合肥工业大学电路分析课件(刘健版)第7章

L L1 L2 2 M
2
1 L L1 L2 2 M 0 M ( L1 L2 )
互感不大于两个自感的算术平均值。
i + + u – –

R1
u1 – + u2 R2
* L1 M L2 *

I

+
U

U1


Z1
–

U2
Z2
U 1 R1 I jL1 I jM I R1 I j( L1 M ) I
I 3 I1 I 2
Zeq
2 Z1Z 2 Z M U I3 Z1 Z 2 2Z M


Z2

时域 u, i 的关系：
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
忽略两个电感的电阻
R1 R2 0
Leq异 ( L1 L2 M 2 ) 0 L1 L2 2 M
自感磁链 Ψ11
11 =N1 11
11 21
i1
N1
N2 – + u21 –
21 =N2 21
施感电流
+
11 i1 21
u11
互感磁链 Ψ21
L1
11
i1
i1
， 称L1为自感系数，单位亨 ( H)。
， 称线圈 1对线圈 2的互感系数，单位亨（ H）。
M 21
( L1 L2 M 2 ) Leq同 0 L1 L2 2 M
i3 = i1 +i2
2. 同名端在异侧 i3 + u – i1 * L1 R1 M i2 L2 * R2
相量的关系：
Z1
ZM
U ( R1 j L1 ) I1 j MI 2 U ( R2 j L2 ) I 2 j MI1
L1
R1
I 3 I1 I 2
Zeq
2 Z1Z 2 Z M U I3 Z1 Z 2 2Z M
时域 u, i 的关系：
di1 di M 2 dt dt di di u R2 i2 L2 2 M 1 dt dt u R1i1 L1
忽略两个电感的电阻
R1 R2 0
Z 2 R2 j( L2 M ) 电感增强
2. 反串（逆串）
+ i R1
i
* L1 M
L2 *
+ u –
R L
u – R2
R R1 R2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt
k
M M 8 0.826 L1 L2 (L1 )(L2 ) 7.5 12.5
（2）先求支路的阻抗和电流，再计算支路的复功率
Z1 R1 j ( L1 M ) (3 j0.5) 3.04 9.46
Z 2 R2 j ( L2 M ) (5 j4.5) 6.7342 Z Z1 Z 2 (8 j4) 8.9426.57
R R1 R2
L L1 L2 2 M
i
+ +
R1 u1 * L1
I

+
M
U

u
– –

– + * L2 u2 R2
U1


Z1 Z2
–

U2
U 1 R1 I jL1 I jM I R1 I j( L1 M ) I


Z1 R1 j( L1 M )
22 21
N2 2
u21 u22 u2 – +
i2
由上可知：
已知线圈的绕向才能确定互感电压的方向， 这给工程上带来不便。 线圈两端的电压包含自感电压和互感电压； 电压的符号与参考方向和线圈绕向有何关联？
7.1.2 同名端与耦合电感 同名端： 当电流从各自线圈的某端子流入时 ，其所产生的 磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。 模型： i1 M i1 • 1 + u12 – N1 i2 • 3 + u21 –4 N2 i2 * L2 + u21 _
Z M j M 互感复阻抗
例7-1
+ u1 _
i1
M
i2 * L2 + u2 _
* L1
i1 10 A i2 10cos(10t ) A
L1 3 H L2 8 H M 2 H
图中，已知电流,计算电压 u1 和 u2 。 解 根据耦合电感的电压-电流关系，有
di1 di2 u1 L1 M 200sin(10t ) V dt dt di2 di1 u2 L2 M 800sin(10t ) V dt dt
21
楞次定律
11
21
i1 +
N1 N2
u11
–
+
u21
–
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时：
d11 d 11 u11 N1 dt dt
di1 L1 dt
自感电压
d21 dΦ21 di1 u21 N2 M 21 dt dt dt
互感电压
2、另一个线圈通电 同理，当线圈2中通时变电流i2时会产生磁通22和12 。
2
+ * u12 L1 _
可知：端子1和3是同名端， （或，端子2和4是同名端） di1 u M 同名端标记： “• ” 或 “*”等。 21 dt 同名端还可以从电位升高的角度定义 di u12 M 2 dt
例 确定图示电路的同名端。 i
1 *
1'

* 2
2'
1
*
2

3
1'
2'*
可以证明：M12= M21= M。
3、两个线圈同时通电 每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：
11 12
N1
i1 + + u11 u12 u1 – i2 + – N2 u21 – u22 – u2
22 21
di1 di2 u1 u11 u12 L 1 M dt dt
图a、b所示电路中较大的时间常数是 b 还是 a ?
* *
+
US
R1 +
US
L1 R2
*
R1 R2
L1 M L2
M L2
*
-
-
a
a
b
b
二、互感线圈的并联 1. 同名端在同侧 M i3 + u – i1
相量的关系： Z1
ZM
*
*
i2 L2 R2
U ( R1 j L1 ) I1 j MI 2 U ( R2 j L2 ) I 2 j MI1 Z2
di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
当线圈电流方向改变时，互感电压方向也变化。
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
11
12
N1 1
i1 + – u11 u12 u1 – + + –

