2017九年级数学二次函数性质的应用.doc
中考重点二次函数的性质与应用
中考重点二次函数的性质与应用中考重点：二次函数的性质与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在中考中的考查频率较高。
掌握二次函数的性质与应用，能够帮助我们解决与二次函数相关的问题，提高解题能力。
本文将重点讨论二次函数的性质和应用，探索其在数学中的作用。
一、二次函数的定义及一般式表示二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了函数的对称轴位置，c表示函数与y轴的交点。
二次函数的一般式表示形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
一般式可以转化为顶点式表示或者因式分解式表示，从而更方便地研究二次函数的性质。
二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的表示为x = -b / (2a)，在二次函数图像上即为顶点的横坐标。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
3. 极值点与最值：二次函数的极值点即顶点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-x /(2a))。
当a>0时，二次函数的最小值为f(-x / (2a))；当a<0时，二次函数的最大值为f(-x / (2a))。
4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来确定。
二次函数有两个零点时称为有两个实根，有一个零点时称为有一个实根，没有实根时称为无实根。
三、二次函数的应用1. 求解问题：二次函数常常用于求解与平面图形有关的问题。
例如，已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A、B两点，求抛物线经过的最高点的坐标。
通过求解顶点坐标可以得到问题的解。
2. 最值问题：二次函数能够用于解决最值问题。
例如，已知二次函数y = ax² + bx + c，在一定范围内求函数的最值。
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用引言：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义和图像特点二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值。
二、二次函数的性质1. 零点和因式分解二次函数的零点是指使得f(x) = 0的x值。
根据二次函数的定义，我们可以通过求解ax² + bx + c = 0的根来求得零点。
而对于因式分解，我们可以将二次函数表示为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)的形式，其中x₁和x₂是二次函数的零点。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的轴线，它垂直于x轴，并通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求解f(x) = ax² + bx + c = 0的x值来得到。
而抛物线的顶点则是对称轴上的点，它的x坐标由对称轴的方程给出，y坐标可以通过代入x的值计算得到。
3. 极值和最值二次函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
根据二次函数的图像特点，当a > 0时，函数的极小值在顶点处取得；当a < 0时，函数的极大值在顶点处取得。
而最值则是函数在定义域上的最大值或最小值。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中一个重要的概念，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
当物体的运动轨迹为抛物线时，我们可以通过二次函数来描述其运动状态。
通过分析二次函数的性质，我们可以求解物体的最高点、最远点以及落地点等问题。
2. 经济学中的成本和收益在经济学中，成本和收益是一个重要的概念。
二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
(完整word版)二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用，主要研究：顶点、对称轴、最值、对称性、增减性、与坐标轴交点、图象平移、图象与方程（不等式）、图象信息、图象结合几何问题，实际应用问题等1、抛物线y=－x2+(m－1）x+m与y轴交于（0，3）点。
（1)求出这条抛物线解析式; (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3）求出最值、画出图象; （4)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（5）x取什么值时，抛物线在x轴上方?2、已知函数（1）m= 时,函数图像与x轴只有一个交点; (2）m为何值时,函数图像与x轴没有交点;3、抛物线的一部分如右上图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是4将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后,所得抛物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为．5、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1,0)，B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是___________．5、二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( ）A、b≥ B、b≥1或b≤-1 C、b≥2 D、1≤b≤2二次函数的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当时,函数y随x的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________ ．(请写出所有正确说法的序号）抛物线顶点坐标为点C（1，4),交x轴于点A(3,0），交y轴于点B.（1)求此抛物线的解析式；（2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm,点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求△PBQ的面积的最大值．1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD,AC=4BC，设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A、B、C、D、二、综合题（共2题；共25分）2、（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1）求证：△AEF∽△ABC；（2)求这个正方形零件的边长；（3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?3、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。
