又在线段AP上，在线段BP上，故必与P点重合，
而此时N、、P均重合于一点，MN在平面ABCD内，
这与矛盾，故O，P，M，N四点不共面，故A错误；
取FC中点Q，连接OQ，易知，
由，，且，则四边形为矩形，
若，则，
由，，可得，故，
故与在底面有两种情况，
①时，随着翻折过程从长度6逐渐减小至0，
当且仅当与O重合，与Q重合时，；
②与AB不平行时，此时，，
设，
△PA B中，，，故，
△PM N'中，由余弦定理可得
,当且仅当，即与O重合，与Q重合时，M'N V=3.
综上，当且仅当与O重合，与Q重合时，，
此时平面ABCD，又平面DEM，
故平面平面ABCD，故B正确；
由前面的分析，在情况①下，时，
过M作交AB于H，连接DH，
则四边形MNFH为平行四边形，，
LDMH(或其补角即为DM与NF所成的角，
△D MH中，，
由翻折可知，
(DH最短为D到AE的距离，当N与P重合时，DH最长为DF)
故当时，，此时，故C正确；
同样在①的情况下，由于，
延长DM交CN的延长线于X，延长DE交CF的延长线于Y，
过D作于G，连接CG，
由对称性易得，平面CDG，
即即为平面DEM与平面CFN所成角的平面角，
由翻折可知，
(A、B重合于P时，，DG最短为，XY趋近于垂直平面ABCD时，DG越长，
趋近于等腰中，，故时，为，此时平面平面CFN，故D 正确.
故选BCD.
13.【答案】±2
【解析】【分析】
本题考查含参数的集合关系问题，属于基础题.
根据，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值.
【解答】
解：集合，，，
…m2=4，解得m=±2.
故答案为：±2.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数与不等式，利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.
由分段函数解析式将不等式转化为或，从而可得解集.
【解答】
解：函数，
则不等式
等价于或
解得，
即不等式的解集为故答案为：15.【答案】4【解析】
【分析】
,
本题主要考查利用导数求函数的最值，是中档题.
先从中得出，代入需要求解的式中，考虑a是否等于0，再构造成，
令，最后把要求解的式子看成关于k的函数，研究函数单调性，求出最大值.
【解答】
解：，，
,
当时，
当时，，
令，则原式，
令，，
令，得或，
当或时，；当时，，
函数在和上单调递减，在上单调递增，
又因为当时，恒小于0，当时，恒大于0，
所以当时，取最大值，
所以原式取得最大值为
综上可知，的最大值为4.
故答案为： 4.
16.【答案】3＋4√3
【解析】【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，向量的数量积的概念及其运算，是中档题.
分析可知点P在内或其边界上，取线段AB的中点D，可得，求出的最
大值，即可得的最大值.
【解答】
解：
,
,得，
整理可得，
入1＋入2＋入3＝1且，，，，，，
点P在内或其边界上，取线段AB的中点D，
则
,
当取最大值时，取最大值.
如图，当点P与的顶点C重合时，取得最大值，且最大值为，
,,
当且仅当D，P，O三点共线且P在线段OD上时等号成立，
故答案为：
17.【答案】解：
,
若z是纯虚数，则，解得，
此时，所以
(由可知，所以
元＝(1-2m)-(2m＋1)i，
乏-2之＝2m-1-(6m＋3)i，
又因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
所以，解得
即实数m的取值范围为
【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的几何意义，是中档题.利用复数代数形式的乘除运算化简
(1)由实部为0且虚部不为0列式求得m，再根据复数的模的计算求出；
(求出的代数形式，再由实部小于0与虚部大于0联立不等式组求解.
18.【答案】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以；
(II)证明：选①,
因为，
所以，
所以，即，
所以；
选②,因为，
所以，
所以，
又A，，则，
所以，
即，
所以；
(III)解：由得，则，
因为
，所以,
所以的面积为4.
【解析】
利用余弦定理即可得解；
(II)选①,根据
结合Ⅰ求出C ，A ，可得
，则有
，再根据正弦定理化角为边即
可得证；
选②,利用正弦定理化边为角，再结合Ⅰ即可得出结论；
(III 利用正弦定理求得BC ，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.19.【答案】解：
因为H 关于t 的函数关系式为
其中
，
且摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为米，
所以
，解得
，
，又因为函数周期为30分钟，所以，，
又因为，
所以，因为
，所以
所以
(2因为
，
所以，解得
，
又因为
，所以当第一次到达50米时，，解得，
所以第一次达到50米用时5分钟.经过t 分钟后甲距离地面的高度为
，
,
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差
,
,
因为
，所以当
所以h 的最大值为60
米.
或
时，得
或25分钟时，h 取最大值为60米，
【解析】本题考查了三角函数的模型与实际应用问题，三角恒等变换，是中档题.
1⑴
根据题意，求出A 、B 和、的值，即可写出函数解析式；
(令，求出t 的值，即可得出第一次达到50米的时间；
(求出乙与甲间隔的时间，写出甲、乙距离地面的高度差，利用三角恒等变换求出它的最大值即可.
20.【答案】解：设甲在第i 局获胜为事件
，事件B 为“甲获得本场比赛胜利”，
则
，又
，
;
(若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲与丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.
此时，甲恰好连胜两场的概率
；
若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.此时，甲恰好连胜两场的概率
；
若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场.
此时，甲恰好连胜两场的概率
,
甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大.
【解析】本题考查互斥事件的并事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属较易题.
分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；
(
分第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.
21.【答案】解：取AM 的中点G ，连接PG ，
因为，则，
当平面平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
因为平面平面ABCM ，
所以
平面ABCM ，且
底面ABCM 为梯形，面积为则四棱锥
的体积最大值为
(取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ
，
;
则因为N 为PB 中点，所以NQ 为的中位线，
所以
且
，
因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以且，所以
且
，
故四边形CNQM
为平行四边形，
,
,
,
所以；
(连接DG ，
因为，所以
，所以为
的平面角，即
，
过点D 作
平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，Dz 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，
过P 作于点H ，
因为，
所以，又，
所以，又，
所以平面ABCM ，设，
所以所以所以
设平面PAM 的法向量为
,则，
,
,,
,
,
则令
设平面PBC的法向量为，
因为，
则，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则…
,
令所以
所以，所以当时，有最小值，
所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为
【解析】本题主要考查了锥体体积的计算，空间中的距离计算以及两平面夹角的向量求解，属于较难题目.作出辅助线，得到当平面平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥P-ABCM 的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；
(2作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；
(作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合t的取值范围求出余弦值的最小值.
22.【答案】解：①当时，，则在上单调递减，
②当时，即时，所以在上单调递减，
③当，即，
所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在2)①当
时，
在
上单调递减，
，
(-)=3-b >0，
，,
.f (-)≥|f(⑵
,
,
得②当时，
在
上单调递增，在上单调递减，
又
，
，
，
：(-)+⑵=2-2%≥0，
，
.f (-)≥|f(⑵,
又，
所以
，
,
,
,
又
，
,
又
，
,
上单调递减.
且可得在上单调递增，
所以
综上所述，
【解析】本题考查一元二次函数的图象与性质，二次函数的最值，利用不等式的性质求取值范围，属于较难题.
分三种情况，，，讨论函数的单调性;
2)结合第一问单调性分情况确定最值，让其等于，求出a的取值范围，再求的取值范围.。