【苏教版】高中数学必修五第1课时：2.1《数列》课时讲义(江苏省启东中学)

【苏教版】高中数学必修五
第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；
3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.
二、过程与方法
1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；
2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
三、情感、态度与价值观
1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

【学法与教学用具】：
1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：
（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263
（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…
（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…
（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38
（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，
16，16，28，32
（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，
12，14，18，116
，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．
（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）
注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

二、研探新知 1．数列的概念
（1）数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，．．．，n a ，．．．，简记为{}n a ．
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那
么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
思考:简述数列与数集的区别.
数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的.
（2）数列的项
数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
说明：数列的概念和记号{}n a 与集合概念和记号的区别：
①数列中的项是有序的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的项是无序的；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复
（3）数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 （4）数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

n N *
∈任意，总有1n n a a +>； 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

n N *
∈任意，总有1n n a a +<；
常数数列：各项相等的数列。

n N *
∈任意，1n n a a +=；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

l N *
∈任意k,
， 有1k k a a +>，也有1l l a a +<， （5）数列是特殊的函数
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集*N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3,...i =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，．．．，()f n ，．．．．（强调有序性）
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出
其对应图象，下面同学们练习画数列的图象，并总结其特点.
说明：数列的图象是一些离散的点 （6）通项公式
一般地，如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的
关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个 数列的通项公式．
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式， 如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
2
)1(11
+-+=
n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
2.数列的表示方法
（1）通项公式法
如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列 ，，，，3210的通项公式为 )(1*∈+=N n n a n ；
1,1,1的通项公式为)(1*∈=N n a n
；
,41,31,21,1的通项公式为)(1*∈=N n n
a n ；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项 n a 为纵
坐标，即以 ),(n a n 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 ,4
1
,31,21,
1为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （3）列表法
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材30P 例1）已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．
解：首项为12111a =⨯-=；第2项为22213a =⨯-=；第3项为32315a =⨯-=．
例2 （教材30P 例2）已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
（1）1n n a n =+；（2）2
(1)2
n n
a -=． 解：用列表法分别给出这两个数列的前项．
n 1
2 3 4
5
1
n n a n =
+ 12 23 34 4
5 5
6 2
(1)2
n n a -=
12- 14 18
- 116
132
- 它们的图象如下图所示．-0.6
-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.301
2
3
4
5
6
例3 （教材31P 例3）写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31； （2）1-，1，1-，1，1-；
（3）
112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （4）13，45，97，169，．．．，； （5）0，2，0，2．
解：（１）21n
n a =-．（２）(1)n
n a =-．（３）1(1)(1)n n a n n +-=+．（４）2
21
n n a n =+．（５）
1(1)n n a =+-．
说明：写出数列的通项公式
（1）关键是寻找n a 与n 的对应关系()n a f n =；
（2）符号用(1)n -或1
(1)n +-来调节；
（3）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；
（4）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的； （5）对于形如a ，b ，a ，b ，．．．，的数列，其通项公式均可写成1(1)22
n n a b a b
a ++-=+- 例4. 在数列{a n }中，a 1=2, a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项. 【解】 (1)设a n =An +B ,由a 1=2,a 17=66得⎩
⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+24
,66172B A B A B A 解得∴a n =4n －2
(2)令a n =88,即4n －2=88得n =2
45
∉N * ∴88不是数列{a n }中的项.
例5. 已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？
提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以
7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项．
四、巩固深化
1. 写出下列数列的通项公式： （1）13
-，18，115-
，1
24
-，．．．，；（2）9，99，999，9999，．．．，；（3）0.7．0.77，
0.777，0.7777，．．．，
答案：（１）(1)(2)n n a n n -=+（２）101n
n a =-（３）71(1)910
n n a =-
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：
（1） 1，0，1，0…； *,2)1(11
N n a n n ∈-+=+
（2）32-，8
3，154-，245，356- 1)1(1)1(2-++⋅-=n n a n
n
3．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），以及任一项n a 与前面一项n a （或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{}n a 的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n
（2）数列的前n 项的和
数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .
1S 表示前1项之和：1S =1a 2S 表示前2项之和：2S =21a a +
……
1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.
∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.
（3）n S 与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩注意验证1n =的情况．
证明：显然1=n 时 ，11S a = 当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21，
1211--+++=n n a a a S
∴ n n n a S S =--1 ∴⎩⎨
⎧-=-1
1S S S a n n n )1()
2(=≥n n 注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a （4）数列的单调性：
设D 是由连续的正整数构成的集合，若对于D 中的每一个n 都有n n a a >+1（或n n a a <+1），则数列}{n a 在D 内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
①);()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ②.1
23
121-⋅⋅⋅⋅
=n n n a a a a a a a a 注意：1．求数列的通项公式与求数列的前n 项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特
别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对)(n f a n =求导，应先对函数)(x f y =求导，然后再分析)(n f 的单调性.
3．n a 与n S 的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“2≥n ”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
五、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．设数列{}n a 满足11111(1).n
n a a n a -=⎧
⎪
⎨=+>⎪⎩
写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：1
11-+
=n n a a
解：据题意可知：3
211,211,123121=+==+
==a a a a a ，58
,3511534==+
=a a a
变题：已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩
⎪
⎨
⎧+==+1
2111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______. 【解析】由a 1=1,且a n +1=12+n n a a 知a 2=31,a 3=51,a 4=71∴a n =
1
21
-n 【答案】a n =1
21-n
例2．已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3），试写出数列的前4项.
解：由已知得233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a
变题：已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式.
【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得 a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31 ……
可推测a n ＝2n －1.
例3．已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 2
2222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即
21
=-n n
a a ∴
11
2
322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=⋅=-
例4．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22；② 12
++=n n S n 。

