2022届河北省沧州市高二第二学期数学期末考试试题含解析

2022届河北省沧州市高二第二学期数学期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：
①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
2．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
3．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎛⎫=+>∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长
度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )
A ．()2sin
12
g x x π
=-
B ．2()2sin 12
3g x x π
π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
C ．()2sin 12
3g x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．()2cos
3
g x x π
=
4．参数方程
（为参数）所表示的图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若复数2
1i
z =
+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -
B ．2z =
C ．z 的共轭复数为1i --
D ．2z 为纯虚数
6．在用反证法证明命题“三个正数a ，b ，c 满足6a b c ++≤，则a ，b ，c 中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a ，b ，c 都大于2
B ．假设a ，b ，c 都不大于2
C ．假设a ，b ，c 至多有一个不大于2
D ．假设a ，b ，c 至少有一个大于2
7．若复数z 满足20171z
i i
=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+
8．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为
12和4
5
，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．
12
B ．
23
C ．
34
D ．
13
9．已知复数1z i =-+的共轭复数为z ，则z
z
=（ ） A ．-1
B ．1
C ．i -
D ．i
10．已知椭圆4cos :3sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭
圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ） A ．)
6
21
B ．)
6
21
C ．125
D ．
245
11．若122n n
n n n C x C x C x +++L 能被7整除，则,x n 的值可能为 （ ）
A ．4,3x n ==
B ．4,4x n ==
C ．x="5,n=4"
D ．6,5x n ==
12．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一
点，则)()OP PM PO PN +⋅-=u u u v u u u u v u u u v u u u v
（（ ）
A ．20-
B ．12
C ．-12
D ．20
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设()
()()()()8210
2
01210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ,则
1210a a a +++=L ________.
14．曲线()13x
y a e =-在点()0,1处的切线方程为________．
15．5
2(1)x x x ⎛⎫+-
⎪⎝
⎭展开式中的常数项是____________(用数字作答) 16．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张，则抽到的牌中至少有1张红心的概率是_________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：
结合散点图可知，,x y 线性相关．
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程$y ＝ˆbx
+$a （其中b $，$a 用假分数表示）； （Ⅱ）计算相关系数r ，并说明（I ）中线性回归模型的拟合效果． 参考数据：22115≈；
参考公式：回归直线方程$y ＝ˆbx
+$a 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑；相关系数()()
()
1
2
21
1
(;)n
i
i
i n n
i i i x x y y x x y y ===--=-⋅-∑∑∑
18． “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作
代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μσ，利用该正态分布，求
Z 落在(14.55,38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；
②若2
~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是3,
(),,
x cos y sin ααα⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数以坐标原点为极
点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()224
cos π
ρθ+=．
(Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；；
(Ⅱ)已知点A B 、为直线l 上的两个动点，且42,AB =点P 为曲线C 上任意一点，求PAB ∆面积的最大值及此时点P 的直角坐标．
20．（6分）已知函数2
()1ln ()f x ax x x a R =+-+∈在点1
1(,())22
f 处的切线与直线210x y ++=垂直.
（1）求函数的极值； （2）若2
()m f x m x x
≥-
-在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 21．（6分）我们称点P 到图形C 上任意一点距离的最小值为点P 到图形C 的距离，记作()d P C ，
（1）求点()30P ，
到抛物线2
:4C y x =的距离()d P C ，； （2）设l 是长为2的线段，求点集(){}
1D P d P l =≤，所表示图形的面积；
（3）试探究：平面内，动点P 到定圆2
2
:1C x y +=的距离与到定点()()00A a a ≥，
的距离相等的点的轨迹．
22．（8分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率用数字作最终答案： 恰好有5节车厢各有一人； 恰好有2节不相邻的空车厢； 恰好有3节车厢有人．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假. 【详解】
画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，
可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，
可得(201867)(0.67)0.67f f ==.
，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=> ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 2．D 【解析】
分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答 详解：Q 命题p 是“第一次投中”，则命题p ⌝是“第一次没投中” 同理可得命题q ⌝是“第二次没投中”
则命题“两次都没有投中目标”可表示为()()p q ⌝∧⌝ 故选D
点睛：本题主要考查了p ⌝，q ⌝以及p q ∧的概念，并理解()()p q ⌝∨⌝为真时，p ⌝，q ⌝中至少有一个为真。