Z1 R1 j( L1 M )
Z 2 R2 j( L2 M )
电感减弱
例7-4
图所示电路中，已知R1 = 3 ,R2 =5 ， L1=7.5 ， L2=12.5 ， M =8 ，电压源U = 50 V。 试计算：1）耦合系数k； 2）各个支路所吸收的复功率 S1和 S2 。 解（1）耦合系数k为
其中直流 i1 电流不产生互感电压和自感电压。
7.1.3
耦合系数
耦合系数 k (coupling coefficient) k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 定义耦合系数
def
k
M L1 L2
可以证明，k1。
全耦合时 11= 21 ，22 =12

N 1Φ11 L1 , i1 i1
500 V 设：U U 50 0 I Z 8.94 26.57 5.59 26.57 ( A )
S1 I 2 Z1 (93.75 j15.63)(VA)
S2 I 2 Z 2 (156.25 j140.63)(VA)
练习题
i3 = i1 +i2
3. 同侧与异侧并联的等效电感比较
哪个大?
Leq同
( L1 L2 M 2 ) L1 L2 2 M
>L
eq异
( L1 L2 M 2 ) L1 L2 2 M
练习
列写回路方程。
I 1
I 2
解
jL jMI R（I I ） R1I U 1 1 2 2 1 2 1
i1 + u1 _ M i2 * L2 + u2 _
i1
+ u1 _ * L1
M L2 *
i2 + u2 _
* L1
时域形式：
i2
di1 di 2 u1 L1 M dt dt
di1 di 2 u1 L1 M dt dt
di1 di 2 u2 M L2 dt dt
di1 di 2 u2 M L2 dt dt
3'
注意：线圈的同名端必须两两确定。
同名端的实验测定：
当闭合开关S时，i 增加，
R S 1 i
* *
1'
*2 *
2'
+ V –
di 0, dt
u22' M di 0 电压表正向读数 dt
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端子，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 当断开S时，如何判定？
互感
第7章 耦合电感电路
( Mutual Inductance Circuits )
变压器
变压器
有载调压变压器
调压器
整流器
电流互感器
牵引电磁铁
7.1
互感现象及耦合电感元件
先回顾单个线圈的自感（电感）及自感电压； 符合右螺旋时：

i + N u – 非铁磁物质
N Li
: 磁链 (magnetic linkage) : 磁通（magnetic flux） i
1
N 2Φ22 L2 i2 i2
2
M12 M 21 L1 L2
N1Φ12 N 2Φ21 M12 , M 21 i2 i1
,
M 2 L1 L2
k 1
例7-3
已知图中，i1 10 A i1 + u1 _ * L1 M i2
i2 10cos(10t ) A
L1 3 H L2 8 H M 2 H ，计算耦合系数k 。
空心线圈
电感模型
i
+ u _ L
d di u L dt dt
7.1.1
耦合现象
两个线圈彼此靠近，某一线圈通过随时间变化的电流时， 另一线圈受到磁的影响——磁耦合 。
1、一个线圈通电
11
N1
Φ11 ≥ Φ21
N2
21
施感电流 i1
+
u11
–
+
u21
–
u11称为自感电压
u21称为互感电压
自感磁链和互感磁链
耦合电感电路模型
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不 再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 i1 + * u12 L1 _ M * L2 i2 + u21 _ i1 + * u12 L1 _
M L2 *
i2
+ u21 _
di1 u2 参考方向，可确定互感线圈的特性方程
* L2
+ u2 _
解
k
由定义公式，
M L1L2 2 3 8 1 6 0.41
7.2 含耦合电感电路 7.2.1 串/并联电路 一、互感线圈的串联 1. 顺串 + i u – R2 R1 * L1 * L2 + M u
i
R
L
–
u R1i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt
在正弦交流电路中，相量模型

I1
j M
+

I2
j L2

U 1 j L1 _
*
*
+
U2

_ 受控源模型
jωL I U 1 1 1 jω MI 2 Z L1 I1 Z M I 2
jωMI jωL I U 2 1 2 2 Z M I1 Z L 2 I 2
12
N1
22
i2 + u12 – +
N2
u22
–
Ψ 22 ( L2 ) i2 Ψ 12 ( M12 ) i2
dΨ 22 dΦ22 di2 自感电压: u22 N2 L2 dt dt dt dΨ 12 dΦ12 di2 互感电压: u12 N1 M12 dt dt dt