2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。
一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。
对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。
2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。
当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。
三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。
对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。
这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。
2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。
例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。
通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。
二次函数的性质和应用
二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。
本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。
一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。
1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。
对称轴把图象分成两个对称的部分。
2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。
其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。
3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。
当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。
最小值或最大值统称为顶点。
4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。
当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。
二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。
例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。
抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。
2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。
例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。
3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。
非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。
例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。
4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。
它的特点是含有二次项的多项式函数，一般的形式为y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）。
本文将探讨二次函数的性质与应用，旨在帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的图像在经过顶点，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质，即当x轴上的一个点关于顶点对称时，对应的函数值也是相等的。
这一特性可以通过函数关于x=-b/2a的对称性来解释。
3. 二次函数与一次函数的关系若将二次函数的一次项系数b取为0，则得到的函数为f(x)=ax²+c，此时就变成了一元二次方程。
一次函数可以看作是二次函数的一种特殊情况，在一次函数中，a=0，即y=c，其中c为常数。
4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数的根，即f(x)=0的解。
对于一般形式的二次函数，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到它的零点。
根的情况有三种：当判别式b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当判别式b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当判别式b²-4ac<0时，没有实根。
5. 二次函数的最值二次函数在抛物线的顶点处取得最值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
6. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，抛物线的运动轨迹、物体自由落体的高度与时间的关系、利润与销量的关系等都可以用二次函数来描述和分析。
通过建立二次函数模型，可以对实际问题进行预测和优化。
总结：二次函数作为一种重要的数学工具，在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见的一类函数，它的特点是含有二次项的多项式函数，通常表示为y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为实数且不全为零），在本文中我们将探讨二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质二次函数的图像为抛物线，其性质如下：1. 开口方向：由二次项的系数a的正负决定，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为二次函数，即抛物线的对称轴为x=-b/2a。
3. 对称性：抛物线关于对称轴对称，即f(x)=f(-b/2a+x)。
