§4.1 动量定理与动量守恒定律

联立上两式，解得：
s

M Mm
L
s

m Mm
L
(解毕)
mvx Mvx 0
t
t
m 0 vxdt M 0 vxdt
x
ms Ms
(1)
s s
由图可知：
Hale Waihona Puke Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
s s L
(2)
§4. 1 动量定理与动量守恒
联立上两式，解得：
u
速度从尾部跳出。
v0
m
M
v M
m u
则：系统水平方向动量守恒，下列式子正确的是（ C ）
(A) Mv ( mu ) ( M m )v0 (B) Mv m( v0 u ) ( M m )v0 (C) Mv m( v u ) ( M m )v0

1
2tdt
2 2( 2 t )2 dt
0
1
得： I 1.33 ( N S )
F
2
0
1
2 (t)
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
例 有一方向不变的冲力 作用在原来静止的物体
解F由冲于量ΔI冲方t 力向21.方也330向不变不0.，变67，则(N其: )
得： I 1.33 ( N S )
F
2
(解毕)
0
1
2 (t)
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
二、质点系的动量定理
例如：两个质点组成的质点系
分别应用质点的动量定理：
t

t0 (F1 f12)dt m1v1 m1v10
t


f甲
甲队

乙队
f乙
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
再如：火箭发射过程中，火箭与喷射燃料之间的作用
力为内力，但为什么火箭的动量却改变了呢？
如果把火箭与燃料作为一个 系统，火箭向上的动量与燃 料向下的动量大小相等方向 相反，系统总动量为零。
(The end)
u
速度从尾部跳出。
v0
m
M
v M
m u
☻先划分系统，再分析动量是否守恒。
系统的扩大
部分外力可转化为内力。
☻始末动量必须是相对同一惯性系而言的。
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻涉及相对速度时，应注意相对速度与牵连速度之
间的同时性。
例
人相对小车以
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻ 冲量的计算
F
1). 恒力的冲量:


I F(t t0) FΔt
2). 变力的冲量 F F(t)

n
I

lim
t 0
i 1
Fi t

t Fdt
t0
F

|I|
o t0
Fx
Fxi
§4. 1 动量定理与动量守恒
动量定理的分量式：
t
Ix t0 Fxdt mvx mv0x Px P0x t Iy t0 Fydt mvy mv0y Py P0y
☻冲量方向：某方向上的冲量只改变该方向上动量。

P1


I P
P2

P1

I P1
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻内力虽不改变系统的动量，但可使系统的动量在系统
内部转移，并可对系统作功。


i) 若 Fi外 0 , 则 P2 P1 ；




ii) 若 Fi外 0, 但 Fi外 | f内 | , 则 P2 P1 ；
m2

v20 v2
F2
t

(
t0
Fi外
fi内 )dt


mivi mivi0
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
内力 f12 f21 为作用力与反作用力，则系统的内力

矢量和为零 fi内 0 。
§4. 1 动量定理与动量守恒
动量 冲量
t
t0 Fdt p p0 mv mv0
P mv 单位：（千克·米/秒 或 kg ·m/s ）
t
I Fdt
冲量是力对时间的积累作用
t0
即：质点在一段时间内所受的合外力冲量，等于这 段时间内质点动量的增量。
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量

令 P
Pi
mivi
v10 v1
m1
F1
f12
t


(
t0
Fi外)dt P P0 ΔP
f 21
m2

质点系的动量定理：作用于系统的v合20 外力v2 的冲量F2
等于质点系总动量的增量。
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
x y
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒

iii) 若 Fi外 0 , 但在某方向上合外力= 0，则该方向
上动量守恒。
例 已知：m，M，静止，底边长L，光滑水平地面，求
m下滑至M底端时两者在水平方向上分别移动的距离。
水平方向：mv0 ( M m )vx 竖直方向：M 2gh ( M m )vy
mivix1 miviy1
动量守恒：当系统所受的合外力= 0时，系统沿任一 方向动量守恒。

Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
ii) 若 Fi外 0 , 但 Fi外 | f内 | , 如: 碰撞、爆炸等过程，

则系统动量近似守恒：P2 P1
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻系统内力不改变系统的总动量，但改变系统内动量 的分布。只有外力可改变系统的动量。
两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队力 气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
甲队
乙队
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
拔河时，甲队与乙队间的拉力是一对作用力与反作用力， 属系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚 下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大， 哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以增加 系统外力。
上，m=0.33kg：
2t
(0 t 1)
F(t
)