3．A 【解析】 【分析】
根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】
解：()02sin 1f ϕ==Q ，即1sin 2
ϕ=
， ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
Q
56
πϕ∴=
， 则5()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
，
Q
||AB =2
2
224T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2
41316
T +=， 则2
916T =，则34T =，即212T πω==，得6
π=ω，
即5()2sin 6
6f x x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin 12
6y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象， 即()()52sin 22sin 2sin 1261212g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫
=++=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题． 4．D 【解析】 【分析】
由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的
符号，从而确定曲线的形状。

【详解】 由题意知
将
代入
，得
，
解得，因为，所以.故选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

5．D 【解析】 【分析】
将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】
()()()
212
1111i z i i i i -=
==-++- z 的虚部为1-，A 错误；
112z +，B 错误；1z i =+，C 错误；
()2
212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
否定结论，同时“至少有一个”改为“全部” 【详解】
因为“a ，b ，c 至少有一个不大于2”的否定是“a ，b ，c 都大于2”，故选A. 【点睛】
本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变． 7．A
【解析】 【分析】 【详解】 由
2017i 1i
z
=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 8．A 【解析】
分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.
详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而
甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为14
(1)25
⨯-，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为14(1)25-⨯，因此，所求概率为14(1)25⨯-1451
(1)25102
+-⨯=
=， 选A.
点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力. 9．C 【解析】 【分析】
根据共轭复数的概念，可得z ，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果. 【详解】
1z i =-+Q ， 1z i ∴=--，
11z i
i i
z -+∴==---， 故选：C 【点睛】
本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题. 10．B 【解析】
分析：根据椭圆的方程算出A （4，1）、B （1，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x +4y ﹣12=1．设点P （4cosθ，
3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125sin ()4
π
θ+﹣1|，结合三角函数的图
象与性质算出d max =
12
5
1），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值． 详解：由题得椭圆C 方程为：22
1169
x y +=，
∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，1），与y 正半轴的交于点B （1，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x +4y ﹣12=1的距离为
=125
sin ()4πθ+﹣1|，
由此可得：当θ=5
4π时，d max =12
5
1） ∴△PAB 面积的最大值为S=
1
2
|AB|×d max =6
1）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于
sin ()4π
θ+﹣1|，不是sin ()4
π
θ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4
π
θ+=-1，要看后面的“-1”.
11．C 【解析】 【分析】 【详解】
122(1)1n n n n n n C x C x C x x +=+++-L
所以当5,4x n ==时，1224
(15)11857n n n n n C x C x C x +++=+-=⨯L 能被7整除，选C.
12．B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()
OP PM PO PN OM NO +⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22
281608y kx
x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可. 详解：设()()1122,,,M x y N x y ，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--
28x y =Q 的焦点()0,2F ，
设过点F 的直线为2y kx -=，
22
281608y kx
x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-， 128x x k +=，
()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++
2162844k k k =-+⨯+=，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()121216412x x y y =--=---=，故选B.
点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．512 【解析】 【分析】
因为()
()()()()8210
2
01210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ,分别令1x =和1
2
x =
,即可求得答案. 【详解】
Q ()
()()()()8210
201210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L
令1x =.
∴原式化为9012102a a a a =++++L .
令1
2
x =
,得00a =, ∴9121020512a a a +++=-=L .
故答案为:512. 【点睛】
本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 14．10x y -+= 【解析】 【分析】
求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程． 【详解】
曲线y ＝（1﹣3a ）e x 在点（1，1），可得：1＝1﹣3a ，解得a ＝1， 函数f （x ）＝e x 的导数为f′（x ）＝e x ， 可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1， 则图象在点（1，1）处的切线方程为y ＝x+1， 即为x ﹣y+1＝1． 故答案为：x ﹣y+1＝1． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题． 15．80- 【解析】 【分析】
将二项式()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为55
22x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，得出其展开式通项为
()()62525522r k r r k
k C x C x --⋅⋅-+⋅⋅-，再利用620
520,r k r k N -=⎧⎪-=⎨⎪∈⎩
，求出3r =，k 不存在，再将3r =代入可得出
所求常数项。

