2018-2019学年广东省东莞市八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：每小题2分，共20分
1．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
2．（2分）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2分）衡量一组数据波动大小的统计量是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
4．（2分）的结果是（）
A．B．C．D．2
5．（2分）某篮球队5名主力队员的身高（单位：cm）分别是174，179，180，174，178，则这5名队员身高的中位数是（）
A．174 B．177 C．178 D．180
6．（2分）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=2，则AB的长为（）
A．1 B．2 C．D．
7．（2分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．4cm，5cm，6cm D．1cm，cm，
cm
8．（2分）如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）
A．EF∥BC B．BC=2EF C．∠AEF=∠B D．AE=AF
9．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=6，AB=5，则△AOB 的周长为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．（2分）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
二、填空题：每小题3分，共15分
11．（3分）已知数据：5，7，9，10，7，9，7，这组数据的众数是．
12．（3分）一次函数y=（m+2）x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是．13．（3分）已知a=，b=，则ab= ．
14．（3分）如图，三个正方形恰好围成一个直角三角形，它们的面积如图所示，则正方形A的面积为．
15．（3分）如图，已知点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠PCD 的度数是．
三、解答题（一）：每小题5分，共25分
16．（5分）计算：（+3）÷2﹣3．
17．（5分）为了解2路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天2路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如表各项数据．
（1）求出以上表格中a= ，b= ；
（2）计算该2路公共汽车平均每班的载客量是多少？
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．（5分）将直线l1：y=2x﹣3向下平移2个单位后得到直线l2．
（1）写出直线l2的函数关系式；
（2）判断点P（﹣1，3）是否在直线l2上？
20．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AC=4，CD=3，AD=5，AB=4．（1）求证：∠C=90°；
（2）求BD的长．
四、解答题（二）：每小题8分，共40分
21．（8分）观察下列各式，发现规律：
=2；=3；=4；…
（1）填空：= ，= ；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
22．（8分）某商场连续5个月统计了A、B两种品牌冰箱的销售情况（单位：台）．
A品牌：15，16，17，13，14
B品牌：10，14，15，20，16
（1）求出A品牌冰箱数据的方差；
（2）已知B品牌冰箱月销售量的平均数为=15，方差为S B2=10.4，你认为这两种品牌冰箱哪一种的月销量比较稳定？
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点
P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．
24．（8分）如图，直线y=kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4）．
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y=kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标．
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
（1）求证：BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值，如果变化，说明理由．
2015-2016学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题2分，共20分
1．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，（a≥0），进而得出答案．
【解答】解：∵式子有意义，
∴3x﹣1≥0，
解得：x≥．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（2分）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
3．（2分）衡量一组数据波动大小的统计量是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，衡量一组数据波动大小的统计量是方差．
故选D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．（2分）的结果是（）
A．B．C．D．2
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式=2=．故选C．
【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
5．（2分）某篮球队5名主力队员的身高（单位：cm）分别是174，179，180，174，178，则这5名队员身高的中位数是（）
A．174 B．177 C．178 D．180
【分析】中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．
【解答】解：数据从小到大的顺序排列为174，174，178，179，180，
∴这组数据的中位数是178．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=2，则AB的长为（）
A．1 B．2 C．D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质得出AB=AC，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
∴AB=AC=×2=1，
故选：A．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形性质的应用，能根据含30°角的直角三角形性质得出AB=AC是解此题的关键．
7．（2分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．4cm，5cm，6cm D．1cm，cm，
