第4章 确定性决策——线性规划初步(1)

m ax(m in) s.t.
z = ∑∑cijxij
i=1 j=1 ij
n
n
∑x
i=1 n j=1
n
=1 =1
j =1,2,..., n i =1,2,..., n
∑x
ij
xij = 0,1
张、王、李、赵四位老师被分配教语文、数学、物理化学四 门课程，每位老师教一门课，每门课由一位老师教。根据这 四位老师以往教课的情况，他们分别教四这门课程的平均成 绩如下表。要求确定哪一位老师上哪一门课，使四门课的平 均总成绩最高。
第4章 确定性决策——线性规 确定性决策—— ——线性规 划初步
线性规划问题 线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 基础解、基础可行解 单纯形表 线性规划的矩阵表示
线性规划问题
生产计划问题 配料问题 背包问题 运输问题 指派问题
1. 生产计划问题（Production Planning）
化学 x14 x24 x34 x44
最优解为：x14=1，x23=1，x32=1，x41=1，max z=336 即张老师教化学，王老师教语文，李老师教数学，赵老师 教语文。
语文 数学 物理 化学 张 王 李 赵 语文 数学 张 王 李 赵 92 82 83 93 68 91 90 61 物理 85 77 74 83 化学 76 63 65 75
5. 指派问题（Assignment Problem）
有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项 任务。由i个人完成j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本 最小（或总效益最大）的分配方案。 设：
i 人 从 第 任 0 第 个 不 事 j项 务 xij = 1 i 人 指 完 第 任 第 个 被 派 成 j项 务
T1 Cr Mn Ni 单价（元/公斤） 3.21 2.04 5.82 115 T2 4.53 1.12 3.06 97 T3 2.19 3.57 4.27 82 T4 1.76 4.33 2.73 76 G 3.20 2.10 4.30
要求配100公斤不锈钢G，并假定在配制过程中没有损耗。 求使得总成本最低的配料方案。
这个问题的最优解为：x1=26.58, x2=31.57, x3=41.84，x4=0（公 斤）, 最低成本为z=9549.87元。 问题：如果某一种成分的含量既有下限，又有上限怎么办？
3. 背包问题（Knapsack Problem）
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种 物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表： 物品1 物品2 重量（公斤/件） 价值（元/件） 10 17 41 72 物品3 20 35
求总运费最低的运输方案。
运价 （元/吨） A1 A2 需求量（吨）
B1 2 4 10
B2 3 7 30
B3 5 8 20 B1
供应量 （吨） 35 25 60 10吨
2 35吨 A1 4 25吨 A2 7 8 3 5
B2
30吨
B3
20吨
运价 （元/吨） A1 A2 需求量（吨）
B1 2 4 10
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、 丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占有的设备 机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利 用的时数如下表所示：
产品甲 产品乙 产品丙 产品丁 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 1.5 1.0 1.5 5.24 1.0 5.0 3.0 7.30 2.4 1.0 3.5 8.34 1.0 3.5 1.0 4.18 设备能力 （小时） 2000 8000 5000
2 min z = 3x1 +2x1x2 x2 + x3 s.t. 2x1 + ≤ 8 x1 x1 + x2 + 4x3 ≤ 9 x1 , x2 , x3 ≥ 0
线性规划的标准形式
目标函数为极小化，约束条件全部为等号约束，所 有变量全部是非负的，这样的线性规划模型称为标 准形式 min z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
线性规划模型用矩阵和向量表示
min z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
a11 a12 a21 a22 A= a m1 am2 a1n a2n amn
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
四门课的总分可以达到336分。
线性规划模型
min(max) z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ≥ (≤, ＝)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ≥ (≤, ＝)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ≥ (≤, ＝)bm x1, x2, ……, xn ≥0 (≤, Free) 线性规划模型的目标函数必须是 变量的线性函数，约束条件必须 是变量的线性等式或不等式。如 右的问题就不是线性规划问题：
B2 3 7 30

B3 5 8 20
供应量 （吨） 35 25 60
设从两个供应地到三个需求地的运量（吨）如下表：
B1 A1 A2 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
运价 （元/吨） A1 A2 需求量（吨）
B1 2 4 10
B2 3 7 30
B3 5 8 20
供应量 （吨） 35 25 60
b1 b = b2 b m
c1 c2 c= c n
x1 X = x2 x n
线性规划模型用矩阵和向量表示（续）
z = CT X = [c1 c2 x1 x cn ] 2 = c1x1 + c2x2 ++ cnxn xn
a1n x1 a11x1 + a12x2 +a1nxn a2n x2 = a21x1 + a22x2 +a2nxn amn xn am1x1 + am2x2 +amnxn
这个问题的最优解表示如下：
运量（吨） A1 A2 需求量（吨） 10 10 30 B1 B2 30 B3 5 15 20 B1 10吨 30吨 B2 7 8 5吨 15吨 B3 20吨 30吨 10吨 供应量（吨） 35 25 60
2 35吨 A1 4 25吨 A2 3 5
最小总运费为：z=3×30+5×5+4×10+8×15=275元
min z=2x11+3x12+5x13+4x21+7x22+8x23 s.t. x11+x12+x13 =35 x21+x22+x23 =25 x11 +x21 =10 x12 +x22 =30 x13 +x23 =20 x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0
供应地A1 供应地A2 需求地B1 需求地B2 需求地B3
4. 运输问题（Transportation）
某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，B2， B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应 地到每个需求地每吨物资的运输价格如下表：
运价（元/吨） A1 A2 需求量（吨） B1 2 4 10 B2 3 7 30 B3 5 8 20 供应量（吨） 35 25 60
m in) ax(m s.t.
