甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二上学期10月期中考试数学试卷(PDF版)

兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题
高二数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()
A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
2.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()
A.2
B.3
C.82
3D.83
3
3.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等
于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率
为7
4，面积为12π，则椭圆C的方程为()
A.x2 9＋y2
16＝1 B.
x2
3＋
y2
4＝1 C.
x2
18＋
y2
32＝1 D.
x2
4＋
y2
36＝1
4.等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()
A．160B．180C．200D．220
5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()
A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3
6．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2023条弦的长度组成一个等差数列{a n}，最短弦长为a1，最长弦长为a2023，则其公差为()
A.1 2022
B.1
1011
C.3
1011
D.1
505
7.设P是椭圆x2
25＋y2
9＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)
2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|
＋|PN |的最小值、最大值分别为()
A ．9,12
B ．8,11
C ．8,12
D ．10,12
8.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →
＝0.则椭
圆离心率e 的取值范围为()
，
22
D.22
，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 29＋y 2
5＝1的左、右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论
正确的是(
)
A ．△PF 1F 2的周长为10
B ．△PF 1F 2面积的最大值为25
C ．|PF 1|的最小值为1
D ．椭圆C 的离心率为
3
210.已知动点P 到原点O 与A (2,0)的距离之比为2，动点P 的轨迹记为C ，直线l ：3x －4y －3＝0，则下列结论中正确的是(
)
A ．C 的方程为9
16)3
4
2
2=
+-y x （B ．直线l 被C 截得的弦长为2
73
C ．动点P 到直线l 的距离的取值范围为13，
73
D ．C 上存在三个点到直线l 的距离为
13
11.若圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有()
A ．公共弦A
B 所在的直线方程为x-y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0
C ．公共弦AB 的长为
22
D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为
22
＋112.设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝2S n ＋n －1，则下列结论正确的是()
A ．数列{a n ＋1}为等比数列
B ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1－1C ．数列{S n ＋n }为等比数列
D ．数列{S n ＋1－S n ＋1}为等比数列
第Ⅱ卷(非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为________________.
14.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且-11=a ，公和为1，那么这个数列的前2023项和2320s ＝
.
15.已知直线y ＝k (x ＋4)＋2与曲线y ＝4－x 2＋2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．16．如图，椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交该椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2
的内切圆(圆心记为C )面积为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则△ABF 2的面积S ＝________，|y 1－y 2|的值为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)
已知椭圆22
23
y x m +
=+(m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、焦点坐标.18.(本小题满分12分)
圆心在直线2x ＋y ＝0上的圆C ，经过点A (2，－1)，并且与直线x ＋y －1＝0相切．(1)求圆C 的方程；
(2)圆C 被直线l ：y ＝k (x －2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，求直线l 的方程．
19.(本小题满分12分)
在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2，n ∈N *).(1)求a 2，a 3的值；
(2)是否存在实数λλ的值；若不存在，请说理理由.
20.(本小题满分12分)
如图，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)．
(1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；
(2)若N (x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上任意一点，过点N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长|NA |最小时，求点N 的坐标，并求出这个最小值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝4，离心率为1
2，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于点M ，N .证明：以线段MN 为直径的圆过椭圆的右焦点．
22.(本小题满分12分)
已知数列{a n }与{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，且{a n }为正项等比数列，a 1＝2，b 3＝b 2＋4.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝
a n
b n b n ＋1
，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <1.
兰州一中2023-2024-1学期期中考试答案
高二数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

第Ⅱ卷(非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.x 28＋y 2
6
＝1;
14.1010;
15.0⎡⎢⎣
⎭;16.6;3.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知椭圆22
23
y x m +=+(m >0)的离心率e ＝3
2，求m 的值及椭圆的长
轴长、焦点坐标.
解:∵m >0∴椭圆的焦点在y 轴上且2223,2
a m
b =+=（）又∵e ＝
3
2
∴2
2
2
23
1-=1-
1
2(+3)4
b e m a
m ==∴=……………………6分
即椭圆方程为22
1
82
y x +=
∴椭圆的长轴长为
(0，.
……………………10分
18.(本小题满分12分)圆心在直线2x ＋y ＝0上的圆C ，经过点A (2，－1)，并且与直线x ＋y －1＝0相切．(1)求圆C 的方程；
题号12345678答案
B
C
A.
B
A.
B
C
D
题号9101112答案
ABD
BD
ABD
CD
(2)圆C 被直线l ：y ＝k (x －2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，求直线l 的方程．
解
(1)设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
－1－b )2＝r 2，r ，
＝1，＝－2，
＝2
，
所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.