4. 零点：二次函数的零点为使得f(x)=0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
二、二次函数的应用由于二次函数具有较为简洁的数学表达式和良好的图像特点，因此在实际问题中有广泛的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 物体运动的模拟二次函数可以用来模拟抛体运动的轨迹。
假设一个物体从地面上沿着水平方向射出，经过一段时间后，它的轨迹可以用二次函数表示。
其中，抛物线的开口方向取决于物体的发射角度和初速度大小，而顶点坐标则可以表示物体的最高和最远点。
2. 经济学中的成本和收益问题在经济学中，成本和收益通常与产量或销售额等变量相关。
二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系，从而帮助企业或个人做出决策。
例如，一个生产商可以通过分析其成本函数来确定最佳产量，从而实现成本最小化。
3. 工程学中的曲线拟合在工程学中，需要对一些实验数据进行拟合，以找出合适的曲线来描述数据之间的关系。
二次函数可以较好地拟合一些非线性数据，因为它具有一定的弹性和灵活性。
通过拟合二次函数，可以预测未知数据点的取值，并帮助工程师做出正确的决策。
4. 地理学中的地形分析地理学研究中，经常需要对地形进行分析和描述。
二次函数可以用来模拟山脉和河流的起伏曲线，帮助研究人员理解地理变量之间的关系，比如高度和距离之间的关系。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是一种常见的数学函数形式，由幂次为2的项和常数项组成。
它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质和应用，并介绍一些相关的数学原理。
一、基本形式和性质二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c（其中a≠0，a、b、c为常数）1. 零点和轴对称性二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解ax^2 + bx + c =0来得到。
零点对应于函数图像与x轴相交的点，也称为函数的根。
二次函数的图像是关于一个垂直于x轴的轴对称的，称为二次函数的轴。
轴的方程为x = -b/(2a)。
2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负值决定。
当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
3. 顶点和最值二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，对应于函数的最值。
顶点的横坐标为-x0，其中x0 = -b/(2a)；纵坐标为f(-x0)。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
最小值或最大值为f(-x0)。
二、二次函数的应用二次函数在多个领域中都有实际应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 物体的抛体运动当一个物体被竖直抛出时，其高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
在忽略空气阻力的情况下，物体的高度h随时间t的变化满足h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中v是初速度，h0是初始高度。
通过分析二次函数的性质，可以确定物体的最高点、落地时间等信息。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述生产成本与产量之间关系的函数。
二次函数常常被用来表示成本函数。
根据具体情况，成本函数的系数可以代表固定成本、变动成本等。
通过研究二次函数的图像和顶点，可以分析最小成本或最大利润对应的产量。
3. 自然界中的抛物线轨迹许多自然界中的现象都可以用二次函数来解释，例如自由落体运动、流体的喷射轨迹等。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。
本文将重点介绍二次函数的性质和应用，从而帮助读者全面了解和掌握二次函数的相关知识。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c ，其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线，具体的形状取决于二次项系数 a 的正负情况。
二、二次函数的性质二次函数具有很多重要的性质，下面将对其中几个常见的性质进行详细介绍。
1. 零点：二次函数的零点即其图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 f(x) = 0 来获得。
根据二次函数的性质，若判别式 D = b^2 - 4ac 大于零，则函数有两个不相等的实根；若 D 等于零，则函数有两个相等的实根；若 D 小于零，则函数没有实根。
2. 非负性：二次函数的非负性指函数值大于等于零，可以通过判别式 D 的值来确定。
当 D 大于等于零时，函数的图像在其两个实根之间的部分大于等于零；当 D 小于零时，函数的图像要么完全位于 x 轴上方，要么完全位于 x 轴下方。
3. 极值：二次函数在抛物线的顶点处取得极值，其极值点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来计算。
若 a 大于零，则抛物线开口朝上，极值是最小值；若 a 小于零，则抛物线开口朝下，极值是最大值。
三、二次函数的应用1. 抛物线的建模：许多现实生活中的问题可以通过二次函数来建立模型，并求解相关的问题。
例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，我们可以利用二次函数的性质来分析抛物线的最高点、最远距离等问题。
2. 物体的运动轨迹：在物理学中，许多物体的运动轨迹都可以用二次函数进行描述。
例如，自由落体运动的轨迹可以用二次函数来建模，我们可以通过分析二次函数的性质来研究物体的速度、加速度、运动时间等问题。
3. 经济学中的应用：在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、需求等与价格相关的关系。
二次函数的性质及其应用
