离散数学模拟试题

离散数学模拟试题
填空题30分
1. 数理逻辑研究的中⼼问题是推理，命题必须具备：其⼀，语句是_______；其⼆，语
句有_______。

命题的真值就是命题的逻辑取值。

若⼀个命题是真命题，其真值为____ ；若⼀个命题是假命题，其真值为___ 。

2. 基本的逻辑联结词包括 ____、____、____、____、____。

含有n 个命题变项的公式
A 共有____个赋值。

n 个命题变项只能⽣成____个真值不同的公式。

3. 在⼀阶逻辑中，简单命题被分解成_______和_______。

命题中常出现的量词有_______和_______。

4. 集合是⼀些事物汇集到⼀起组成的⼀个整体，不含任何元素的集合叫做_____，它
是所有集合的⼀个⼦集。

设集合}b ，a { A ，它的全体⼦集构成的集合叫做A
的
_____，P （A ）=_______________________________________________。

5. ⼏个集合之间的关系和运算可以⽤⽂⽒图给与形象的描述。

⽤公式表⽰下列阴影部
分的集合1=_________________，2=_________________
1 .
2 .
6. ⼀个⾮空集合，且它的元素都是有序对或者集合是空集，则称该集合为⼀个⼆元关
系。

任何集合都有三个特殊的⼆元关系________、________、________。

7.关系的运算中R 的逆关系R -1=____________,关系的性质有
_____________________________。

如果}a a,,c a,，b ，a {><><><=F ,
}
,c b,，b ，c ,b b,,c c,,a a,，b ，a {><><><><><><=H ，则F?H=____________________________ 8.图论中所说的图是描述事物之间关系的⼀种⼿段，许多事物之间的关系可抽象成点及
它们之间的连线，集合论中⼆元关系的关系图就是简单的图。

有向图D 是⼀个⼆元组,
其中(1) V ≠ ?为_______； E 是______________，其中元素称为有向边或简称边。

例如下
图中的V= _____________； E=___________________。

⼀．简答题
1.等值演算能将命题公式化简，试写出分配律、德摩根律、吸收率，零律、同⼀律、蕴含等
值式、假⾔易位、归谬论。

2.推理定律，附加、化简、假⾔推理、拒取式、析取三段论、假⾔三段论、等价三段论、构
造性⼆难。

3.什么是偏序关系，试举出⼀个偏序关系，并画出它的哈斯图，
三.命题符号化
1.将下列命题符号化，
4.李帅不仅聪明，⽽且⽤功。

5.⼩谢学过俄语或德语。

8. 2+3≠5当且仅当2不是有理数。

1.1 离散数学是研究离散量的结构及其相互之间关系的学科，它与当今计算机所处理的对
象⼀致，为计算机其他专业课程提供必要的数学基础。

1.2 逻辑学是研究思维形式、思维⽅法、思维规律及其推理的学科。

1.3 1和2有且仅有⼀个是偶数。

1.4 只要⽤功学习，就能有所收获。

1.5 数a 是偶数当且仅当它能被2整除
2在1.张磊不是不聪明，⽽是不⽤功。

2.张芳与陈敏是好朋友。

3.派⼩张或⼩王中的⼀个⼈去参加培训。

6.只要a 是4的倍数，a 就是2的倍数。

7.只有a 是4的倍数，a 才能是2的倍数。

⼀阶逻辑中将命题符号化
2.1有的乌龟⽐兔⼦跑得快
2.2兔⼦⽐乌龟跑得快
有限个简单合取式构成的析取范式称为析取范式。

试求（p →q ）∧r 的主析取范式并求出成
真赋值
1.
2.
3. 主吸取范式。

4.
2.。

(┐p →q) ∧(p →r)
1.
3.设集合}c ，b ，a {=A ，R 是A 上的关系
},c b,，b ，c ,b b,,c c,,a a,，b ，a {><><><><><><=R 试写出R 的举证
形式M R 和R 的关系图，并计算R 2
有向图的邻接矩阵
⽆向连通图的最⼩⽣成树
有向树的最优树
根数的⾏遍，公式表达
1.判断下列句⼦中哪些是命题，如果是并判断真值。