【详解】
()555
2221x x x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭Q ，
所以，()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式的通项为555522r k
r
r k k xC x C x x x --⎛⎫⎛⎫⋅⋅-+⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()62525522r
k
r r k
k C x C x --=⋅⋅-+⋅⋅-，
令620520,r k r k N -=⎧⎪
-=⎨⎪∈⎩
，可得3r =，k 不存在， 因此，()5
21x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项是()33
5280C ⋅-=-，故答案为：80-。

【点睛】
本题考查二项式定理，考查指定项系数的求解，解这类问题一般是利用二项式定理将展开式表示为通项，利用指数求出参数，考查计算能力，属于中等题。

16．
9
10
【解析】
【分析】
先由题意，求出“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率，再根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】
由题意，从5张扑克牌中，任意抽取2张，所包含的基本事件的个数为：2
510C =；
“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”只有一种情况；
则“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率为：110P =； 因此，抽到的牌中至少有1张红心的概率是9110
P -=. 故答案为：9
10
. 【点睛】
本题主要考查对立事件概率的相关计算，以及古典概型的概率计算，属于基础题型. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ）292351717
y x =+；（Ⅱ）0.967r =，因为0.9670.75>，所以拟合效果较好。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用最小二乘法求线性回归方程；（Ⅱ）直接依据公式计算相关系数，比较即可。

【详解】 （1）911141615135x ++++=
=，3032364240
365
y ++++== ，
5
1()()(4)(6)(2)(4)10362458i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
()
(4)(2)13234i
i x x =-=-+-+++=∑，
所以ˆb
＝58293417
＝， 则2923536131717
a y bx --⨯＝＝＝， 故所求线性回归方程为292351717
y x ＝＋； （II ）
()
5
2
1
361603616104i i y y -∑＝＝＋＋＋＋＝，
故()()
5
i
i
x x y y r --∑
0.9670.75≈＞,
故（I ）中线性回归模型的拟合效果较好. 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法以及相关系数的计算与应用。

18．（1）26.5（2）①0.6826②见解析 【解析】
试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布(
)2
,N μσ
，从而求出
(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概
率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：
50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）①∵Z 服从正态分布(
)2
,N μσ
，且26μ=，11.95σ≈，
∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,
2X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， ()4
04110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
1411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
2413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
3
4
11324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
44114216
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭. ∴X 的分布列为
∴()422
E X =⨯
=． 19． (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由参数方程利用22cos sin 1αα+=消去α，得到普通方程，由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
把极坐标化为普通方
程。

(Ⅱ) 设点)
sin P
αα，，由点P 到直线l 的距离和面积公式
1
=
2
PAB S AB d V 结合三角函数求得面积最值。

【详解】
（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为2
213
x y +=，
直线l 的直角坐标方程为40x y --=．
（Ⅱ）设点)
sin P
αα，，则点P 到直线l 的距离
d =
=
． 1π=
=22sin 423PAB S AB d α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭V ， ∴当πsin 13α⎛⎫-= ⎪⎝
⎭时，当点P 的直角坐标为3122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，时，PAB S V 有最大值1． 【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθ
ρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。