二次函数的图象及其性质1.二次函数的图象二次函数2()y a x h k =-+的图象是抛物线,它有如下特点:(1)a>0,开口向上；a<0,开口向下；(2)对称轴是平行于y 轴的直线x=h ；(3)顶点坐标是(h ,k ).2.二次函数y=ax 2+bx+c 的性质.开口方向:当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.对称轴:直线x=2b a- 顶点坐标:(2b a -, 244ac b a-) 增减性:(1)当a>0时,在对称轴的左侧,即x<2b a -时,y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧,即x >2b a-时,y 随x 的增大而增大. (2)当a<0时,在对称轴的左侧,即x<2b a-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧即x >2b a-时，y 随x 的增大而减小. 最大（小）值：当a>0时，抛物线有最低点，即当x=2b a -时，y 有最小值244ac b a-；当a<0时，抛物线有最高点，即当x=2b a -时，y 有最大值244ac b a-.例1 已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a>0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y 的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.0解析:图像开口向下,a<0对称轴找一对对称点，在这里与横轴的两个交点-1+3／2=1所以选B类似性问题1. 下列函数：①y=-x ；②y=x -1；③y=-1x（x<0）；④y=-x 2+2x+3（x<1），其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个解析：函数②③④的y 的值随x 值增大而增大.2. 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，4），则点B 的坐标为（ ）A.（2，4）B.（4，2）C.（4，4）D.（4，3）解析：点A 、B 关于直线x=2对称；点A 的坐标为（0，4），所以点B 的坐标为（4，4）.探究类型之二 从二次函数的图象中获取信息例 2 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则下列5个代数式：ac ,a+b+c ,4a -2b+c ,2a+b ,2a -b 中，其值大于0的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5解析:判断a 的符号看图像开口方向，判断c 的符号要看图像与y 轴的交点位置。
二次函数图形之性质与应用
二次函数图形之性质与应用二次函数是一种常见的数学函数，具有特定的图形和性质。
本文将介绍二次函数图形的性质与应用。
首先，我们将会讲解二次函数的定义以及它的图像是如何绘制的。
然后，我们会详细介绍二次函数的性质，包括对称性、最值、零点等。
最后，我们将探讨二次函数在现实生活中的应用，例如抛物线的运动轨迹和物体的抛射等。
1. 二次函数的定义和图像二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。
抛物线的开口方向、顶点位置和对称轴位置取决于a、b的值。
2. 二次函数的性质- 对称性：抛物线具有轴对称性，对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。
当a > 0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a < 0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。
- 最值：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当a > 0时，最小值为c - (b^2 / 4a)；当a < 0时，最大值为c - (b^2 / 4a)。
- 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过求解方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0来确定。
可以利用因式分解、配方法或求根公式来求解二次方程。
3. 二次函数的应用- 抛物线的运动轨迹：二次函数的图像可以描述抛体的运动轨迹。
例如，物体在自由落体运动中的高度可以用二次函数来表示，其中t是时间，g是重力加速度。
- 抛体的抛射：二次函数的图像也可以描述抛体的抛射运动。
例如，抛出一个物体时，可以使用二次函数来确定抛物线的轨迹和最远距离。
综上所述，二次函数具有特殊的图像和性质，包括对称性、最值和零点。
它在现实生活中有许多实际的应用。
通过深入了解二次函数的性质与应用，我们可以更好地理解和应用它们在数学和实际中的作用。
二次函数的性质和应用
二次函数的性质和应用
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添加目录项标题 二次函数的性质 二次函数的应用 二次函数的图像和性质的关系 二次函数的应用题解析
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二次函数的性质
二次函数的开口方向
二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负。 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。 开口方向与对称轴垂直，对称轴为x=h。 开口大小与二次项系数a的绝对值成正比。
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二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
二次函数图像的对称轴与开口方向有关，开口向上时，对称轴是x=-b/2a；开口向下时，对称 轴是x=-b/2a
二次函数图像的对称轴与顶点坐标有关，顶点坐标为(h,k)，则对称轴是x=h
二次函数图像的对称轴与函数值有关，当x=-b/2a时，函数值取得最值
二次函数在数学竞赛中的应用
二次函数在几何 作图中的应用
二次函数在数列 求和中的应用
二次函数在不等 式证明中的应用
二次函数在代数 方程求解中的应 用
二次函数在金融领域的应用
计算投资组合风险和回报 评估股票价格和波动性 预测汇率变动和贸易平衡 制定保险和退休计划策略
二次函数在物理中的应用
自由落体运动：公式y=1/2gt^2描述物体下落距离与时间的关系 弹性碰撞：公式y=mv/(m+m)描述两物体碰撞后的速度变化 简 谐 振 动 ： 公 式 y = A* s i n ( ω t + φ ) 描 述 物 体 振 动 的 位 移 与 时 间 的 关 系 抛体运动：公式y=v0t-1/2gt^2描述物体抛出后的下落距离与时间的关系
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，由多项式中的二次幂项（最高次数为2）和常数项构成。
本文将探讨二次函数的性质以及其在实际应用中的具体运用。
一、二次函数的定义和基本形式二次函数的一般定义如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向：由二次函数的系数a的正负决定。
若a > 0，则二次函数的抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 最值与顶点：当二次函数的开口方向向上时，最值为最小值，对应于抛物线的顶点；当开口方向向下时，最值为最大值，也对应于抛物线的顶点。
3. 对称轴和顶点坐标：二次函数的对称轴为经过顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动：二次函数可以描述抛体运动的轨迹。
