高中数学(人教B版)选择性必修一：抛物线及其方程小结【精品课件】
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如果抛物线的焦点坐标为 (0， − 5) ，则抛物线的标准方程
具有 = − 的形式 ，且 = ，此时抛
= −
物线的标准方程是
.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）抛物线的焦点是双曲线
−
= 的焦点之一.
如果抛物线的焦点坐标为 (0，5) ，则抛物线的标准方
=
( > )
= − ( > )
②；
③；
④.
可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率
与①所表示的抛物线是相同的，但是：
如图所示，② = − ( > ) 所表示的
抛物线中， ≤ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的左侧，抛物线的开口向左
证明 M 到抛物线焦点的距离为 + ，并总结出关于抛物线
其他形式的标准方程的类似结论 .
证明 如图，由抛物线的定义可知， = ，
得到 = ′ + ′ .
即 等于点 M 的横坐标 与
的和，
所以 M 到抛物线焦点的距离为 + 得证.
′
人教B版课本158页练习 B 第4题
人教B版课本158页习题2—7 A 第6题
人教B版课本159页习题2—7 B 第4题
谢谢
程具有 = 的形式 ，且 = ，此时抛物线的标准
=
方程是
.
例2 已知直线 平行于 轴，且 与 轴的交点为 (，) ，点 在直线
上，动点 P 的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ⊥ ，求 P 点的轨迹
方程，并说明轨迹的形状.
解 由条件可知，直线 的方程为 = ，因此点 的横坐标为 4 .
总结 图（1），可知 M 到抛物线焦点的距离为
图（2），可知 M 到抛物线焦点的距离为
图（3），可知 M 到抛物线焦点的距离为
此结论可以直接应用.
− +
+
− +
；
；
.
例4 过抛物线 = ( > ) 的焦点为 F 的直线与抛物线
相交于A，B两点，从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别
（2）对称性
如果 (，) 是方程①的一组解，则不难看出 ，
(， − ) 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于
轴对称，如图所示. 此时称 轴是抛物线的对
称轴（简称轴）.
①
= ( > )
（3）顶点 是对称轴与曲线的交点
由（2）可知，抛物线 = 的对称轴为 轴
出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线
是一种圆锥曲线.
抛物线的标准方程
= ( > ) ①； = − ( > )
=
( > )
③；
①②③④这四种形式之一.
②；
= − ( > )
④；
= ( > )
的标准方程是
=
.
，从而所求的抛物线
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）抛物线的焦点是双曲线
解 （2）因为双曲线
−
−
= 的焦点之一.
= 中， = 9 + 16 = 5，又因为
双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 (0， − 5) 或 (0，5) .
设 P 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， . 因此
= (，)
= (，)
因为 OA ⊥ OP 的充要条件是 OA ∙ OP = 0 ，所以 + = ，即动
点 P 的轨迹方程为 = − .
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线 .
例3 设抛物线 = ( > ) 上一点 M 的横坐标为 ，
（或朝左），抛物线关于 轴对称；
如图所示，③ =
> 所表示的
抛物线中， ≥ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的上方，抛物线的开口向上（或
朝上），抛物线关于 轴对称；
如图所示，④ = − ( > ) 所表示的
抛物线中， ≤ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的下方，抛物线的开口向下
（或朝下），抛物线关于 轴对称.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴
的正半轴上；
解 （1）由已知可得焦点坐标为 (0，2)，因此抛物线的标准方
程具有 = 的形式 ，且 =
（1）范围
由方程①可知， ≥ ，又因为 > ，所以
≥ . 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在
轴的右侧. 另外，当 无限增大时， 也无限增
大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如
图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）.
①
= ( > )
抛物线及其方程小结
知识概要
一、梳理抛物线的定义、标准方程及其几何性质的知识
二、抛物线相关知识与方法的巩固应用
三、课堂小结
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F
的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看
∙ = +
B
x
设直线为 =
+
，由
= +
=
− − = ，从而 = −
, 可得
可得 ∙ = + = ，故
⊥ ，即 ∠ =
y
为 ， ，求证：∠ = .
ABiblioteka Baidu
证明 依题意 ( ，)， ， ，( ， ).
− ，
.
. O .F
则
， (− ， )，
分析：要证∠ = ，只需
∙ =
= (−， ) = (−， )，所以
.
小结：直线与抛物线相交的问题，可
以联立方程组，设而不求来解决问题.
y
.A
. O .F x
B
思考：几何法.
1. 梳理了抛物线的定义、标准方程和几何性质等相关知识
2. 面对问题，要注重从定义和几何性质出发
3. 体会使用定义和几何性质是解决抛物线的高效工具
人教B版课本157页练习A 第3题
与抛物线相交于原点 (0，0) . 因此，称原点是抛
物线的顶点. 如图所示.
①
= ( > )
（4）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比
称为抛物线的离心率，用 表示. 根据抛物线的
定义可知，抛物线的离心率 = 1.