cm
【分析】先用三角形的三边的关系两边之和大于第三边，和两边之差小于第三边判断，再用勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：A：12+22≠32，所以1cm，2cm，3cm不能构成三角形，即不能组成直角三角形．
B：∵2+3＞4，∴2cm，3cm，4cm能构成三角形，∵22+32≠42，所以不能组成直角三角形．C：∵4+5＞6，∴4cm，5cm，6能构成三角形，∵42+52≠62，所以不能组成直角三角形，D：∵1+＞，∴1cm，cm，cm能构成三角形，∵12+（）2=（）2，所以能直
故选D．
【点评】此题是勾股定理逆定理题，主要考查了三角形的三边关系，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）
A．EF∥BC B．BC=2EF C．∠AEF=∠B D．AE=AF
【分析】根据三角形中位线定理即可判断．
【解答】解：∵AE=EB，AF=FC，
∴EF∥BC，EF=BC，即BC=2EF，
∴∠AEF=∠B，
故A、B、C正确，D错误．
故选D．
【点评】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，解题的关键是记住三角形中位线定理，属于中考常考题型．
9．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=6，AB=5，则△AOB
的周长为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OA、OB即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC=4，BO=OD=BD=3，
∵AB=5，
∴△AOB的周长为OA+OB+AB=4+3+5=12．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的性质：对角线互相平分，属于中考基础题，常考题型．
10．（2分）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
【分析】根据蚂蚁在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化可得正确选项．
【解答】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距
离S不变，走另一条半径时，S随t的增大而减小．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，距离不发生变化抓住问题的特点得到图象的特点是解决本题的关键．
二、填空题：每小题3分，共15分
11．（3分）已知数据：5，7，9，10，7，9，7，这组数据的众数是7 ．
【分析】根据众数的定义：出现次数最多的数叫做众数进行解答即可．
【解答】解：7出现的次数最多，所以众数是7．
故答案为7．
【点评】本题考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
12．（3分）一次函数y=（m+2）x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是m＞﹣2 ．【分析】先根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y=（m+2）x中，y随x的增大而增大，
∴m+2＞0，解得m＞﹣2．
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
13．（3分）已知a=，b=，则ab= ﹣2 ．
【分析】根据a=，b=，利用平方差公式可以求得ab的值．
【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==3﹣5=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是找出所求式子与已知式子之间的关系．
14．（3分）如图，三个正方形恰好围成一个直角三角形，它们的面积如图所示，则正方形A的面积为36 ．
【分析】要求正方形A的面积，则要知它的边长，而A正方形的边长是直角三角形的一直角边，利用另外两正方形的面积可求得该直角三角形的斜边和另一直角边，再用勾股定理可解．
【解答】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和100的正方形的边长是8和10；
解图中直角三角形得A正方形的边长：=6，所以A正方形的面积为36．
故答案是：36．
【点评】此题考查了正方形的面积公式与勾股定理，比较简单．
15．（3分）如图，已知点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠PCD 的度数是22.5°．
【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数，进而得出∠PCD的度数．
【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠ACP度数是67.5°﹣45°=22.5°．
∴∠PCD=45°﹣22.5°=22.5°，
故答案为：22.5°
【点评】此题主要考查了正方形的性质，关键是根据正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角解答．
三、解答题（一）：每小题5分，共25分
16．（5分）计算：（+3）÷2﹣3．
【分析】首先进行二次根式的化简，然后进行同类二次根式的合并．
【解答】解：原式=（4+3）÷2﹣3×
=2+﹣2
=．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类
二次根式的合并．
17．（5分）为了解2路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天2路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如表各项数据．
（1）求出以上表格中a= 31 ，b= 51 ；
（2）计算该2路公共汽车平均每班的载客量是多少？
【分析】（1）利用组中值的定义写出第2、3组的组中值即可得a和b的值；
（2）利用组中值表示各组的平均数，然后根据加权平均数的计算方法求解．
【解答】解：（1）a=31，b=51，
故答案为31；51；
（2）=43（次）
答：该2路公共汽车平均每班的载客量是43次．
【点评】本题考查了加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x k的权分别是w1，w2，w3，…，w k，则（x1w1+x2w2+…+x k w k）叫做这n个数的加权平均数．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】由∠1=∠2得出AB∥CD，再证出∠CAD=∠BCA，得出AD∥BC，从而得出四边形ABCD 是平行四边形．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠BAD=∠BCD
∴∠BAD﹣∠1=∠BCD﹣∠2，
∴∠CAD=∠BCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证出AD∥BC是解决问题的关键．
19．（5分）将直线l1：y=2x﹣3向下平移2个单位后得到直线l2．
（1）写出直线l2的函数关系式；
（2）判断点P（﹣1，3）是否在直线l2上？
