多项式的除法
多项式的除法原理(综合除法)
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋。
多项式的除法与余式定理练习题
多项式的除法与余式定理练习题一、多项式的除法多项式的除法是高中数学中非常重要的一部分。
在多项式的除法中，我们常常需要根据除法的原理来求解商和余数。
接下来，我们将通过一些练习题来巩固多项式的除法。
1. 求下列多项式的商和余数：(1) 将多项式P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 9 除以G(x) = x - 2。
(2) 将多项式Q(x) = 4x^3 + 6x^2 - 9x + 2 除以H(x) = x + 1。
(3) 将多项式R(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7 除以F(x) =2x^2 - x + 3。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 能被(x - r)整除，其中r是实数，则有P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x) = mx^n + nx^{n-1} + \dots + v 能被(x - s)^k整除，其中k是正整数，s是实数，则有Q(s) = Q'(s) = \dots = Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要定理，它可以帮助我们求多项式在给定值处的余数。
接下来，我们将通过一些练习题来熟悉余式定理的应用。
1. 计算下列多项式在给定值处的余数：(1) 计算多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5 在x = 2处的余数。
(2) 计算多项式Q(x) = 4x^4 - x^3 + 3x^2 - 2x + 1 在x = -1处的余数。
(3) 计算多项式R(x) = 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 6x + 7 在x = 3处的余数。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x)除以(x - r)的余数为0，则P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x)除以(x - s)^k的余数为0，则Q(s) = Q'(s) = \dots =Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
多项式除以多项式
多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式通常以垂直形式计算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零或余数小于除数。
除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴（x2）?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20岁以下22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。
规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．什么是综合部？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是初中数学中的重要内容，也是中学数学的基础知识之一。
掌握多项式的除法方法，对于解决实际问题和解题能力的提升都有着重要的作用。
本文将从多项式的定义和基本性质开始，逐步介绍多项式的除法步骤、常见技巧以及应用实例，帮助读者更好地理解和应用多项式的除法。
一、多项式的定义和基本性质多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，3x^2 + 2x - 1就是一个多项式，其中3x^2、2x和-1分别是它的三个单项式。
多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式的过程。
在进行多项式的除法时，需要注意以下几个基本性质：1. 除数不为零：在进行多项式的除法运算时，除数不能为零，否则运算结果将无意义。
2. 次数规则：当被除式的次数大于或等于除数的次数时，商式的次数等于被除式的次数减去除数的次数再加一。
3. 余式规则：余式的次数要小于除数的次数。
二、多项式的除法步骤多项式的除法步骤可以总结为以下几个基本步骤：1. 将除数和被除式按照降幂排列，确保每一项的次数从高到低排列。
2. 比较被除式的首项与除数的首项，将它们的系数相除得到商的首项。
3. 用商的首项乘以除数，得到一个新的多项式。
4. 将新的多项式与被除式进行相减，得到一个新的多项式。
5. 重复以上步骤，直到新的多项式的次数小于除数的次数为止。
6. 最后得到的商式就是多项式的商，剩下的多项式就是多项式的余式。
三、多项式除法的常见技巧1. 试商法：在进行多项式的除法时，可以通过试商法来确定商的首项。
试商法的基本思想是，通过猜测一个合适的商的首项，使得乘积的结果与被除式的首项相等或接近。
2. 零系数法则：当进行多项式的除法时，如果某一项的系数为零，可以直接省略该项，简化运算过程。
3. 余式为零的判断：当进行多项式的除法时，如果得到的余式为零，说明被除式可以整除除数，即两个多项式存在整除关系。
四、多项式除法的应用实例1. 求多项式的因式：通过多项式的除法，可以将一个多项式分解为若干个一次或二次的因式，从而更好地理解和运用多项式的性质。
多项式除法
例
计算
写成以下这种形式：
然后商和余数可以这样计算：
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在
横线之上(x3÷x = x2).