通过确定抛物线的方程，可以计算出抛体的高度、飞行时间、最远距离等。
2. 经济学中的成本函数和收益函数：企业的成本函数和收益函数通常采用二次函数来描述。
通过求解最值，可以确定最大利润和最小成本对应的产量。
3. 建筑工程中的拱桥设计：拱桥的形状通常可以用二次函数来描述。
通过调整抛物线的参数，可以使得拱桥的结构更加稳定和美观。
4. 金融学中的期权定价：期权定价模型如Black-Scholes模型中，二次函数被用来描述股票价格的波动性。
这有助于判断期权的价格和风险。
5. 统计学中的回归分析：二次函数可以用来拟合数据，进行回归分析。
通过寻找最佳拟合曲线，可以预测和解释数据的趋势和关系。
四、总结二次函数作为一种常见的函数形式，在数学中具有重要的性质与应用。
通过对二次函数图像特点的了解，我们可以更好地理解和应用二次函数。
二次函数的性质与应用
对于某些具有二次函数特征的数列，可以利用二次函数的求和公式 或相关性质来求解数列的和。
数列与二次函数图像的交点
通过探讨数列与二次函数图像的交点问题，可以进一步理解数列与 函数之间的关系。
与不等式综合应用
01
一元二次不等式
一元二次不等式是二次函数与不等式综合应用的基础，通过解一元二次
不等式可以研究二次函数的取值范围、最值等问题。
拓展到高次函数和多元函数
在掌握了二次函数的基础上，可以进一步学习高次函数和多元函数的性质和应用，拓宽 数学知识面。
结合其他数学知识
二次函数与不等式、方程、数列等数学知识有密切联系。未来可以将这些知识结合起来 ，形成更完整的知识体系。
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING
二次函数的一般形式
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数，且 $a neq 0$。
二次函数的顶点式
二次函数的交点式
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1, x_2$ 为与 $x$ 轴的交点横坐标 。
$f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 为顶点坐标。
二次函数的图像
是一个抛物线，开口方向由$a$的正负决定，对称轴和顶点决定了抛物线的位置和形状。
学习方法建议
理解基本概念
在学习二次函数的过程中，首 先要理解函数的基本概念，如 定义域、值域、单调性、奇偶
性等。
掌握基本性质
掌握二次函数的基本性质，如 对称轴、顶点、开口方向等， 以及这些性质与函数表达式中 系数的关系。
城市规划中的绿地设计
二次函数的性质及其应用
二次函数图像平移对函数值的影响： 图像平移不改变函数值
二次函数图像平移的应用：在解决实 际问题中，可以通过平移图像来简化 问题
二次函数图像平移的几何意义：平 移是二次函数图像在坐标平面上的 等距移动，不改变形状和大小
二次函数图像的对称轴是 直线x=-b/2a
二次函数图像的顶点坐标 为(-b/2a, f(-b/2a))
其方程为x = b/2a
对称轴与二次函 数的开口方向有 关，当a > 0时， 开口向上；当a < 0时，开口向下
二次函数的顶点 在对称轴上，其 坐标为(-b/2a, c-
b^2/4a)
当二次函数有两 个实根时，这两 个根关于对称轴
对称
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
顶点的坐标公 式为(-b/2a, f(b/2a))
二次函数的性质及其 应用
汇报人：XX
目录
二次函数的性质
二次函数的应用
二次函数的图像
二次函数的解析式
二次函数的性质
二次函数的开口方向取决 于二次项系数a的正负。
当a>0时，二次函数的开口 向上。
当a<0时，二次函数的开口 向下。
二次函数的开口方向与对 称轴和顶点位置有关。
二次函数的对称 轴是一条直线，
二次函数的解析式 为y=ax^2+bx+c，其 中a、b、c为系数
a的符号决定了抛物 线的开口方向，a>0 时开口向上，a<0时 开口向下
b的符号决定了抛物 线的对称轴，b>0时 对称轴为x=-b/2a， b<0时对称轴为y轴
c的符号决定了抛物线 与y轴的交点，c>0时 与y轴交于正半轴， c<0时与y轴交于负半 轴
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用一、引言二次函数是高中数学中经常出现的一种函数形式，它具有许多独特的性质和广泛的应用。
本节课我们将学习二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
二、二次函数的定义与基本性质1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如 y = ax² + bx + c （其中a ≠ 0）的函数。
其中a、b、c 是实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
2. 二次函数图像的性质（1）抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
（2）抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是 x = -b/2a。
（3）抛物线的顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
三、二次函数的性质推导与证明1. 零点的性质（1）二次函数的零点是函数与 x 轴的交点，即使 f(x) = 0。
（2）根据二次函数定义，我们可以列出二次方程 ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0，然后利用求根公式和配方法进行求解。
2. 极值点的性质（1）二次函数的最值点是函数的极值点。
（2）当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。
3. 单调性分析（1）当 a > 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递增，在无穷大的正值处单调递减；当 a < 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递减，在无穷大的正值处单调递增。
（2）证明单调性时，可通过求导或按照定义进行推导。
四、二次函数的应用实例1. 弹射运动二次函数可以用来描述抛体的弹射运动。
我们可以通过列出二次函数来分析弹射运动的高度、时间、最远水平距离等。
2. 变速运动二次函数也常常用于描述物体的运动情况，如物体的位移随时间的变化。
利用二次函数的特性，我们可以分析物体的运动过程。
3. 优化问题二次函数可应用于求解最值问题，如在给定条件下，求函数取得极值时的自变量取值。
初中数学人教版九年级上册二次函数图象和性质综合应用
三.深入探究
三.深入探究
四.总结提升
1.建立函数模型：即利用一次函数和反 比例函数的增减性和二次函数的对称性 及增减性，确定某范围内函数的最大或 最小值。
2.结合函数图象解决问题---数形结合
五.课外习题（另附）
感谢聆听 多谢配合 祝你进步！
连江文笔中学 孙金莲 2017.05.18
一.知识回顾
1.写出一个y随x的增大而减小的函数解
解析
式：
.
