抛物线 高三数学(文)一轮总复习名师伴学

1. 【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图,设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1。

(I ）求p 的值；
（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x
轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.
【答案】（I ）2p =;（II)()(),02,-∞+∞.
（Ⅱ）
由（Ⅰ)得抛物线的方程为()2
4,F 1,0y
x =,可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠ ,由241y x
x sy ⎧=⎨=+⎩
消去x
得
2440y sy --=,故124y y =-，所以212,B t
t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

又直线AB
的斜率为21
2t
t
-，故直线FN 的斜率为21
2t t
--，
从而的直线
FN ：()21
12t y x t
-=--，直线BN ：2y t
=-，
所以2232,1t N t t ⎛⎫
+- ⎪-⎝⎭
,
设M （m,0），由A ，M,N
三点共线得：2
222
2223
1
t t t t t m t t +
=+--- ,
于是2
221
t m t =-,经检验,m 〈0
或m>2满足题意。

综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.
考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
【思路点睛】(I)当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离,进而可得点到y 轴的距离；(II ）通过联立方程组可得点B 的坐标，进而可得点N 的坐标，再利用A ，M ，N 三点共线可得m 用含有t 的式子表示，进而可得M 的横坐标的取值范围。

2. 【2017天津，文12】设抛物线2
4y x
=的焦点为F ，准线为l.已知点
C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A 。

若120FAC ∠=︒，
则圆的方程为 。

【答案】2
2(1)
(3)1x y ++-=
【考点】1。

抛物线的方程;2。

圆的方程。

【名师点睛】本题设计比较巧妙,考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示,本题只有一个难点，就是0
120
CAF
∠=，
会不会用向量的坐标表示cos CAF
∠,根据图象，可设圆心为()
1,
C m
-,那么方程就是()()
22
11
x y m
++-=,若能用向量的坐标表示角，即可求得m,问题也就迎刃而解了..
3。

【2016高考新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点,曲线y=k
x
(k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）
(A）1
2（B）1 （C）3
2
(D）2
【答案】D
考点：抛物线的性质，反比例函数的性质。

【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置。

对函数
y=k
x (0)
k≠，当0
k>时，在(,0)
-∞，(0,)+∞上是减函数，当0
k<时，在(,0)
-∞，
(0,)
+∞上是增函数。

考点了解A掌握B灵活运
用C
中心在坐标原点的
A
抛物线的标准方程
与几何性质
高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：
1、考查利用定义求弦长、最值、轨迹等,通常以选择、填空形式出现。

2、通常在选择题中考查求标准方程，也可能在解答题中作为第一问进行考查。

3、考查抛物线的焦点、准线等,常以选择、填空形式出现。

4、直线与抛物线相交的弦长问题，中点弦问题，直线与抛物线的交点个数问题。

5、常结合向量、三角等考查有关弦长公式的定值、最值、范围、曲线经过的定点等。

1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方y2＝y2＝－x2＝2py x2＝－
程2px(p〉0)2px(p>0)（p〉0）2py(p〉0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点O（0,0)
对称轴y＝0x＝0
焦点F错误!F错误!F错误!F错误!
离心率e＝1
准线方
程
x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!
范围x≥0，y∈
R
x≤0,y∈
R
y≥0,x∈
R
y≤0，x
∈R
开口方
向
向右向左向上向下
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px (p〉0）上一点P（x0，y0)到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为错误!,准线方程为x＝－错误!。

3．设AB是过抛物线y2＝2px（p〉0）焦点F的弦，
若A（x1,y1），B（x2，y2）,则
（1）x1x2＝错误!,y1y2＝－p2.
（2）弦长｜AB|＝x1＋x2＋p＝错误!（α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
题型一抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3，2)，则|PB｜＋|PF｜的最小值为________．
【答案】4
【解析】如图,过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则｜P1Q｜＝｜P1F|。

则有|PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋|P1Q|＝｜BQ|＝4。

即|PB｜＋｜PF｜的最小值为4。

引申探究
1．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋｜PF｜的最小值．【解析】由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB｜＋|PF｜的最小值即为B,F两点间的距离，
∴|PB｜＋｜PF｜≥｜BF|＝错误!
＝16＋4＝2错误!，
即｜PB｜＋|PF｜的最小值为2错误!。

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x,直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l 的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解题技巧与方法总结
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【变式训练】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【答案】错误!
【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P,
使点P到点A（－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为［1－－1]2＋0－12＝5。

题型二抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C1：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为（）
A．x2＝错误!y B．x2＝错误!y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【答案】D
命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点为F，A（x1,y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝错误!；
(2）错误!＋错误!为定值；
（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【答案】见解析
（2）错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!。

因为x1x2＝错误!，x1＋x2＝|AB|－p,代入上式，
得错误!＋错误!＝错误!＝错误!(定值)．
（3）设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A,B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N,则｜MN|＝错误!(｜AC|＋｜BD|）＝错误!（|AF|＋|BF｜）＝错误!｜AB｜。

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
解题技巧与方法总结
（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下，由于标准
方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【变式训练1】(1)(2016·全国乙卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点．已知｜AB｜＝42，｜DE|＝2错误!，则C的焦点到准线的距离为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3,延长PF交抛物线于Q,若O为坐标原点,则S△OPQ＝________.
【答案】（1）B (2）错误!错误!
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B。

（2）如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0）．
又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8， 由图知点P 的纵坐标y ＝2错误!，
∴P(2,22），∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1)． 方法一 联立直线与抛物线的方程错误! 解之得错误!或错误!
由图知Q （错误!，－错误!），∴S △OPQ ＝错误!｜OF ｜·｜y P －y Q ｜ ＝错误!×1×|2错误!＋错误!｜＝错误!错误!.
方法二 将y ＝2错误!（x －1）代入y 2＝4x ， 得2x 2－5x ＋2＝0，
∴x 1＋x 2＝5
2，∴|PQ|＝x 1＋x 2＋p ＝错误!,
O 到PQ 的距离d ＝错误!， ∴S △OPQ ＝错误!×｜PQ|×d ＝错误!×错误!×错误!＝错误!错误!。