2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下
(x2· (x− 3) = x3− 3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），
结果写在下面。
((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2= −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。
在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。
一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。
一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。
多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。
具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。
三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。
首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。
然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。
将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。
最终得到的商和余数即为所求的结果。
例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。
首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。
然后，将2x³除以x，得到2x²。
将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。
将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。
多项式的综合除法
4.多项式的综合除法多项式的除法定理： 设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得)()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。
（1），称为余式。
称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f(2),被除式=除式×商式+余式。
（3），简式：A=BQ+R综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。
一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：))))))((((((()))))(((((());))((((()()(143211432143012121101221n n n n n n n n n n n n n n nn n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b ec d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。
例题：（1）3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f |解：327-10939-136-2327-11739-186-08-05-023所以327)(,109191362)(234-=+-+-=x r x x x x x q （2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--= 解：i i i i i i 8925218924210111i2-1+----+------所以i x r i ix x x q 89)(,252)(2+-=---=当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便，特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。
原题目：多项式除法的步骤与技巧
原题目：多项式除法的步骤与技巧多项式除法的步骤与技巧
多项式除法是一种常见的数学运算，用于将一个多项式除以另一个多项式。
下面是多项式除法的步骤与一些常用的技巧。
1. 步骤
多项式除法的基本步骤如下：
1. 将被除数和除数按照降幂排列。
2. 将两者的最高次项相除，得到商的最高次项。
3. 将商的最高次项与除数相乘，并将结果放在相应的位置上。
4. 将被除数减去刚才得到的乘积。
5. 重复以上步骤，直到无法再继续相除为止。
6. 最后得到的商和余数就是多项式除法的结果。
2. 技巧
在进行多项式除法时，有一些技巧可以帮助简化计算过程：
2.1. 估算商的次数
可以根据被除数和除数的次数，估算出商的次数。
例如，如果被除数的次数为n，除数的次数为m，那么商的次数可以估算为n-m。
2.2. 辗转相除法
辗转相除法是一种常用的简化多项式除法的技巧。
它的基本思想是在每一步中，只进行被除数的最高次项与除数的最高次项的相除，以减少乘法的次数。
2.3. 零次项的处理
在进行多项式除法时，要特别注意零次项的处理。
如果被除数的零次项与除数的零次项相除为零，那么商的零次项就为零。
如果被除数的零次项与除数的零次项相除不为零，可以通过乘法和减法得到准确的商和余数。
2.4. 精简商式
在得到商式后，可以对其进行精简。
去掉商式中的零次项和系数为零的项，以使得商式更加简洁。
结论
多项式除法是一种重要的数学运算，它可以用于解决多项式相关的问题。
通过掌握多项式除法的步骤和技巧，可以更加高效地进行计算，并得到准确的结果。
多项式除法
多项式除法多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。
本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。
文章内容将会包括以下几个方面：1. 多项式的基本概念2. 多项式除法的基本原理3. 一次多项式除法的步骤和实例4. 高次多项式除法的步骤和实例5. 多项式除法的应用1. 多项式的基本概念多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。
例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。
多项式的次数就是最高次项的指数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。
2. 多项式除法的基本原理在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。
需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。
例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。
这种情况通常被称为“浅层除法”。
在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。