二.分类突破
二.分类突破 变式：
方法归纳
一判：判断是哪种函数 二看：看函数变化趋势 三定：定自变量的取值范围 四求：求值 一次函数：单一的增减性，把端点值代入求解
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数学教学案例一教学目标1、能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。
2、掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。
3、提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。
4、让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。
二教学重点和难点重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。
难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。
三教学过程的形成过程成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。
许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。
值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。
第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。
“二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。
（一）对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评1、复习提问师二次函数y=ax2+bx+c有哪些性质？生（略）评教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。
这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。
师 下面大家一起做投影上的练习。
（出示投影）已知二次函数y=x 2-3x+2，填空：(1)图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。
(2)开口方向是 。
（向上）（3）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。
（23<，23>，23=，小，41-） （4）当x 时，y>0，若y<0，则x 的取值范围是 .(>2或<1,1<x<2)评 复习练习应起到承上起下的作用，要紧扣本节课的教学要求，一些内容联系不大的问题，该省略就省略。
2、新课教学师 这一节课我们来学习二次函数性质的应用。
（板书：二次函数的性质应用举例）先看例1（呈现投影）例1 用长6m 的铝合金条制成如图1的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？师 大家考虑一下，要求窗户的最大透光面积，应先解决什么问题？生 先应写出面积关于窗宽的二次函数解析式。
师 窗户面积关于窗宽的二次函数的解析式怎么求呢？图1生 设窗户宽为xm ，则窗户高为236x -m ，窗户的透光面积y 与x 的关系是y=x 236x -∙。
师 这里自变量x 的取值范围是什么？根据什么来定的？生 根据窗户的宽和高都必须大于零，得6-3x>0解得：0＜x<2x>0师 这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？生 求函数y=x 236x -∙=x x 3232+-的最大值。
师 怎样求？生 当x=a b 2-＝1时，y 的最大值是23。
师 对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。
（教师板书解题过程）评 （1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？（2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。
教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。
师 通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是：⑴ 列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
⑵ 在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。
评 数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。
师 接下来看例2。
（呈现投影片）例2 如图2，B 船位于A 船正东26Km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船以每小时12Km的速度朝正北方向行驶，B 般以每小时5Km 的速度向正西方向行驶，求A 船何时与B船相距最近，最近距离是多少?A ’A B ’ B图2师 要求两船相距最近，应先回答下列问题。
（呈现投影片）⑴设若经过t 时，两船A 、B 分别到A ’、B ’，则AA ’= ,BB ’ 。
（2）AB ’＝（3）若设两船的距离为s （km ），写出s 关于t 的函数解析式s=（4）要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？（指定一名学生填空：①AA ’＝12t ，BB ’=5t ②AB ’＝26-5t ③A ’B ’＝)6762601692+-t t 生 要求最小值只要求二次三项式169t 2-260t+676的最小值。