z = CTX AX ≥ (=, ≤)b X ≥ (≤)0,Free
m in s.t.
z = CTX AX = b X≥0
线性规划问题的标准化
T1 Cr Mn Ni 单价（元/公斤） 3.21 2.04 5.82 115
T2 4.53 1.12 3.06 97
T3 2.19 3.57 4.27 82
T4 1.76 4.33 2.73 76
G 3.20 2.10 4.30
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。
min z=115x1+97x2+82x3+76x4 s.t. 0.0321x1+0.0453x2+0.0219x3+0.0176x4≥3.20 0.0204x1+0.0112x2+0.0357x3+0.0433x4≥2.10 0.0582x1+0.0306x2+0.0427x3+0.0273x4≥4.30 x1+x2+x3+x4=100 x1, x2, x3, x4≥0 Cr的含量下限约束 Mn的含量下限约束 Ni的含量下限约束 物料平衡约束
a11 a12 AX = a21 a22 a m1 am2
因此，线性规划模型可以写成如下矩阵和向量的形式
min z = CT X s.t. AX = b X≥ 0
线性规划模型总结
线性规划模型的结构 目标函数 ：max，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, ≤0, Free 线性规划的标准形式 目标函数：min 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
物品1 重量（公斤/件） 价值（元/件） 10 17
物品2 41 72
物品3 20 35
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3 s.t. 10x1+41x2+20x3≤50 x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。这 个问题的最优解为： x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元
目标函数
约束条件 变量非负约束
这个问题的最优解为：x1=294.12件，x2=1500件，x3=0，x4=58.82件 最大利润为：z=12737.06元。 问题：三个约束条件可以改为等式吗？
2. 配料问题（Material Blending）
某工厂要用四种合金T1、T2、T3、T4为原料，经熔炼成 为新的不锈钢G。这四种原料含铬（Cr）、锰（Mn）和 镍（Ni）的含量（％），这四种原料的单价以及新的不 锈钢G所要求的Cr、Mn、Ni的最低含量（％）如下表：
求使得总利润最大的生产计划。
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 1.5 1.0 1.5 5.24
产品乙 1.0 5.0 3.0 7.30
产品丙 2.4 1.0 3.5 8.34
产品丁 1.0 3.5 1.0 4.18
设备能力 （小时） 2000 8000 5000
设四种产品的产量分别为x1，x2，x3，x4，总利润为z，线性规划模型为： max z=5.24x1+7.30x2+8.34x3+4.18x4 s.t. 1.5x1+1.0x2+2.4x3+1.0x4≤2000 1.0x1+5.0x2+1.0x3+3.5x4≤8000 1.5x1+3.0x2+3.5x3+1.0x4≤5000 x1, x2, x3, x4≥0
语文 数学 张 王 李 赵 92 82 83 93 68 91 90 61 物理 85 77 74 83 化学 76 63 65 75
i 老 不 第 课 0 第个 师 教 j门 设： xij = 1 i 老 教 j 课 第个 师 第 门
max z=92x11+68x12+85x13+76x14+82x21+91x22+77x23+63x24+ 83x31+90x32+74x33+65x34+93x41+61x42+83x43+75x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 (1) 语文 数学 物理 x21+x22+x23+x24=1 (2) x31+x32+x33+x34=1 (3) x11 x12 x13 张 x41+x42+x43+x44=1 (4) x11+x21+x31+x41=1 (5) x21 x22 x23 王 x12+x22+x32+x42=1 (6) x13+x23+x33+x43=1 (7) x31 x32 x33 李 x14+x24+x34+x44=1 (8) xij=0,1 x41 x42 x43 赵