求数列{}n a 的通项公式。

解：①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222
2-=-+---=n n n n n a n ,经
检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n
②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12
2=-----++=
∴ ⎩⎨⎧=n
a n 23 )2()1(≥=n n
例19. 已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝
)
12)(12(1
+-n n ，求它的前n 项和．
分析：我们先看通项n a ＝)12)(12(1+-n n ，然后将其分裂成⎪⎭
⎫
⎝⎛+--12112121n n ，再求和． 【解】
∵)12)(12(1+-n n =⎪⎭
⎫
⎝⎛+--12112121n n ∴)]121
121()5131()3111[(21+--+-+-=n n S n =1
2+n n
点评: 如果数列的通项公式可转化为())(1n f n f -+形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数
列形如⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a ，其中{}n a 是等差数列，可尝试采用此法．
常用裂项技巧如：
⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1，
(
)
n k n k
n k n -+=++11等．
例19. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211
，求n a . 【解】由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )1
11(
)4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n
a a n 111-=- 211=
a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
【例5】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a . 【解】由条件知
1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n
n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 1
1=⇒ 又321=
a ，n
a n 32
=∴
5．已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a . 【解】1231
32231
232)2(31
)2(32)1(31
)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
3437
526331348531
n n n n n --=
⋅⋅⋅⋅=---
例5． 已知数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（1）当1n =时，2
11222a S ==-=；
当2n ≥时，11122(22)222n n n n n n n n a S S ++-=-=---=-=；所以2n
n a =．
（2）因为1n n n b a a +=+，且2n
n a =，112n n a ++=，所以12232n n n n b +=+=
说明：由数列{}n a 的前n 项和n S 求n a 时，要注意分1n =和2n ≥讨论，然后将1n =代入2n ≥所得的通项公式，看结果是否符合1n =的情况，不是则需要写成分段形式．
例6．已知数列{}n a 的通项为2
54n a n n =-+,问:
(1)数列中有多少项为负数？
(2)n 为何值时,n a 有最小值？并求此最小值．
分析：数列的通项公式254n a n n =-+可看成2*
()54,()f n n n n N =-+∈，利用二次函数的性质
解决问题．
【解】（1）n=2或3共2项 （1）n=2或3时有最小值-2
点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．。