师 多项式169t 2-260t+676的最小值.怎么求呢？生甲 当t ＝13102=-a b 时，有最小值576。
生乙 用配方法，1695t 2-260t+676=(13t-10)2+576. 当13t-10=0,即t=1310时，有最小值576，则s 的最小值为24 评 这个例题是一个运动点的问题，有条件的情况下最好采用多媒体动态图形，使问题更直观、形象，问题的解答过程可由学生学习小组讨论解决、以调节课堂气氛，调动学生学习积极性，培养学生团队合作能力。
3、课堂练习师 下面做书本的练习。
1、 如图3，周长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？图32、 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积最大。
3、 已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边的最小值，以及当斜边达到最小值时的两条直角边的长。
（学生练习，教师巡视指点）评 课堂练习的目的是为了使学生加深对所学知识的理解，形成知识体系，把多个练习题放在一起做有些枯燥，对巩固所学知识的效果不是最好，练习1、2可在例1讲解后就去完成，练习3放在例2讲解后做，这样更能使例题和练习配套，便于学生归纳总结。
师 请同学们考虑书本中“想一想”的问题。
想一想：你能用配方法求函数y=x 2+x 21的最小值吗？（两名学生板演） 生甲211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x y x x , 2min -=∴y . 生乙211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x y x x , 2min =∴y .师 两个同学的答案谁正确呢？（学生沉默）师 甲的结果是错误的，因为在实数范围内不存在x 使x+x1=0；乙的结果是正确的，当x=1±时，2min =y4、课堂小结师 这节课我们学习了用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）分析题意，选取适当的量为自变量，列出二次函数的解析式，确定自变量的取值范围。
（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大（小）值。
5、布置作业（略）评 本节课是应用所学知识解决实际问题，应通过学生主动参与、积极动手、观察、讨论、归纳去发现和解决问题，这样有利于开发学生的智力，培养学习兴趣，提高分析问题的能力。
新课的引入相当关键，要能吸引学生的注意力，但本节课的引入缺乏新意，难激起学生的求知欲；对例题的解决了应引导学生去探求，教师不宜讲解过于细致，释疑要留给学生。
（二）修改后成功的教案1. 创设情境，提出问题板书课题：二次函数性质的应用。
a) 实验：学生用课前准备好的长6cm 的细铝线围成一个矩形。
①量一量，你的矩形的长和宽是多少？②算一算，你的矩形的面积有多大？③比一比，谁围的矩形的面积最大？b)思考和猜想：①围成的矩形的长和宽有什么关系？②矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？（学生自由发言）i.长和宽的和是定长3cm；②当长和宽相等时，面积最大）【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。
c)怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？1.通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm,则宽为多少？2.矩形的面积怎样计算？面积y（cm2）与长x（cm）有什么关系？3.x的取值范围由什么确定？怎样求？4.怎样求面积y(cm2)的最大值呢？【提示】培养学生用运动变化的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想。
2.例题分析，比较归纳a)例1用长6m的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？图4 学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。
教师结合下列问题进行启发：①本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？（窗框的宽，窗框的高，窗框的面积）②设这一有代表性的量为x，请用x表示面积y。
（学生口述，教师板书解题过程）【提示】与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲解，让学生体会数学应用意识。
b) 尝试反馈：①如图5，用长20m 的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一段长1m 的空隙为进出小门（小门不用篱笆），怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？1m图5③ 把60表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。
c) 归纳用二次函数解实际问题的步骤:（学生回答，教师补充并板书）1. 选择适当的变量为自变量；2. 列二次函数的解析式；3. 确定自变量的取值范围；4. 在自变量取值范围内，求二次函数的最大（小）值，（用公式法或配方法）3. 深入探究，问题迁移a) 出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，①对角线L与边长（x ）有何关系？学生观察发现：当矩形的边长AB 变化时，它的对角线L 的长也随着变化。
D C3-XA X B图6②能否写出L 关于x 的函数关系？（L ＝()90623222+-=-+x x x x 0<x<3） ③能否求出对角线L 的最小值？当被开方式2x 2-6x+9取最小值时，对角线L 也有最小值。
问题转化为求2x 2-6x+9取最小值。