【分析】（1）根据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x﹣3向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣3﹣2．
（2）把x=﹣1代入解析式解答即可．
【解答】解：（1）直线y=2x﹣3向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣3﹣2=2x﹣5；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣5=﹣7≠3，
∴P（﹣1，3）不在直线l2上．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
20．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AC=4，CD=3，AD=5，AB=4．（1）求证：∠C=90°；
（2）求BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证∠C=90°；
（2）在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可求BD的长．【解答】（1）证明：∵AC2+CD2=42+32=25，AD2=52=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C=90°；
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90°
∴BC===8，
∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．
四、解答题（二）：每小题8分，共40分
21．（8分）观察下列各式，发现规律：
=2；=3；=4；…
（1）填空：= 5，= 6；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；
（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解答】解：（1）根据题意得：=5；=6；
故答案为：5；6；
（2）====2015；（3）归纳总结得：=（n+1）（自然数n≥1）．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）某商场连续5个月统计了A、B两种品牌冰箱的销售情况（单位：台）．
A品牌：15，16，17，13，14
B品牌：10，14，15，20，16
（1）求出A品牌冰箱数据的方差；
（2）已知B品牌冰箱月销售量的平均数为=15，方差为S B2=10.4，你认为这两种品牌冰箱哪一种的月销量比较稳定？
【分析】（1）利用方差公式计算出A品牌的方差即可；
（2）根据方差的意义，判断这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．
【解答】解：（1）=（15+16+17+13+14）÷5=15（台）
∴=[（15﹣15）2+（16﹣15）2+（17﹣15）2+（13﹣15）2+（14﹣15）2]=2；
（2）∵B品牌冰箱月销售量的方差为S B2=10.4，A品牌冰箱月销售量的方差为2，
∴＜S B2，
∴A品牌冰箱月销售量比较稳定，B品牌冰箱月销售量不稳定．
【点评】本题主要考查了方差的计算，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示．方差越大，则数据不稳定；反之，数据较稳定．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A=90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，
又∠BPC=∠AQP，
∴∠CPQ=∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A=∠CPQ=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2
∴x2+22=（6﹣x）2，
解得：x=
∴AQ的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
24．（8分）如图，直线y=kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4）．
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y=kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）直线y=kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（3）作△OMN的高OA．在Rt△OMN中利用勾股定理求出MN==5．根据三角
形的面积公式求出OA===，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y=kx+b的距离也为．
【解答】解：（1）∵直线y=kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），
所以，
解得：，
∴直线MN的解析式为：y=﹣x+4；
（2）根据图形可知，当x≤3时，y=kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0，
则不等式kx+b≥0的解集为x≤3；
（3）如图，作△OMN的高OA．
在Rt△OMN中，∵OM=3，ON=4，∠MON=90°，
∴MN==5．
∵S△OMN=MN•OA=OM•ON，
∴OA===，
∴点P的坐标是（0，0）；
在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y=kx+b的距离也为，所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，点到直线的距离，勾股定理．难度适中．
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
（1）求证：BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值，如果变化，说明理由．
【分析】（1）利用菱形的性质和等边三角形的性质，根据SAS证明△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S
得出四边形AECF的面积不会发生变化；再作AH⊥BC于点H．求出AH的值，根据S △ABC
=S△ABC=BC•AH，代入计算即可求解．
四边形AECF
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．理由如下：∵△BAE≌△CAF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是定值，
∴四边形AECF的面积不会发生变化．
如图，作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC=BC=4，
∴BH=BC=2，
AH=AB•sin∠B=4×=2，
∴S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=×4×2=4．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE ≌△ACF是解题的关键，难度适中．。