2022-2023学年高二物理竞赛课件：三个量子数及其物理意义

立的值（轨道磁矩）：Lz ml (ml 0, 1,..., l)
Lz
-2mz
e
波尔磁子
B
e 2m
磁矩 z =-ml B
Ylml , 必须满足单值性条件
氢原子
x r sin cos , r2 x2 y2 z2 ,
y r sin sin , cos z ,
r
z r cos tg y
Θ
0
1
r
d2 dr 2
r
2me 2
es2 r
E
r2
Rr
0
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
令 x cos yx Θ
角量子数 （非负整数）
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
m2 1 x2
y
0
《特殊函数概论》王竹溪 北京大学出版社 p228
只有当 λ＝ll 1 时，方程的解yx才满足有限性条件，否则解无限。
令：ur Rr r
2
2me E 2
d 2u dr 2
2me
es2 r
2
2
l
l
r2
1u
0
r ：u ~ er r 0： u ~ rl1
u r e l1 r f
d2 f dr 2
2l 1
r
2
df dr
2me es2
2 2 l 1
f r
0
2r
d2 f
d 2
2l 1
1
df
0 Rnl
r
Rnl
r
r 2dr nn
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
令：Rr rle r f r
2
2me E 2
2r
d2 f
d 2
2l 1
1
df
d
l
1
me es2
2
f
0
《特殊函数概论》 王竹溪 北京大学出版社 p288
只有当
l
1
bnr
nr
2r Rr r l er f r
与波函数标准条件 有限性 相矛盾
nr不能取无穷大，解为有限多项式，设解的最高次项为nr ，则第nr +1项为0。
nr
l 1
me es2
2
2
n
2me 2
E
En
me es4 2 2 n 2
n 1, 2, l 0, 1, , n 1
Rnl r N nl r l er f 2r
d * nlml nlml
R2 r r2dr nl
Y Y* lml lml
sin d d =1
R2 r r2dr=1, nl
Y* lml
Ylml
sin d d =1
Y , 2
Y,
Lˆ2Y
,
2Y
,
Y
,
Θ
Φ
1
Θ
s in
s in
sin 2
Θ
LˆzΦ mlΦ
磁量子数 （整数）
Φ1
2 Φ
2
2
d 22 Φ
d 22
ml2Φ
0
Φ ml
1 eiml
2
ml
ml 1, 0, 1,
1
s in
d
d
s in
d
d
s
m l2
in 2
yx
N lml
P ml l
x
ml
2l＋1
l ml
!
1 ml
1 x2
2
d l ml
x2 1 l
2 l ml !
2l l! dxlml
d2
d 2
Φ
ml2Φ
0
Φ ml
1 eiml
2
ml
ml 1, 0, 1,
11
siinn
ddddssinindddd
ll
1
simnsi2mln22l2
ΘΘ00
Θlml
Nlml
Pml l
cos
ll
m l
1
1
r
d2 dr 2
r
2me 2
es2 r
E
lr2lr2R1rRr0
0
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
1
r
d2 dr 2
r
2me 2
es2 r
E
r2
Rr
0
ΘΘ00
Θlml
Nlml
Pml l
cos
ll
m l
1
1
r
d2 dr 2
r
2me 2
es2 r
E
lr2lr2R1rRr0
0
En
me es4 2 2 n 2
n 1, 2, l 0, 1, , n 1
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
氢原子模型求解要点
径向量子数
f
n0
1 n!
nr n nr
2l 2l
2
2 n
n
主量子数 （正整数）
（非负整数）
l
1 nr
me es2
2
n
2
2me 2
E
En
me es4 2 2 n 2
n 1, 2, l 0, 1, , n 1
ur Rr r
u rl e 1 r f
2r
Rnl r Nnl rler f 2 r
*求解H原子中电子在原子核周围的运动状态 1. 写出薛定谔方程(球坐标)
-
2
2m
1
r
2
r
(r 2
r
)
1
r2 sin
sin
r2
1
sin2
2
2
-
es2 r
ห้องสมุดไป่ตู้
=E
2. 分离变量法
nlml (r,,) Rnl rYlml ,
Ynlml
,
Θ
Φ =APml l
(cos )eiml
3. 边界条件，归一化条件
z z r z z
r r
Lˆ z
i
x
y
y
x
i
Lˆ2
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
er
r
e
1 r
e
1
r sin
22
12 xr2
r22yr22
r2z22s1in
1
r 2r
sri2n
r
r
1 1 2 srin2sin2
2
sin2
1r
2 1r rr2 2sin
x
r sin cos 1 cos cos 1 sin
x x r x x
r r
r sin
r sin sin 1 cos sin 1 cos
y y r y y
r r
r sin
r cos 1 sin
d
l
1
me es2
2
f
0
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
➢解法一：特殊函数法
《特殊函数概论》 王竹溪 北京大学出版社 p288
d2 f
d 2
2l
1
1
df
d
l 1 mees2
2
f
0
只有当
l
1
me es2
2
nr
时，方程的解f 才满足有限性条件。
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
➢解法二：级数法
d2 f
d 2
2l 1
1
df
d
l
1
me es2
2
f
0
f
b nr nr
nr 0
bnr nr
nr 2
nr
1 nr 2
2 l 1
b n nr 2 nr r
nr 1
bnr
nr 1
nr
三个量子数及其物理意义
结果与讨论： 三个量子数及其物理意义
能量量子化和主量子数 n (n 1,2,3)
En
mes4 2 2n2
=
es2 2a0
1 n2
基态: n 1 E1 13.6 eV
2
第一波尔半径 a0 = mes2
E
r
n=3 n=2
n=1
Rnl r 必须满足有限性和归一化条件
结果与讨论： 1. 三个量子数及其物理意义
2L2ˆr2222
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
Hˆ
2 2me
1 r
2 r 2
r
Lˆ2 2r2
es2 r
Lˆ2
2
1
s in
s in
1
sin 2
2
2
RrY,
Hˆ E
1
Rr
r
2 r 2
r
2mer 2 2
es2 r
E Rr
1 Lˆ2
nr
1
l
1
me es2 2
nr
bnr
0
nr
1
0
bnr 1
nr 1
nr
1
n nr 1 r
2
l
1
bnr 1
nr 0
nr
1 nr 1
b n nr 1 nr r
nr 1
l
1
me es2 2
nr
bnr
0
nr 1
0
bnr 1
nr l 1 mees2
nr 2l 2nr
me es2
2
nr
时，方程的解f 才满足有限性条件。
径向量子数 （非负整数）
l 1 nr
me es2
2
n
主量子数 （正整数）
d2
d 2
Φ
ml2Φ
0
Φ ml
1 eiml
2
ml
ml 1, 0, 1,
11
siinn
ddddssinindddd
ll
1
simnsi2mln22l2
角动量的空间量子化和角量子数 l
L ll 1
(l 0,1, 2, , n 1)
s,p,d,…
l：称为轨道量子数或角量子数，也称副量子数。
电子的速度只能取不连续的值
Ylml , 必须满足有限性和归一化条件
结果与讨论： 1. 三个量子数及其物理意义
角动量在空间任意方向上的投影：磁量子数 ml 角动量 L 在外磁场方向z的投影LZ只能取以下分
2
1
bnr
第一章 微观粒子的状态：§1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子：氢原子
f
b nr nr
nr 0
bnr 1
nr l 1 mees2
nr 2l 2nr
2
1
bnr
bnr 1 nr 1
bnr
nr
f nr e
nr
e
nr 0 nr !
bnr
nr 0
nr
bnr 1 nr 1