2023北京高三(上)期末数学汇编：三角函数章节综合

2023北京高三（上）期末数学汇编
三角函数章节综合
一、单选题 1．（2023秋·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为6
25
，则sin2α=（ ） A ．
625
B ．
1225
C ．
1825 D ．
2425
2．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数()cos2f x x =在区间()π,3t t t ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦R 上的最大值为()M t ，
则()M t 的最小值为（ ）
A B ． C ．1
2
D ．12
−
3．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知1
3π
lg5,sin ,27
a b c ===，则（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
4．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）若()4
sin π,cos 05
αα−=−>，则tan α=（ ）
A ．34
B ．34−
C ．43
D ．43
−
5．（2023秋·北京房山·α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．cos cos αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos sin αβ>
D ．cos sin αβ<
6．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数()sin 2f x x x =，则下列命题正确的是（ ）
A ．()f x 的图象关于直线π
3
x =对称
B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．()f x 最小正周期为π，且作π0,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数
D ．()f x 的图象向右平移
π
12
个单位得到一个偶函数的图象 7．（2023秋·北京·高三校考期末）若角α的终边过点(3,4)P −，则cos 2=α（ ） A ．24
25
−
B ．
725
C ．
2425
D ．725
−
二、填空题
8．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π
()sin (0)6
f x x ωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值无最大值，则ω=___________． 9．（2023秋·北京房山·高三统考期末）函数()0.03sin(1000π)0.02sin(2000π)0.01sin(3000π)f t t t t =++的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①
1
500
是函数()f t 的一个周期； ②()f t 的图象关于直线1
500
t =
对称； ③()f t 的图象关于点1,0500⎛⎫
⎪⎝⎭对称； ④()f t 在11,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
其中所有正确结论的序号是______.
10．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）若函数cos sin y x x =−在区间[0,]a 上是严格减函数，则实数a 的最大值为________ 三、解答题
11．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知函数()()2
sin22cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3
个
单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间.
12．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知函数()cos2(02)f x x x ωωω=−<<，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， (1)求()f x 的解析式；
(2)当π0,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围.
条件①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫
⎪⎝⎭
；
条件②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到；
条件③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π
2
.
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
13．（2023秋·北京·高三校考期末）在ABC 中，1
7,8,cos 7
a b B ===−．
（1）求A ∠；
（2）求AC 边上的高． 四、双空题
14．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知函数()cos f x x x −，则π
3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______；若将()f x 的图
象向左平行移动π
6
个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为______.
参考答案
1．D
【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案. 【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，
故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故5
1sin 2462α=， 解得：sin2α=24
25
. 故选：D 2．D
【分析】根据()f x 在x t =取最大值，可判断()π,3t t t ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦R 要么在()f x 的单调减区间上，要么满足左端
点到对称轴π
π2
k +不小于右端点，即可得π
ππ3
k t k ≤≤
+，进而可求()M t 的最小值. 【详解】()cos2f x x =的周期为π，()cos2f x x =的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
，
Z k ∈,单调递减区间为ππ,ππ2k k ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，Z k ∈ 当x t =取最大值，故可知ππ,π,ππ32t t k k ⎡⎤⎡⎤+⊄++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
当ππππ32k t t k ≤<+
≤+时，即πππ6k t k ≤≤+，Z k ∈,()f x 在()π,3t t t ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦R 单调递减，显然满足最大值为()M t ，
当ππππ<23k t k t ≤<
++时，要使()M t 是最大值，则需满足ππππππππ2323k t t k k t k ⎛⎫⎛⎫
+−≥+−+⇒≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，Z k ∈
综上可知当π
ππ3
k t k ≤≤
+,Z k ∈时，()f x 在x t =取最大值()M t ， ()=2cos 2M t t 在π
ππ3
k t k ≤≤
+,Z k ∈单调递减，故当ππ3t k =+时，()M t 取最小值，且最小值为12−，
故选：D 3．B
【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/
【详解】因为lg10<，所以1
12
a <<， 因为ππsin
sin 76<，所以12
b <， 因为01
322>，所以1c >，因此b a c <<，
故选：B 4．D
【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】()4
sin πsin ,cos 05
ααα−==−>，
所以3cos 5
α=
， 所以sin 4
tan cos 3
ααα==−. 故选：D 5．D
【分析】根据题设可得ππ
0ππ22
βαβ<−<<<−<，结合诱导公式判断内角α、β对应三角函数值的大小关系.