2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。
4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。
需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。
多项式除以多项式字母公式
多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。
使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。
例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。
首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。
首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。
然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。
以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。
多项式除以多项式.docx
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式的除法运算
多项式的除法运算多项式的除法是数学中一种常见的运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，求出商和余数。
在多项式的除法运算过程中，需要注意一些基本的步骤和规则，以保证运算的准确性和高效性。
一、多项式的基本概念在介绍多项式的除法之前，首先需要了解多项式的基本概念。
多项式是由若干项的代数和组成，每一项由系数与自变量的幂次组成。
例如，多项式p(x)可以表示为：p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0为多项式的系数，n为多项式的次数，x为自变量。
二、多项式除法的步骤多项式的除法运算可以分为以下几个基本步骤：1. 将除式和被除式按照相同幂次排列，确保高次项在前。
2. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式。
4. 将所得的多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止。
5. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数。
三、多项式除法的示例例如，我们要计算多项式p(x)除以多项式q(x)的运算，其中p(x)和q(x)分别为：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 1按照上述步骤进行多项式除法运算：1. 检查多项式p(x)和q(x)的次数，确保高次项在前：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 12. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项：2x^3 / (x - 1) = 2x^23. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式：(2x^2)(x - 1) = 2x^3 - 2x^2(2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - 5x + 24. 将所得的新多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤：5x^2 / (x - 1) = 5x(5x)(x - 1) = 5x^2 - 5x(5x^2 - 5x + 2) - (5x^2 - 5x) = 25. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数：余数为2四、多项式除法的规则在进行多项式除法运算时，还需要注意以下几个基本规则：1. 除式不能为零。
多项式的综合除法
多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。
综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。
使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。
然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。
重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。
下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。
步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。
因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。
综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。
原题目：多项式的除法运算规则
原题目：多项式的除法运算规则
多项式的除法运算规则是指如何将一个多项式除以另一个多项式并得到商和余数。
多项式除法是代数中重要的运算，它可以帮助我们简化复杂的多项式表达式。
多项式的除法运算规则可以总结为以下几点：
1. 除法的基本原理：在多项式除法中，我们需要将被除数除以除数来得到商和余数。
多项式的除法与数的除法类似，通过减去除数的多项式与被除数的多项式的乘积，反复进行除法运算，直到无法再继续相除为止。
2. 确定商的次数：在进行多项式除法时，我们首先要确定商的次数。
商的次数等于被除数的次数减去除数的次数加一。
例如，如果被除数为一个二次多项式，除数为一个一次多项式，那么商的次数为二次减一次加一，即一次。
3. 逐项相除：在进行多项式除法时，我们从被除数的最高次项开始逐项相除，先将被除数的最高次项与除数的最高次项相除，得
到商的最高次项。
然后将商的最高次项乘以除数，并将得到的乘积从被除数中减去，得到新的被除数。
重复这一步骤，直到被除数的次数小于除数的次数。
4. 确定余数：最终的余数是被除数除以除数后剩余的多项式。
余数的次数小于除数的次数，且次数最大为除数的次数减一。
余数可以表示为一个多项式的形式，其中所有的系数都为0，只有常数项不为0。
通过多项式的除法运算规则，我们可以将复杂的多项式化简为更简洁的形式，使我们能够更好地理解和计算多项式运算。
以上是关于多项式的除法运算规则的简要介绍。
代数式的多项式除法
代数式的多项式除法在代数中，多项式除法是一种常见的运算方法，用来求解两个多项式之间的商和余数。
多项式除法的结果可以用于化简和解方程等问题的求解过程中。
本文将介绍多项式的基本概念、多项式除法的步骤以及通过示例详细说明多项式除法的具体计算方法。
1.多项式的基本概念首先，我们需要了解多项式的基本概念。
多项式是由若干个单项式相加或相减得到的表达式。
每个单项式由一个系数乘以一个或多个变量的幂次组成。
例如，3x² - 5y + 2是一个多项式，其中3x²是该多项式的一个单项式。
