2016-2017学年天津市五区县高三上学期期末考试数学(理)(详细答案版)

2016-2017学年天津市五区县高三上学期期末考试数学（理）
一、选择题：共8题
1．已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查集合的基本运算,对数函数.由题意得,所以.选D.
【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.
2．设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为
A. B. C.0 D.1
【答案】A
【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图所示;,,;当过点时,取得最小值.选A.
3．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次:;循环2次:,不满足条件,结束循环,输出的值为6.选C.
4．已知是钝角三角形,若,且的面积为,则
A. B. C. D.3
【答案】B
【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.因为,
,所以,所以或；当时,,由余弦定理知
,解得；因为,所以是直角三角形,舍去; 当
时,,由余弦定理知,解得；因为是钝角三角形,所以由大边对大角知,为最大角,符合题意.所以.所以.选B.
【备注】余弦定理:.三角形的面积公式:.
5．设是公比为的等比数列,则“”是“为单调递增数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】本题考查充要条件,等比数列.“”推不出“为单调递增数列”,若,,即充分性不成立;“为单调递增数列”推不出“”,若,,即必要性不成立;所以“”是“为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.选D.
6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,且双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.双曲线的渐近线与直线
平行,所以,即,排除B,C;的焦点到渐近线的距离,即A正确.选A.
【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.
7．在中,在上,为中点,、相交于点,连结.设
,则的值分别为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查平面向量的线性运算.因为为中点,所以,;因为、、三点共线,所以存在实数,使得
=,所以=;、、三点共线,同理存在实数,使得=;所以,解得;所以=,而,所以.选C.
8．已知(其中是自然对数的底数),当时,关于的方程
恰好有5个实数根,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.,;当时,,单减;当或时,,单增;所以取得极小值,取得极大值;画出的草图(如图所示);当时,恰好有5个实数根,即或恰好有5个实数根;当,有3个实数根,则,满足题意;当,有2个实数根,则,满足题意;当,有1个实数根,不满足题意;所以,即实数的取值范围是.选D.
二、填空题：共6题
9．已知是虚数单位,若,则的值为__________．【答案】
【解析】本题考查复数的概念与运算.因为,所以
,所以,解得,所以.
10．在的展开式中,的系数为__________.(用数字作答)
【答案】
【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式
=,令,即,可得的系数为.
11．某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____________．
【答案】
【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.该空间几何体为三棱柱;所以该几何体的表面积.
12．在平面直角坐标系中,由曲线与直线和所围成的封闭图形的面积为__________.
【答案】
【解析】本题考查定积分.由题意得所围成的封闭图形的面积
===.
13．在直角坐标系中,已知曲线为参数),曲线为参数,),若恰好经过的焦点,则的值为．
【答案】
【解析】本题考查参数方程.削去得曲线:;削去得曲线:,其焦点为;而恰好经过的焦点,所以,而,所以的值为.
14．已知,若方程有且仅有一个实数解,则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】本题考查函数与方程,导数在研究函数中的应用.当时,,
,;方程有且仅有一个实数解,即与的图像只有一个交点,如图所示,可得.即实数的取值范围为.
三、解答题：共6题
15．已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)当时,的最小值为2,求的值.
【答案】(1)函数=
=,
故函数的最小正周期;
(2)由题意得,故,所以.
【解析】本题考查三角函数的性质与最值,三角恒等变换.(1)三角恒等变换得
,故;(2),所以.
16．某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛,其中3名来自学校且1名为女棋手,另外4名来自学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛.
(1)求在参加第一阶段比赛的队员中,恰有1名女棋手的概率;
(2)设为选出的4名队员中、两校人数之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)由题意知,7名队员中分为两部分,3人为女棋手,4人为男棋手,
设事件A“恰有1位女棋手”,则；
所以参加第一阶段的比赛的队员中,恰有1位女棋手的概率为.
(2)随机变量的所有可能取值为
其中,,.
所以,随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
【解析】本题考查古典概型,随机变量的分布列与数学期望.(1).(2)的所有可能取值为,求得,,.列出的分布列,求得.
17．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,
在上,且,侧棱平面
(1)求证:平面平面;
(2)若为等腰直角三角形.
(i)求直线与平面所成角的正弦值;(ii)求二面角的余弦值.
【答案】(1)法一:∵,知,且，故. 同理可得,且,,.
又∵平面,∴;而,∴平面.
平面,故平面平面;
(2)(i)由(1),平面的一个法向量是;
因为为等腰直角三角形,故.
设直线与平面所成的角为,则
(ii)设平面的一个法向量为
由∴,令,则,∴；显然二面角的平面角是锐角,∴二面角的余弦值为.
【解析】本题考查线面垂直,空间向量的应用.(1)证得,,∴平面,故平面平面;(2)(i)平面的法向量,,直线
与平面所成的角的正弦值;(ii)平面的法向量,∴,即二面角的余弦值为.
18．已知数列的前项和,数列的前
项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和;
(3)证明:.
【答案】(1)当时,，,两式相减:; 当时,,也适合；
故数列的通项公式为.
(2)由题意知:；
=，；
两式相减可得:,
即，；
求得.
(3),显然,
即;
另一方面,,
即,…,；
；即:.
【解析】本题考查等差数列,数列求和.(1);当时,也适合;故.(2),错位相减得;(3)由基本不等式得,所以;而;所以.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,若的周长为6,且点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆长轴的两个端点,点是椭圆上不同于的任意一点,直线交直线于点,若以为直径的圆过点,求实数的值.
【答案】(1)由已知得,解得.
所以椭圆的方程为.
(2)由题意知,
设,则,得.
且由点在椭圆上,得.
若以为直径的圆过点,则,
所以
；
因为点是椭圆上不同于的点,所以.
所以上式可化为；
解得.
【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由已知求得,
所以椭圆为.(2)若以为直径的圆过点,则,联立方程,求得.
20．已知函数,函数的图像记为曲线
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)若函数有两个零点,且为的极值点,求的值;
(3)设曲线在动点处的切线与交于另一点,在点处的切线为,两切线的斜率分别为,是否存在实数,使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】解法一:(1)；
当时，所以；
而在处取得最小值,所以;
解得;
(2)因为为的极值点,所以,即；
又因为有不同的零点,所以,
即,整理得:；
所以．
(3)满足条件的实数存在,
由,知过点与曲线相切的直线为:
,且
将与联立即得点得横坐标,
所以
即:
整理得:，由已知,所以；
所以,即B点的横坐标为；
所以过点B的曲线的切线斜率==
==；
因此当且仅当时,、成比例,这时；
即存在实数,使为定值．
解法二:(1),当时,
所以对任意的恒成立,故,即
；
故的取值范围是;
(2)因为为的极值点,且有两个零点,
所以的三个实数根分别为,
由根与系数的关系得;
(3)满足条件的实数存在,因为；
所以过点且与相切的直线为:,其中.
设与交于另一点,则必为方程的三个实数根
由得
因为上述方程的右边不含三次项和二次项,所以,所以
所以==
.
因此当且仅当时,、成比例,这时；
即存在实数,使为定值.
【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)当时,
，所以,解得;(2),即；而,求得;(3)求得直线:,且；与联立得B点的横坐标为;求得；即存在实数,使为定值．。