15.结构的稳定计算

二.第二类稳定问题(极值点失稳)
P
P
第二类稳定问题
非完善体系
FP FPe
FPc r
A
B C
偏心受压 有初曲率
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4
第 10 章 结构的稳定计算
三.分析方法
大挠度理论。 小挠度理论。
静力法 能量法
四 .稳定自由度
在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态 所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。
一、运用大挠度理论分析：
根据 mA 0 ：
FPl sin( ) FRl cos( ) 0
因 FR kl[sin( ) sin ]
解得： FP

k l c os(


)1

sin
sin(


)

FP
FPcr kl
0 0.1
x 0, y 0
B

(1
k l ) P

kr P
B

0
y M (x)
P
y
x 0, y' A
A

k P

A

0
x l, y x l, y' B
Asin l

B cosl

kr P
B

0
A
c osl

B
sin l

k P

B

0
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Nanjing University of Technology
第 十五 章 结构的稳定计算
第 10 章 结构的稳定计算
15.1 绪论
一.第一类稳定问题(分支点失稳)
P
l EI
Pcr

2EI
l2
P Pcr
P Pcr
P Pcr
---临界荷载
稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡
不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去 稳定性称为失稳(屈曲).
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0 稳定方程
nl cosnl sin nl 0
tan nl nl
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12
第 10 章 结构的稳定计算
静力法举例
例1. 试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。
FP= 2qa
FP= 2qa
k l

y2

0

2Fp
5
k l

y1


Fp
4
k l

y2

0
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第 10 章 结构的稳定计算
例4. 试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程
（k0、kr为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、 k0、 kr分别为常数或等于零或等于∞时，弹性压杆的支承状况及相应的 稳定方程是什么。
16
第 10 章 结构的稳定计算
例3. 试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I = ∞，刚度系数 为k。
A
k
B
k
D FP
C
l
l
l
Fp
A
M1 B y1 k
B
C M2
y2
k
C
D FP
解：
M1 Fp y1 l
失稳变形图
分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
M 2 Fp y2 l
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2
第 10 章 结构的稳定计算
分支点失稳的特征
P
FP C
l EI
FP 2 FPc r
B A
q
完善体系
D 大挠度理论
小挠度理论 D
P
P
两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。
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--- 第一类稳定问题
3
第 10 章 结构的稳定计算
EIy(x) Py Q(l x)
M
l
EI
yx
或 y(x) P y Q (l x)
得
EI EI
令 n2 P
EI y(x) n2
y

n2
Q
(l

x)
通解为
P
Q
y(x) Acosnx B sin nx (l x)
P
由边界条件
AQl 0 Bn PQ 0
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第 10 章 结构的稳定计算
通过对竖向取力的平衡有：
Y 0
A θ
Fp y l
2Fp y k y 0 l

2
Fp l
k
y

0
可解得临界荷载为：
Fpcrຫໍສະໝຸດ kl 2yθ
B
C FP
Fp y l
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FP kB
l
失稳变形： A
FP
k
B B
FR

l
0.2

A
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第 10 章 结构的稳定计算
15.2 静力法
一.一个自由度体系
P
l EI
A
k
1

k
k
MA 0
k Pl sin 0
小挠度、小位移情况下：
sin
y
y(nl) nl y(nl) tan nl
x
P
P
Q
Q
l
EI
y
x
M
2
3
2
5 nl
2
y
得 A Ql 0 Bn PQ 0
P
Acosnl Bsin nl 0
经试算 nl 4.493 tan nl 4.485 Pcr n2 EI ( 4.493)2 EI 20.19EI / l2 l
y
P
Acosnl Bsin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0
稳定方程
nl cosnl sin nl 0
y(0) 0, y(0) 0, y(l) 0
tan nl nl
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第 10 章 结构的稳定计算
k0=0、 kr= 常数；
k0= ∞ 、 kr= 0；
P P
kr
k
kr
P
B B
k0= ∞ 、 kr= ∞；
P B
EI
EI
EI
A
k0
A
A
2-1
2-2
2-3
tanl kr EI
tanl
sinl 0
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第 10 章 结构的稳定计算
三、当k= ∞ ，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程
P kr
c osl