①
如果抛物线的标准方程是 = − ( > )
具有 = − 的形式 ，且 = ，此时抛
= −
物线的标准方程是
.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）抛物线的焦点是双曲线
−
= 的焦点之一.
如果抛物线的焦点坐标为 (0，5) ，则抛物线的标准方
=
( > )
= − ( > )
②；
③；
④.
可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率
与①所表示的抛物线是相同的，但是：
如图所示，② = − ( > ) 所表示的
抛物线中， ≤ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的左侧，抛物线的开口向左
证明 M 到抛物线焦点的距离为 + ，并总结出关于抛物线
其他形式的标准方程的类似结论 .
证明 如图，由抛物线的定义可知， = ，
得到 = ′ + ′ .
即 等于点 M 的横坐标 与
的和，
所以 M 到抛物线焦点的距离为 + 得证.
′
人教B版课本158页练习 B 第4题
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人教B版课本159页习题2—7 B 第4题
谢谢
程具有 = 的形式 ，且 = ，此时抛物线的标准
=
方程是
.
例2 已知直线 平行于 轴，且 与 轴的交点为 (，) ，点 在直线
上，动点 P 的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ⊥ ，求 P 点的轨迹
方程，并说明轨迹的形状.
解 由条件可知，直线 的方程为 = ，因此点 的横坐标为 4 .
总结 图（1），可知 M 到抛物线焦点的距离为
图（2），可知 M 到抛物线焦点的距离为
图（3），可知 M 到抛物线焦点的距离为
此结论可以直接应用.
− +
+
− +
；
；
.
例4 过抛物线 = ( > ) 的焦点为 F 的直线与抛物线
相交于A，B两点，从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别
（2）对称性
如果 (，) 是方程①的一组解，则不难看出 ，
(， − ) 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于
轴对称，如图所示. 此时称 轴是抛物线的对
称轴（简称轴）.
①
= ( > )
（3）顶点 是对称轴与曲线的交点
由（2）可知，抛物线 = 的对称轴为 轴
出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线
是一种圆锥曲线.
抛物线的标准方程
= ( > ) ①； = − ( > )
=
( > )
③；
①②③④这四种形式之一.
②；
= − ( > )
④；
= ( > )
的标准方程是
=
.
，从而所求的抛物线
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）抛物线的焦点是双曲线
解 （2）因为双曲线
−
−
= 的焦点之一.
= 中， = 9 + 16 = 5，又因为
双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 (0， − 5) 或 (0，5) .
设 P 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， . 因此
= (，)
= (，)
因为 OA ⊥ OP 的充要条件是 OA ∙ OP = 0 ，所以 + = ，即动
点 P 的轨迹方程为 = − .
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线 .
例3 设抛物线 = ( > ) 上一点 M 的横坐标为 ，
（或朝左），抛物线关于 轴对称；
如图所示，③ =
> 所表示的
抛物线中， ≥ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的上方，抛物线的开口向上（或
朝上），抛物线关于 轴对称；
如图所示，④ = − ( > ) 所表示的
抛物线中， ≤ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在 轴的下方，抛物线的开口向下
（或朝下），抛物线关于 轴对称.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴
的正半轴上；
解 （1）由已知可得焦点坐标为 (0，2)，因此抛物线的标准方
程具有 = 的形式 ，且 =
（1）范围
由方程①可知， ≥ ，又因为 > ，所以
≥ . 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在
轴的右侧. 另外，当 无限增大时， 也无限增
大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如
图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）.
①
= ( > )
抛物线及其方程小结
知识概要
一、梳理抛物线的定义、标准方程及其几何性质的知识
二、抛物线相关知识与方法的巩固应用
三、课堂小结
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F
的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看
∙ = +
B
x
设直线为 =
+
，由
= +
=
− − = ，从而 = −
, 可得
可得 ∙ = + = ，故
⊥ ，即 ∠ =
y
为 ， ，求证：∠ = .
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证明 依题意 ( ，)， ， ，( ， ).
− ，
.
. O .F
则
， (− ， )，
分析：要证∠ = ，只需
∙ =
= (−， ) = (−， )，所以
.
小结：直线与抛物线相交的问题，可
以联立方程组，设而不求来解决问题.
y
.A
. O .F x
B
思考：几何法.
1. 梳理了抛物线的定义、标准方程和几何性质等相关知识
2. 面对问题，要注重从定义和几何性质出发
3. 体会使用定义和几何性质是解决抛物线的高效工具
人教B版课本157页练习A 第3题
与抛物线相交于原点 (0，0) . 因此，称原点是抛
物线的顶点. 如图所示.
①
= ( > )
（4）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比
称为抛物线的离心率，用 表示. 根据抛物线的
定义可知，抛物线的离心率 = 1.
①
如果抛物线的标准方程是 = − ( > )