2(2

t
)2
(1 t 2)
求(1)t = 0~2s内冲量和平
均冲力；
(2)物体末速度大小。
0.67
F
I 1.33 ( N S )
2
II0 PFdtmv 0
v
1
02mtIdt
10..3312332( 24.0t()m2 d/st)

iii) 若 Fi外 0 , 但在某方向上合外力= 0，则该方向
上动量守恒。
解 系统水平方向动量守恒，建立坐标系如图所示。
mvx Mvx 0
m0tm0vt vxxddtt
tt
0MMv0 vxdxtdt
ms Ms
(1)
x s s
由图可知：
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
s s L
(2)
§4. 1 动量定理与动量守恒
o
t0 dt
t t
t
t1
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻求某段时间内的冲量，无须确定各个外力，只须知
道质点始末两态的动量的变化即可。
y v0
)θ o
I1

(mv0
sin
)ˆj
)θ
v0 )θ
I2

(2mv0
sin
)ˆj
)θ
x
v0
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻内力虽不改变系统的动量，但可使系统的动量在系统
内部转移，并可对系统作功。


i) 若 Fi外 0 , 则 P2 P1 ；
则：系统水平方向动量守恒，下列式子正确的是（ ）
(A) Mv ( mu ) ( M m )v0 (B) Mv m( v0 u ) ( M m )v0 (C) Mv m( v u ) ( M m )v0
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
三、动量守恒定律
由质点系的动量定理：
(t2
t1


Fi外)dt P2 P1 ΔP



i) 若 Fi外 0, 则 P2 P1 0 或 P2 P1
或写成
mivix2 miviy2
力与物体运动的过程关系
牛顿第二定律的积分形式
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
一、质点的动量定律
牛顿第二定律的积分形式
由
F

dp

d(mv)
dt dt
Fdt

dp

d
(mv)
t
Fdt t0
p p0 mv
mv0
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
内力 f12 f21 为作用力与反作用力，则系统的内力

矢量和为零 fi内 0 。

令 P
Pi
mivi
v10 v1
m1
F1
f12
t


(
t0
Fi外)dt P P0 ΔP
两式求和：
f 21
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
引言
牛顿第二定律力与运动的
瞬时关系式：
F

ma
微分形式：
F

m
dv dt

m
d 2r dt 2
力作用于物体，维持一定的时间、空间，物体
运动情况如何？
s

M Mm
L
s

m Mm
L
(解毕)
二、几点注意
☻先划分系统，再分析动量是否守恒。
系统的扩大
部分外力可转化为内力。
☻始末动量必须是相对同一惯性系而言的。
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻涉及相对速度时，应注意相对速度与牵连速度之
间的同时性。
例
人相对小车以
§4. 1 动量定理与动量守恒
☻求某段时间内的冲量，无须确定各个外力，只须知
道质点始末两态的动量的变化即可。
☻平均冲力：
F

F

t Fdt

t0
t t0

t
I
t
0


P t
P0 t0
F
o
t0
t
t1
☻动量定理仅适用于惯性参照系，并注意定理左右两
端皆是相对于同一惯性参照系。
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
v
vx2 vy2
m2v02 2 M 2 gh Mm
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒

iii) 若 Fi外 0 , 但在某方向上合外力= 0，则该方向
上动量守恒。
例 已知：m，M，静止，底边长L，光滑水平地面，求
m下滑至M底端时两者在水平方向上分别移动的距离。
t0 (F2 f21)dt m2v2 m2v20
两式求和：
v10 v1
m1
f12
f 21
m2
v20 v2
F1 F2
t

(
t0
Fi外
fi内 )dt


mivi mivi0
Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
例 求图中子弹击中并留在木块后木块的速度大小。
v0
M
或写成
mivix2 miviy2
mivix1 miviy1
动量守恒：当系统所受的合外力= 0时，系统沿任一 方向动量守恒。

Chapter作4者. 动：量杨和茂角田动量
§4. 1 动量定理与动量守恒
ii) 若 Fi外 0 , 但 Fi外 | f内 | , 如: 碰撞、爆炸等过程，

则系统动量近似守恒：P2 P1
例 求图中子弹击中并留在木块后木块的速度大小。
设：木块由静止下落，子弹与木
v0
块作用时间很短，则
M
h
(M+m)g<<系统内力
v0
m
水平方向：mv0 ( M m )vx 竖直方向：M 2gh ( M m )vy
v
vx2 vy2
m2v02 2 M 2 gh Mm
§4. 1 动量定理与动量守恒
例 有一方向不变的冲力 解 由于冲力方向不变，其
作用在原来静止的物体
冲量方向也不变，则:
上，m=0.33kg：
2t
(0 t 1)
F(t
)

2(2

t
)2
(1 t 2)
求(1)t = 0~2s内冲量和平 均冲力；
(2)物体末速度大小。
2
I 0 Fdt