离散数学是计算机专业⼀门重要的基础课。

离散数学是现代数学的⼀个重要分⽀。

离散数学是研究离散量的结构及其相互之间关系的学科。

离散数学与当今计算机所处理的对象⼀致。

离散数学为计算机其他专业课程提供必要的数学基础。

命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分。

逻辑学是研究思维形式、思维⽅法、思维规律及其推理的学科。

传统的数理逻辑内容包括逻辑演算、公理化集合论、模型论、递归论和证明论。

只要学习⽤功，就能取得好成绩。

基本的逻辑联结词包括否定联结词￢p、析取联结词p∨q）、合取联结词p∧q。

蕴含联结词p→q。

蕴含联结词p→q，p→q为假当且仅当p为真且q为假。

只要p就q，p仅当q，只有q才p。

设有向图，，。

令为邻接到的边的条数，称为D的邻接矩阵，记作。

（1）试求如下有向图的邻接矩阵；（2）D中到长度为2的通路有多少条。

D中到长度为2的通路有3条，长度为3的通路有4条，长度为4的通路有6条。

求树叶权为2，4，6，7，8，10，12的最优树，并写出最优树的权。

求树叶权为1，1，2，3，4，5的最优树。

4.对于⼀棵根数的每个顶点都访问⼀次且仅访问⼀次称为树的⾏遍或周游。

对于2元有序正则树根据根数的访问次序分为中序、前序、后序⾏遍法。

利⽤2元有序数表⽰下⾯算式：（（a-b*c）*d+e）÷（f*g+h）
三.简答题（共35分）
1.将下列命题符号化，并判断真值。

1.1 离散数学是研究离散量的结构及其相互之间关系的学科，它与当今计算机所处理的对象⼀致，为计算机其他专业课程提供必要的数学基础。

（3分）
1.2 逻辑学是研究思维形式、思维⽅法、思维规律及其推理的学科。

（3分）1.3 1和2有且仅有⼀个是偶数。

（3分）
1.5只要⽤功学习，就能有所收获。

（3分）
1.5 数a是偶数当且仅当它能被2整除。

（3分）
2在⼀阶逻辑中将命题符号化
2.1有的乌龟⽐兔⼦跑得快（5分）
2.2兔⼦⽐乌龟跑得快（5分）
3. 有限个简单合取式构成的析取范式称为析取范式。

试求公式(┐p→q) ∧(p→r)的主析取范式，并求出成真赋值。

（5分）
∪∩
1.设：P:3是素数，q:5是素数，r：√2是有理数，下⾯复合命题中为假的是( )
A (p∨q)→r
B r→ (p∧q) C
(p∨r)→q D (p∧r)??q
2.下列公式不是等值演算式的是( )
A A□(∧)?A□(?) 0
B A?B□(?)?A??B
C A□(∨)?A?1
D A∧(B∨C)?(A□(∧) B)∧(A∧C)
3.下列公式不是推理定律的是( )
A (A∧B) ?A
B (A□(→) B)∧(B□(→) C)?(A□(→) C)
C (A)∧?B□(?A )
4.关于集合的说法错误的是( )
A不含任何元素的集合叫做空集 B空集是⼀切集合的⼦集
C集合是不能精确定义的基本概念 D集合A、B的对称差集等于(A∩B)-(A ∪B)
5. 有关⼆元关系说法错误的是（）
A R是⾮空集合A上的的等价关系,则R具有⾃反、对称、传递性
B 集合上的等价关系与划分是⼀⼀对应的
C 集合A的幂集和包含关系构成偏序集 D如果集合A中有偏序关系，则A 中的元素都是可⽐的
6.R是⾮空集合A上的偏序关系，下列关于偏序关系说法错误的是
A R具有⾃反、反对称、传递的性 B
C 可以利⽤哈斯图来简化⼀个偏序关系的关系图 D
7.下列有关集合的幂集说法错误的是
A把集合A的全体⼦集构成的集合叫做A的幂集 B空集是所有幂集的⼦集
C任意集合A的幂集的元素的个数等于2n，n是A的基数 D幂集是集合的集合
8..图的基本概念说法错误的是（）
A 图G的顶点集V的元素个数称为图G的阶数
B 任何图，所有点的度数等于边的条数的2倍
C 任何图，度数为奇数的顶点个数是偶数
D 图中通路中，所有边不相同时，称此通路为路径
7.下列有关幂集说法错误的是
A把集合A的全体⼦集构成的集合叫做A的幂集B空集是所有幂集的⼦集
C任意集合A的幂集的元素的个数等于2n，n是A的基数D幂集是集合的集合
离散数学试卷
⼀、选择题 (2×9%)
1、设命题公式G= ù (P→Q), H=P→(Q→ù P)，则G与H的关系是( )
A.GTH
B.HTG
C.可满⾜
D.以上都不是
2、设G=$x P(x),H="x P(x)，则G→H是( )
A.永真的
B.永假的
C.可满⾜的
D.以上都不是
3、设论域E={a, b }，且P(a,a)=T P(a,b)=F P(b,a)=T P(b,b)=F 则在下列公式中真值为T的是( )
C."xP(x,x)
D. "x$yP(x,y)
4、设A={a,{a}},下列式⼦中正确的有（）。