……………………6分
(2)如图，设直线l 与圆C 交于B ，D 两点，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，
因为圆C 被直线l ：y ＝k (x －2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，所以∠BCD ＝120°，则∠BDC ＝∠CBD ＝30°，
即圆心C 到直线l 的距离为|CH |＝d ＝12r ＝2
2，且C (1，－2)，
因为直线l 的方程为kx －y －2k ＝0，所以
|k ＋2－2k |k 2＋1
＝
2
2
，解得k ＝1或k ＝7，故所求直线l 的方程为x －y －2＝0或7x －y －14＝0.
……………………12分
19.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2，n ∈N *).
(1)求a 2，a 3的值；
(2)是否存在实数λλ的值；若不存在，请说理理由.
解:(1)因为a 1＝5，且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，所以a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋2
3－1＝33.……………………4分
(2)假设存在实数λ.设b n ＝
a n ＋λ
2
n ，由{b n }为等差数列，得2b 2＝b 1＋b 3，所以2×
a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ
2
3，
即
13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ
8
，解得λ＝－1.而当λ＝－1时，有b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12
n ＋1－a n －12n ＝1
2n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝
12
n ＋1
[(2n ＋1－1)＋1]＝1，
b 1＝
a 1－12＝5－1
2
＝2，则{b n }是首项为2，公差为1的等差数列.
所以存在实数λ＝－12，公差是1的等差数列.
……………………12分
20.(本小题满分12分)如图，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)．
(1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的斜率以及直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；(2)若N (x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上任意一点，过点N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长|NA |最小时，求点N 的坐标，并求出这个最小值；解
易知圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，
则C (2,7)，半径r ＝2 2.
(1)将点P (m ，m ＋1)代入圆C 的方程，得m ＝4，所以P (4,5)，故直线PQ 的斜率k 1＝
5－34－(－2)＝1
3
.
因此直线PQ 的方程为y －5＝1
3×(x －4)，
即x －3y ＋11＝0，
所以圆心C (2,7)到直线PQ 的距离d 1＝
|2－3×7＋11|10
＝810＝410
5，
所以|PE |＝2r 2－d 21＝＝2405＝410
5
.
……………………6分
(2)因为|NA |＝|NC |2－r 2＝|NC |2－8，所以当|NC |最小时，|NA |最小，
又当NC 与直线x ＋y ＋1＝0垂直时，|NC |最小，所以|NC |min ＝|2＋7＋1|
1＋1＝52，
所以|NA |min ＝42.
由题易得过点C (2,7)且与直线x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为x －y ＋5＝0，
＋y ＋1＝0，－y ＋5＝0，
＝－3，＝2，
所以N (－3,2)．
……………………12分
21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝4，
离心率为1
2，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于点M ，N .证明：以线段MN 为直径的圆过椭圆的右焦点．解
由题意知，|AB |＝2a ＝4，得a ＝2，
又离心率e ＝c a ＝1
2，
∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
……………………4分
(2)证明
由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，
设P (m ，n )，m ≠±2，则3m 2＋4n 2＝12，即4n 2＝12－3m 2.直线PA ：y ＝n
m ＋2(x ＋2)，
直线PB ：y ＝n
m －2(x －2)，
∴点M 的纵坐标y M ＝
6n m ＋2，点N 的纵坐标y N ＝2n
m －2
，
即C 的右焦点为F ，则F (1,0)，
∴FM →
FN →∴FM →·FN →
＝9＋12n 2m 2－4＝9＋3(12－3m 2)m 2－4＝9＋9(4－m 2)m 2－4＝9－9＝0，
即FM ⊥FN ，
∴以MN 为直径的圆过点F (1,0)
……………………12分
22.(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，且{a n }为
正项等比数列，a 1＝2，b 3＝b 2＋4.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n
b n b n ＋1
，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <1.(1)解
∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，①
∴当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1.②①－②，得a n ＝2(b n －b n －1)(n ≥2)，∴a 3＝2(b 3－b 2)＝8.设{a n }的公比为q ，则a 1q 2＝8.又a 1＝2，a n >0，∴q ＝2，
∴{a n }的通项公式为a n ＝2×2n －1＝2n .
∴2b n ＝21
＋22
＋23
＋ (2)
＝2（1－2n ）1－2
＝2n ＋1
－2，
∴{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
……………………6分
(2)证明
由已知，得c n ＝a n b n b n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－1
2n ＋
1－1
，
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝＋＋…＋
1－
1
2n ＋1－1
<1.
……………………12分。