人教版八年级数学：18.2.3正方形的性质与判定

BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，
则DE的2 长为
A
D
O
E
B
C
7.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向 正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，
则∠DEC=30 度。
8.如图，已知正方形ABCD内有一个△BEF，
AB=6，AF︰FD=1︰2，E为DC的中点，
则△BEF的面积=15 。
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90°
∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠
∴Rt△CDM≌Rt△ADF (ASA) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
练一练
1、已知：如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形 的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD，延 长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
∴∠CEA＝∠ABG
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝
ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
A
D
GF BE C
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上， 且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
D
A
AF
D
E
E
B
C
C
(7)
B
（8)
9.如图，正方形ABCD的对角线的长为10， M是AB边上的一点，且ME⊥AC于E， MF⊥BD于F，则M5 E+MF= .
10、正方形ABCD中，M为AD中点，
ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF16=cm8cm，则AC=________.
D
C
A
M D
O
2、已知：如图，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG， 连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
（ 正方形 ）
例 1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形
分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:如图,四边形ABCD是正方形, A
D
对这角是线一AC道、文B字D相证交明于题点,该O怎. 么做? 求证你:会△A做B吗O?、 △BCO、 △CDO、
O
△DAO是第全一等步的:根等据腰题直意角画三出角图形形.
一个角是直角且一组邻边相等
×
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ √ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ √ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
当CD移动到 CD 位置，且 ADAB时，此
时的图形还是矩形吗？
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正菱方形形 一个角是直角的菱形
四边形
两组 对边
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
正方形 定义法
2、 矩形Baidu Nhomakorabea
一组邻边相等
正方形 矩形法
3、 菱形
一内角是直角
正方形 菱形法
二、以四边形为基础：
四边形
①四条边相等，四个角都是直角 ②对角线互相垂直、平分且相等
正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
中心对称 既是中心对 既是中心对
图形
称图形又是 称图形又是
轴对称图形 轴对称图形
既是中心对 称图形又是 轴对称图形
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
一、以平行四边形、矩形、菱形为基础
⌒
M
1
又∵MN∥BC ∴∠OMN＝∠1＝
又∠3+∠CMO=9B0°
O2
3N
H
C
∠BCO＝∠ONM＝
∴∠2+∠CMO=90°
45°
∴OM＝
O∴△NCOM≌△DON(SAS)
∴∠DHM=90°
∴DN＝MC
∴DN⊥MC
变式 已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
A
D
F
B
C
E
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
4．四个内角都相等的四边形一定是（C ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
6 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形
∵四边形ABCD是正 方形
∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
类 回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
比 性质 图形 归 分类
正方形
纳
对边平行 且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
是正方形（ √ ）
× × ×
× ×
（6）正方形一定是矩形．（√ ）
（7）正方形一定是菱形．（√ ）
（8）菱形一定是正方形．（ ）
（9）矩形一定是正方形．（ ）
(10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边
形．
（√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如 图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？ 正方形 矩形
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
分别 平行
平行四 边形
矩形
菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
边: 对边平行 四边相等
2
B
C
3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 A BD相交于点O，且AC＝6 2 cm，
面积S=__3__6____.则边长AB＝__6__cm,
D O
B
C
4.一个正方形的面积等于8，则其对角线
的长为 4
5、正方形对角线长6 2，则它的面
积为 ，36周长为 。24
6、正方形ABCD的边长为2，对角线AC、
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB A∠B1=＝B∠C2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即： A∴M△A=BBMN ≌△BCN ∴BM=CN
变式
已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E 是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F 求证：OE=OF
而点E在对称轴上，点B为
点D关于AC的对称点， 所以 BE=DE
例 已2 知：如图，正方形ABCD的对角线相
交于点O，M、N在OB和OC上，且
MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与
MC有什么解关：系D？N＝并M证C 明DN你⊥的M猜CA想。
D
证明：
∵∴∠∠四OC1＝OC边D＝∠形=BOAC∠DOCBO,C＝DB4=是59°正0°方形（△NC得2O）∠M由2≌=△∠D3O
(C)A
D(B)
O
(D)B
C(A)
4、既是轴对称图形也是中心对称图形
有四条对称轴
(C)A
D(B)
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(D)B (1)它具有平行四边形的一切性质
C(A)
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
二、正方形的性质:
1、边：四条边都相等且对 边平行;
特殊的平行四边形 特殊的矩形
2. 角: 四个角都是直角;
特殊的菱形
3.对角线: 两条对角线互相垂直平分 且相等,并且每一条对角线 平分一组对角.
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
A
DA
∟
∟D A
D
O
∟
∟
B
对边平行 四边相等
CB
CB
C
四角是直角
对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线 平分一组对角
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
一定是：（ A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
填空题
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩 形EFCG的周长为 7.5 cm。
A
D
EG
B FC
A
D
2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相
交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 , 2 O
正方形的面积S=__4____.
B
C
证分 等明第 第,析每: ∴∵二 三条:利A步 步四对用C边角：:=正写B形线写方D出A平,出A形B分已CC的求⊥一D知性证是B组质D正对,,A对方角O角形.=平B线, 分O互=可C相以O垂=产D直生O平.线分段且等相量 是关腰等第系直腰∴,角四垂直三△步直角角A可:三B进形以角O.行产、形生证,△并直明B且C角O,于、是△可C以DO得、到△四D个A全O等都的等
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
1.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线
AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？
解：∵四边形ABCD是正方形
D
C
∴AD=AB,∠DAE=∠BAE=45°
又∵AE=AE
∴△ADE≌△ABE(SAS)
∴ED=EB 解：BE=DE.
E
A
B
因为 对角线AC所在的直线 是正方形ABCD的对称轴，
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
而∠ACB=90°
∴
四边形ABCD为矩形(
有三个角是 直角 的四边形是矩形
)
∵ CD平分∠ACB
F
DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF( 角平分线的定理 ) B
D
A
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形 )
例 4 已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上 一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠AOE=∠DOF=90°，
AO=DO （正 方形的对角线垂直平分且相等）
又DG⊥AE ∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°
∴∠EAO=∠FDO ∴△AEO ≌△DFO ∴OE=OF
例 3 直角三角形ABC中∠ACB =90°，CD平分∠ACB交 AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
F
E
F E
O
B
C
AM
B
11、已知四边形ABCD是平行四边形，对角 线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是