第二章解析函数

第二章解析函数
•复变函数的导数
•解析函数的概念
•初等解析函数
复函数的求导法则
由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.
例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，
但处处不可导.
证明对复平面内任意点z , 有
()()
f z z f z +Δ−2.
x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0
lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.
000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000
z f z z f z =Δ+→
Δ所以
lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.
反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。

例5
问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，
如何判别其解析（可导）性？
换句话说：
()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？
解析函数的性质：
(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；
(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

证明必要性. 若存在，设
0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此
000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()
a i
b x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()
a x
b y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,
i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .
αααα==且当时，
0z Δ→120, 0.αα→→
0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),
v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有
00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()
u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().
i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得
设
21.
v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ
于是，
1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，
().
f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微
作业3
第89页，第二章
习题（一）：2；4（1）（3）；
5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。