2.多项式除法的步骤多项式除法的步骤如下：Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
Step 2: 比较被除式和除式的最高次幂，并将其相除得到商的最高次幂项。
Step 3: 将得到的商的最高次幂项乘以除式，再减去得到的结果得到一个新的多项式。
Step 4: 重复Step 2和Step 3，直到无法再进行相除为止，最后得到的多项式即为余数。
3.多项式除法的计算方法下面通过一个示例来详细说明多项式除法的计算步骤。
示例：计算多项式(3x³ + 4x² - 5x + 2)除以(2x - 1)的商和余数。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列，得（3x³ + 4x² - 5x + 2）÷（2x - 1）。
Step 2: 比较被除式和除式的最高次幂，最高次幂为3次，将其相除得到商的最高次幂项。
3x³ ÷ 2x = 1.5x²Step 3: 将得到的商的最高次幂项乘以除式，再减去得到的结果得到一个新的多项式。
1.5x² × (2x - 1) = 3x³ - 1.5x²Step 4: 将新的多项式与被除式进行相减，得到余数。
(3x³ + 4x² - 5x + 2) - (3x³ - 1.5x²) = 5.5x² - 5x + 2现在，我们得到了商的最高次幂项和余数，即商为1.5x²，余数为5.5x² - 5x + 2。
多项式除多项式除法长除法
多项式除多项式除法长除法
多项式除法是一种数学运算，用于将一个多项式除以另一个多项式。
长除法是一种常用的方法来执行多项式除法。
下面是一个多项式除法的长除法的步骤示例：
1. 确定被除多项式和除数多项式的次数，并按照次数从高到低排列。
2. 比较被除多项式的最高次项与除数多项式的最高次项。
如果被除多项式的最高次项的次数小于除数多项式的最高次项的次数，则无法进行除法操作，该多项式除法结束。
3. 在被除多项式中找到一个项，使得它与除数多项式的最高次项相乘后，可以得到一个新的多项式，它的最高次项与被除多项式的最高次项的次数相同或比它低一次。
4. 用这个新的多项式去乘除数多项式，并将所得到的结果写在除法运算符下面。
5. 将所得到的结果与被除多项式进行减法运算，并将得到的差写在下一行下面。
6. 重复步骤3到步骤5，直到被除多项式的次数比除数多项式的次数低为止。
7. 当被除多项式的次数比除数多项式的次数低时，所得到的最后一行即为商，最后一个差即为余数。
长除法的步骤需要重复进行，直到被除多项式的次数比除数多项式的次数低。
这个过程可以帮助我们找到商和余数。
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= -56x7y5 ÷(14x4y3) = -4x3y2
(4) (2a+b)4 ÷ (2a+b)2
解：原式= (2a+b)4-2 = =
(2a+b)2 4a2+4ab+b2
6.随堂练习： 6.随堂练习：计算下列各题 随堂练习 (1)（ (1)（a6b3)÷(a3b2) (2) ( (3)
1 48
速度： 千米/ 速度： 8×102千米/时 路程： 3.84× 路程： 3.84×105千米 解： （ 3.84×105）÷ （ 8×102 ） 3.84× 0.48× = 0.48×10 = 20（天） 20（
答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要20天。 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要 天
2.想一想：如何进行整式的除法？ 想一想：如何进行整式的除法？ 想一想
由：x2·x3y=x5y x3y 得：x5y÷x2=__________
n·4n= 由：2m2n·4n 8m2n2 得： 8m2n2÷2m2n=__________ 4n
0 试想： 试想：a4b2c÷2a2b= ?.5a2bc ÷
3 = （÷ 3 ）· x 2-2y 3-1 5
y1 X0=1
1 2 = y 5
（2）(10a4b3c2) ÷（5a3bc） (10a bc） （10 ÷ 5）a4-3b3-1c2-1 解：原式= = 2ab2c
幂的乘方
(（3）（2x2y)3 · (-7xy2) ÷(14x4y3) ）（2x
解：原式= 8x6y3·(-7xy2) ÷(14x4y3) 原式= ·(-
=
8.能力提升 能力提升 解: 2×4m÷8m-1 × = 2×(22)m÷(23)m-1 ×
3m= 2×22m÷23m-3 × 3m= 22m+1÷23m-3
=
4-m 2
9.总结
单项式的除法法则：单项式相除， 把系数、同底数幂分别相除后，作为商 的因式；对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数一起作为商的一个因式。
4 3 (4) (2x2y)3÷(6x3y2)= 3 x y
7.例 7.例2 综合应用
月球距离地球大约3.84× 月球距离地球大约3.84×105千 3.84 一家飞机的速度约为8 千米/ 米，一家飞机的速度约为8×102千米/ 时。如果乘坐此飞机飞行这么远的距 大约需要多少时间？ 离，大约需要多少时间？ 分析： 求时间 时间=路程÷速度 ÷
1.9幂的除法： 同底数幂的除法： 如： 2 7÷2 2=
am÷an=am-n
27-2 =25
(-xy)7÷(-xy)3= (-xy)4 =x4y4
2.想一想：如何进行整式的除法？ 想一想：如何进行整式的除法？ 想一想
除法是乘法的逆运算 单项式的乘法法则： 单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘， 单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母的幂分别相乘， 的系数、相同字母的幂分别相乘， 其余字母连同它的指数不变， 其余字母连同它的指数不变，作为 积的因式。 积的因式。
3.议一议：如何进行单项式除以单项式的运算？ 议一议：如何进行单项式除以单项式的运算？ 议一议
x5y÷x2=x3y ÷ 8m2n2÷2m2n=4n a4b2c÷2a2b=0.5a2bc ÷
同单项式的乘法一样，从系数、 同单项式的乘法一样，从系数、 提示： 提示： 底数相同的幂、 底数相同的幂、只有被除式里含 有的字母三个方面考虑。 有的字母三个方面考虑。
5 3-2
480（小时） = 480（小时）
8.能力提升 能力提升 计算下列各题： (1) (y3n+1·y2)÷(yn)2 y ÷ (2)
m÷8 m-1 2×4 ×
8.能力提升 能力提升 解： (y3n+1·y2) ÷(yn)2 y = y3n+3 ÷y2n
3n+3= y3n+3-2n n+3 y
10.作业布置
第48页 习题1.15： 1.15 知识技能1、2、3
3y 2) ÷( 1 x
16
x2y)
2n3)÷(mn)2 (3m
(4) (2x2y)3÷(6x3y2)
6.随堂练习： 6.随堂练习：计算下列各题 随堂练习 (1)（ (1)（a6b3)÷(a3b2)=a3b (2) ( (3)
1 48
x 3y 2) ÷(
1 16
1 y)= x2y)= xy 3
2n3)÷(mn)2=3n (3m
4.单项式除法法则： 4.单项式除法法则： 单项式除法法则
单项式相除，把系数、同底数 幂分别相除后，作为商的因式；对 于只在被除式里含有的字母，则连 同它的指数一起作为商的一个因式 。
5.例 5.例1 计算下列各题
3 2 3 ）（- x y ）÷ (3x2y) （1）（5 3 2 3 解： （ x y ）÷ (3x2y) 5