s in l


P k0

P kr
s in l

c osl

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03:29:121
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第 10 章 结构的稳定计算
分情况讨论：
一、当k=常数，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程
k0=0、 kr= 常数；
k0=0、 kr= 0； k0= ∞ 、 kr= 0；
(kl P) y1 Py2 0 (2lk P) y1 kly2 0
kl P P 0 ----稳定方程
2kl P kl kl(kl P) P(2lk p) 0
Pk
y1
k y1
l
EI
kB
k y2
l
A
y2
P1
1.618
P2 3klP k 2l 2 0
可解得临界荷载为：
qcr

k 6
FP= 2qa q
θ A
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第 10 章 结构的稳定计算
例2. 试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。
A
EI=∞
C FP
B
l
l
A θ
Fp y l
y
θ
B
失稳变形图
C FP
Fp y l
分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
P
kr
k
P
kr
k
B
P k
B
P k
B
EI
EI
EI
A
A
k0
A
1-1
1-2
1-3
tanl kr (kl P)
kkr (kl P)P
(kl P) tanl 0 tanl (kl P)
k
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第 10 章 结构的稳定计算
二、当k=0，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程
令： 2 P / EI 则：
x krB P
y ''
2y

2[

k(l P
x)


kr P
B]
通解为：
kr
k k
lx
B
y

A sin x

B
cosx

[1
k(l P
x) ]

kr P
B
y' A cosx B sinx k
P
边界条件为：
A
解一： 0
平衡路径I 失稳变形：
解二： FP klcos
FP
I
平衡路径II
k
B FR
FPcr kl
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II

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A
FP B
l
6
第 10 章 结构的稳定计算
二、运用小挠度理论分析：
小挠度、小位移情况下： sin
根据 mA 0 ：
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第 10 章 结构的稳定计算
M1 B
C M2
通过对变形后的B’、C’ 点求矩有：
Fp
A
y1 k
B
y2
k
C
D FP
M1 Fp y1
M 2 Fp y2

M
1

Fp y1

M2
Fp y2 l
l
2l－－－BCD杆————由行列式为零可得：
l
M 2 Fp y2 2 M1 Fp y1 －－－ABC杆
Fpcr1

k l
M1

k
y1 l

y1
l
y2


k l
2 y1

y2
Fpcr2

3k l
M2

k l
2 y2

y1
代入上式可得：
Fp
4
k l

y1


2
Fp
5
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第 10 章 结构的稳定计算
由整体平衡条件 M A 0得
k0 A krB (kl P) 0
整理后得：
x krB P
kr
k k
A P B k 0 k0 P
Asin l B(cosl 1) kl 1 0 P
k0=0、 kr=0； k0=0、kr= ∞；
k0= ∞ 、 kr= 0； k0= ∞ 、 kr= ∞.
P
P
P
P
kr
k
B
B
B
P B
EI
EI
EI
EI
A
A
A
A
k0
3-1
3-2
sinl 0 tanl l
3-3 tanl l
3-4 1 cosl l
sinl 2
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x
解：取压杆变形后的平
krB P
P
衡形式及坐标如图所
kr
k k kr
k
示，采用小挠度理论 可得弹性平衡微分方
lx
B
y
程。
l
A
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k0
y
k0
k0 B
03:29:13
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第 10 章 结构的稳定计算
EIy '' M (x) [P( y) k (l x) krB ]
P
3 2
5
k
l

2.618kl 0.382kl
Pcr 0.382 kl y2 1.618 y1
---临界荷载 ---失稳形式
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03:29:12
10
第 10 章 结构的稳定计算
三.无限自由度体系
挠曲线近似微分方程为
EIy(x) M (x)
P Q
x
P
Q
M py Q(l x)
q q
2a
EI= ∞
EI=∞
a
θ 失稳变形图
分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
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03:29:12
13
第 10 章 结构的稳定计算
通过对A点求矩有：
mA 0
2a
Fp
q 2a
1 2
2a
k
a a

0
6q k a2 0
A
P kr
s in l

cosl
B
P kr
cosl

sin l
k P

0
可得稳定特征方程：
lx
B
y
A
k0
y
k
1 k0

1 kr
P sinl


2 (1 cosl)

k0 B

(kl

P)a
FP
k
B
FPl FRl 0
l
因 FR kl
(FP kl)l 0
解一： 0
解二：
FP kl
FP
I
A
平衡路径I 失稳变形：
平衡路径II
k
B FR
FPcr kl
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II

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A
FP B
l
7
第 10 章 结构的稳定计算
例2、极值点失稳示例
P
P
P
EI

EI 1个自由度