A. {a}∈ρ(A)
B. a∈ρ(A)
C. {a}íρ(A)
D. 以上都不是
5、设R,S是集合X={1,2,3,4}上的两个关系，其中R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>}。

则S是R的（）闭包。

A.⾃反
B.对称
C.传递
D.以上都不是
6、设集合A={1, 2, 3 }，A上的关系R={<1, 1 >,<2, 2 > }，则R不具有（）性质。

A.⾃反性
B.对称性
C.传递性
D. 反对称性
7、设集合A={a,b }，A上的关系R={, }，则R是（）
A. 是等价关系但不是偏序关系
B.是偏序关系但不是等价关系
C. 既是等价关系⼜是偏序关系
D. 既不是等价关系⼜不是偏序关系
8、G是连通的平⾯图，有5个结点，6个⾯，则G的边数为（）
A. 6
B. 5
C.11
D. 9
9、设集合A={1,2 ,3}，R={<1,2>},下列正确的有（）
A.rt(R)是等价关系
B.R10=φ
C. r(R)是偏序关系
D.tsr(R) 是良序关系
10、设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},则从A到B的函数f={,,,}是（）。

C. f是满射函数
D. f即不是满射⼜是不是⼊射函数
⼆、填充题（2×8%）
1、已知集合A={φ,1, 2}，则A的幂集为____________________。

2、已知命题公式G=(ù P→Q)∧R,则G的主合取范式是________。

3、已知序偶< x-2,18>=< 9,2x-y >，则x=_______; y=________。

4、设集合A={1, 2, 3, 4 }，A上的关系R={<1, 1 >,<2, 3 >,<4, 2 >,<3, 4> }，则R 具有____________________性质。

5、设集合A={a, b, c, d }，A上关系R＝{,,,},则关系RoRc =______________。

6、设A={0, 2, 3, 4, 5, 8 }，B={10, 12, 13, 14, 15, 16},则A到B的⼀个双射函数为____________________。

7、⽆孤⽴结点的有限有向图是欧拉图的充要条件是_____________________________。

8、具有16个结点的完全图有向图其边数⼀定为______________。

三、求解
1、设集合A={a，b，c}，试写出A上的所有等价关系。

（5%）
2、求$x("ùyP(x,y)→($zQ(z)→R(x)))的前束范式 (5%)
3、设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，R是整除关系，①画出的哈斯图，②写出⼦集
B={1,2,3,6}的最⼤元、最⼩元、上界、下界。