题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若错误!·错误!＝0，则k ＝________。

【答案】2
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C:y2＝2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点,交C的准线于P，Q两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点,证明：AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．
【答案】见解析
解题技巧与方法总结
（1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
（2）有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求"、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
(1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲
线方程，消元,得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【变式训练】（2016·天津模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．
（1）若点F到直线l的距离为错误!，求直线l的斜率;
(2)设A，B为抛物线上两点,且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证：线段AB中点的横坐标为定值．
【答案】见解析
1。

（江苏省南京市溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟考试)
已知点F 为抛物线2
4y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其
准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 。

【答案】43
【解析】试题分析：由抛物线定义得： 15,4,A A x x +==又点A 位于第一
象限,因此4,A
y
=从而
404
.413AF k -=
=-
考点：抛物线定义
2. （河南省林州市第一中学2018届高三8月调研考试）已知抛物线C ：
22(0)x py p =>的焦点为F ,点P 为抛物线C 上的一点，点P 处的切线与直线y x =平行，且3PF =，则抛物线C 的方程为( ） A 。

24x y =
B 。

28x y = C. 26x y = D 。

216x y =
【答案】C
3。

(河南省名校联盟2018届高三第一次段考）过抛物线2
2y px =（0p >）
的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ， B 两点向y 轴引垂线交
y 轴于D , C ，若梯形ABCD 的面积为32则p =(
)
A. 1
B. 2
C. 3 D 。

4 【答案】A
【解析】设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，抛物线焦点(,0)2
p F ，直线AB 方程为
2
p
y x
，联立22
2 ,30242p y x p x px y px
⎧
=-⎪-+
=⎨⎪=⎩ ,，所以
2
12123,4
p x x p x x +==
,则
()
2
12121212422,22x x x x x x p y y p -=
+-=∴-=，则题型
ABCD 的面
积()()21
2
1
2
1132322
2
S AD BC CD x x y y
p =+⋅=+-== ，所以p=1，选A 。

【方法点晴】：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题。

本题注重数形结合以及转化和化归思想的运用。

4。

（黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试)已知抛物线2
:4C y
x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点，
P
为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点,过Q 作
QD MF ⊥于点D ，若2MD FN
=，则MF =__________．
【答案】
32+
【方法点晴】:本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力,属于中档题
5。

(贵州省铜仁一中2016-2017学年高二下学期期末)已知抛物线2
=的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P Q
:4
C y x
、两点，且点Q
在第一象限，若3PF FQ
=,则直线PQ的斜率是( ）
C. 2
D. 3
A. 1
B. 3
3
【答案】D
【方法点晴】:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合考查，其中解答中涉及到直线与抛物线的位置关系的应用,直线方程的应用等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线方程代入抛物线方程,转化为根与系数的关系,以及韦达定理的应用是解答的关键。

6。

(湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考)过抛物线()
2
=>的焦点F作直线l与抛物线C交于,A B两点，当点A的纵坐C x py p
:20
标为1时，2
AF=.
（1）求抛物线C的方程；
（2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M，使得MA MB
⊥，并说明理由.
【答案】(1）2
:4C x
y =；（2）存在点()()6,9,6,9M M -。

【解析】试题分析:(1）运用抛物线的定义建立方程122
p +=求出2p =；
（2）借助题设条件MA MB ⊥建立方程()()1020160x x x x +++=，再运用根与系数的关系得到方程2
04120x kx ++=，通过对判别式的研究发现有解，即
所设的点存在：
解:(1）由抛物线的定义可得1222
p p +=⇒=,故抛物线方程为2
4x
y =;
(2)假设存在满足题设条件的点()00,M x y ，则设直线:+1AB y kx =代入2
4x y
=可得2
440,x
kx --=设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-。

因为
()()10102020,,,MA x x y y MB x x y y =--=--，则由MA MB ⊥可得:
()()()()102010200x x x x y y y y --+--=，即()()()()102010201
1016x x x x x x x x ⎡⎤--+
++=⎢⎥⎣
⎦
，也即()()1020160x x x x +++=，所以2004120x kx ++=，由于判别式()2164816430k ∆=-=->,
此时0
02,6x
x =-=-，则存在点()()2,1,6,9M M --，即存在点()00,M x y 满足题设。

7.（浙江省名校协作体2018届高三上学期考试）如图,已知抛物线
2
1:2C x py 的焦点在抛物线
22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的
动点．
(Ⅰ）求抛物线1
C 的方程及其准线方程；
(Ⅱ）过点作抛物线2
C 的两条切线， A 、B 分别为两个切点，求PAB
∆面积的最小值．
【答案】(Ⅰ）
1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-;（Ⅱ)2.
（Ⅱ）设2
(2,),P t t ()11,A x y ， ()22,B x y ，
8。

（湖北省部分重点中学2018届高三7月联考）已知点A（﹣4，4)、B（4,4），直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2,点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程;
（2)Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线,切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
【答案】(Ⅰ)24
x≠±；（Ⅱ）4．
x y
=()4
试题
解析:(Ⅰ）设M （x ，y ），由题意可得： 44244y y x x ---=-+-， 化为24x y =．
∴曲线C 的轨迹方程为24x y =且()4x ≠±
联立()214y k x m x y
+=-=⎧⎪⎨⎪⎩，化为24410x kx km ﹣（）， 考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和
解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．。