20．（1）极大值为(1)1f =-，函数()f x 无极小值；（2）(,2]-∞ 【解析】
分析：（1）由函数()()2
1ln f x ax x x a R =+-+∈在点1
1,22f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线210x y ++=垂直，利用导数的几何意义求得1a =-，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）
()2m f x m x x ≥-
-在[)1,+∞上恒成立，等价于ln 10m
x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，令()ln 1m
g x x x m x =++--，利用导数可得当2m ≤时，()
g x 在[)1,+∞上是增函数，()()10g x g ≥=，故当2m ≤时，符合题意，再证明当2m >时不合题意即可. 详解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1
'21f x ax x
=++
，
所以函数()f x 在点11,22f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线的斜率121232k a a =⨯++=+.
∵该切线与直线210x y ++=垂直，所以32a +=，解得1a =-.
∴()2
1ln f x x x x =-+-+，()1'21f x x x =-++()()221121x x x x x x
-+--++==
， 令()'0f x =，解得1x =.
显然当()0,1x ∈时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减.
∴函数()f x 的极大值为()1111ln11f =-+-+=-，函数()f x 无极小值. （2）()2m f x m x x ≥-
-在[)1,+∞上恒成立，等价于ln 10m
x x m x
++--≥在[)1,+∞上恒成立， 令()ln 1m g x x x m x =++--，则()222
1'1m x x m
g x x x x +-=-+=，
令()()2
1h x x x m x =+-≥，则()h x 在[
)1,+∞上为增函数，即()2h x m ≥-，
①当2m ≤时，()0h x ≥，即()'0g x ≥，则()g x 在[
)1,+∞上是增函数， ∴()()10g x g ≥=，故当2m ≤时，ln 10m
x x m x
+
+--≥在[)1,+∞上恒成立.
②当2m >时，令()2
0h x x x m =+-=，得x =
，
当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()'0g x <，则()g x 在x ⎡∈⎢⎣⎭
上单调递减，()()10g x g <=， 因此当2m >时，ln 10m
x x m x
+
+--≥在[)1,+∞上不恒成立， 综上，实数m 的取值范围是(]
,2-∞.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
21．（1） （2）4π+ （3）见解析
【解析】 【分析】
(1)设A 2
00(,)4
y y 是抛物线2:4C y x =上任意一点，先求出|PA|的函数表达式，再求函数的最小值得解；
(2）由题意知集合{|(,)1}D P d P l =„所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，再求出面积；(3) 将平面内到定圆C 的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A 现圆C 的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决． 【详解】
(1)设A 2
00(,)4
y y 是抛物线2:4C y x =上任意一点，则
242
22220000011
||3)(0)9=4)84
16216
y y PA y y y =-+-=
-+-+（（， 因为0y R ∈,
所以当02y =±时，min ||22PA =.
点()30P ，
到抛物线2:4C y x =的距离()=22d P C ，. （2）设线段l 的端点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0)A -，(1,0)B ，点集D 由如下曲线围成：
1:1l y =，(||1)x „，2:1l y =-，(||1)x „，
221:(1)1C x y ++=，(1)x -„，222:(1)1C x y -+=，(1)x …
， ∴集合{|(,)1}D P d P l =„所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆， ∴其面积为224S ππ=+=+．
(3) 设动点为Q ，
当点A 在圆内不与圆心C 重合，连接CQ 并延长，交于圆上一点B ，由题意知QB QA =，QB QC R +=，所以QA QC R +=，即Q 的轨迹为一椭圆；如图．
如果是点A 在圆C 外，由QC R QA -=，得QC QA R -=，为一定值，即Q 的轨迹为双曲线的一支； 当点A 与圆心C 重合，要使QB QA =，则Q 必然在与圆C 的同心圆，即Q 的轨迹为一圆.
【点睛】
本题主要考查新定义的理解和应用，考查抛物线中的最值问题，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】 【分析】
人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数，恰好有5节车厢各有一人包含的
基本事件的个数
，由此能求出恰好有5节车厢各有一人的概率；
恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数，由此能求出恰好有2节不相邻
的空车厢的概率；
恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数
由此能求出恰好有3节车
厢有人的概率。

【详解】
人进入到一列有7节车厢的地铁中， 基本事件总数
，
恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数， 所以恰好有5节车厢各有一人的概率。

恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数，
所以恰好有2节不相邻的空车厢的概率。

恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数，
所以恰好有3节车厢有人的概率。

【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，计算概率类题目的时候，可以先将所有的可能种类的数目算出，然后算出符合题意的可能种类的数目，两者相除，即可算出概率。