(6%)
4、是否可以分别画出⼀个图，使各点的度与下⾯给出的序列⼀致。

如可能，画出符合条件
的图，如不可能，说明原因。

(6%)
（1）3，3，3，3，3，3
（2）3，4，7，7，7，7
（3）1，2，3，4，5，5
四、证明题
1、证明P?Q?(P∧Q)∨(ù P∧ù Q) (5%)
2、证明：P∨Q，P→R，Q→S，R→ù P∧ùQTS (5%)
3、设函数f：A→B，g：B→C，f、g都是双射。

求证(gof)-1=f-1og-1（6%）
4、设A,B,C是任意四个集合，证明:
(A-B)×C=(A×C) -(B×C) (6%)
A .125711{,,,,}e e e e e B.246911{,,,,}e e e e e C .157911{,,,,}e e e e e
D.124711{,,,,}e e e e e 10.、给定平⾯G 如下所⽰，则G
中所有⾯的总次数为（B ）（1）28 （2）22 （3）26 （4）24
第九章树
5、给定⼀个集合A，R是上的关系，对于所有的a,b,c∈A，如果aRb,bRc意味着cRa，则
称是循环关系。

试证明当且仅当R是⼀个等价关系，R才是⾃反的和循环的。

（8%）
6、设R是集合A上的⼆元关系，证明:ts(R) êst(R) (8%)
7、证明若图G是⾃对偶的，则e=2v－2。

其中v为G的结点数，e为G的边数。

（6%）
A .125711{,,,,}e e e e e B.246911{,,,,}e e e e e C .157911{,,,,}e e e e e D.124711{,,,,}e e e e e 10.、给定平⾯G 如下所⽰，则G 中所有⾯的总次数为（
B ）（1）28 （2）22 （3）26 （4）24
6.下列图形哪⼀个可以⼀笔画出？（）D
8．下图属于什么图？（）D
A ．⼆部图
B ．欧拉图
C ．哈密尔顿图
D ．是⼆部图也是哈密尔顿图7．在下⾯的⽆向图中，哪⼀个是哈密顿图？。

（）B
9.有关图的连通性说法错误的是（）
A ⽆向图的连通性可以⽤点或边的连通度来表⽰
B ⽆向图的连通度和⽆向图的最⼩割集的基数有关
C 若⽆向图是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图D有向图的连通度⽤弱、单、双连通表⽰。

第九章树
1．下⾯哪⼀种图不⼀定是树。

（ D ）
A ．有n 个顶点n —1条边的连通图
B ．⽆回路的连通图
C ．连通但删去⼀条边则不连通的图
D ．每对结点间都有路的图 2．设G 是有5个顶点的完全图，则从G 中删去多少条边可以得到树？( A ) A ．6 B ．5 C ．10 D ．4.
3．在具有n 个顶点的完全图Kn 中删去多少条边才能得到树？（ A ）
A ．
(1)
(1)
2
n n n ---； B ．(1)n n m --； C ．1+-n m ； D ．1--n m 。

4．设G=为（n, m ）连通图，则要确定G 的⼀棵⽣成树必删去G 中边数为（） C A ．n
－m+1 B ．n －m －1 C ．m －n+1 D ．m －n －1
5.设图G 是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G 中删去多少条边使之变成树？（）B
A ．10
B ．5
C ．3
D ．2
6．下⾯给出的符号串集合中，哪⼀个是前缀码？（） A A ．{1, 01, 001, 000} B ．{1, 11, 101, 001, 0011} C ．{b, c, aa, bc, aba} D ．{b, c, a, aa, ac, abb} 7．下⾯给出的符号串集合中，哪⼀个不是前缀码？（） B A ．{}1111,110,10,0；
B ．{}1101,1001,101,110,；
C ．
{}01,001,000,10； D ．{}abc aba ac aa c b ,,,,,。

8．设T 是有n 个结点的⼆元正则树，则树T 的叶⼦数为（）。

C A ．n －1 B ．2n －1 C ．(n+1)/2 D ．(n+2)/3 9.T 为⼆元正则树，有t ⽚叶⼦，e 条边，则有（ c ）
A ．e > 2(t －1)
B . e < 2(t －1) C. e ＝ 2(t －1) D. e ＝2(t+1)
哦qrst。