【详解】由锐角三角形知：π
π2αβ<+<且π0,2
αβ<<， 所以ππ
0ππ22
βαβ<
−<<<−<， 则π
sin()sin 2
βα−<，即cos sin βα<，且πcos()cos 2βα−>，即sin cos βα>.
又已知角的大小不确定，故A 、B 不一定成立，而C 错，D 对. 故选：D 6．C
【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可.
【详解】π
()sin 222sin(2)3
f x x x x ==+，
对于A ，因为ππ2sin 22sin π02333f π⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π
3x =不是函数图象的对称轴，所以A 错误，
对于B ，因为πππ2π2sin 22sin
06633f ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以点π(,0)6不是函数图象的对称中心，所以B 错误，
对于C ，()f x 的最小正周期为
2ππ2=，当()πππ
2π22πZ 232
k x k k −+≤+≤+∈即 ()5ππππZ 1212
k x k k −
+≤≤+∈时，()f x 单调递增，所以 ()f x 在π
[0,]12上单调增，所以C 正确；
把()f x 的图象向右平移 π
12个单位得到函数πππ2sin 22sin(2)1236y x x ⎡⎤⎛⎫=−+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的图象，没有奇偶性，所
以D 错误， 故选：C
7．D
【解析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P −知，4sin 5α，3cos 5α=−，故22
9167cos 2cos sin 252525
ααα=−=
−=−. 故选：D. 8．4
【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.
【详解】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭上有最小值无最大值，
ππ
π6223
+
=，则ππ
πsin 133
6f ω⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以πππ
2π,62,Z 362k k k ωω+=−=−∈，
ππππ
,62366
T ωω=≥−=≤， 由于0ω>，所以ω的值为4. 故答案为：4 9．①③④
【分析】①应用诱导公式判断判断1
()500f t +
()f t =是否成立即可；②③2()500
f t −、()f t 的等量关系判断正误；④判断ππ1000π[,]66t ∈−，ππ
2000π[,]33t ∈−，ππ3000π[,]22t ∈−上sin(1000π)t ，sin(2000π)t ，
sin(3000π)t 对应单调性，即可判断.
【详解】①()()1
()0.03sin 1000π2π0.02sin(2000π4π)0.01sin 3000π6π500
f t t t t +
=+++++()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =++()f t =， 所以
1
500
是函数()f t 的一个周期，正确； ()()()2
(
)0.03sin 4π1000π0.02sin 8π2000π0.01sin 12π3000π500
f t t t t −=−+−+−()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =−−−()f t =−， 所以()f t 不关于直线1500t =
对称，而关于点1,0500⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，②错误，③正确； ④1
1,60006000t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦
，则ππ1000π[,]66t ∈−，ππ2000π[,]33t ∈−，
ππ3000π[,]22t ∈−， 而sin y x =在ππ[,]66−、ππ[,]33−、ππ[,]22−均递增，故()f t 在1
1,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦
上单调递增，正确.
故答案为：①③④
10．
34
π
【分析】化简cos sin y x x =−得到4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，结合cos y x =的单调递减区间得到4a ππ+≤，即可
求出结果.
【详解】因为cos sin 4y x x x π⎛⎫
=−+ ⎪⎝
⎭,
又因为在区间[0,]a 上是严格减函数，
且cos y x =的单调递减区间为[]()2,2k k k Z πππ+∈， 所以4
a ππ+
≤，即34a π
≤
，所以实数a 的最大值为34
π， 故答案为：34
π
. 11．(1)1.
(2)5π7π2π,2π1212k k ⎡
⎤−+⎢⎥⎣
⎦，()k ∈Z .
【分析】（1）化简()f x 的表达式，根据最小正周期求得ω的值；
（2）根据三角函数图象的变换规律，可得()y g x =的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）因为()2
sin22cos f x x x ωω=+sin2cos21x x ωω=++π214x ω⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，
所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω
=
=,依题意得π
πω=，解得1ω=.
（2）由（1）知()π214f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到π14y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象，
再把得到的图象向右平移π3个单位，得到πππ114231y x x ⎛⎫⎛
⎫=−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，
即()π112g x x ⎛
⎫−+ ⎪⎝⎭
，
由函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡
⎤−+⎢⎥⎣
⎦，()k ∈Z ,
令πππ
2π2π,Z 2122
k x k k −
≤−≤+∈，得5π7π2π2π,Z 1212k x k k −≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5π7π2π,2π1212k k ⎡
⎤−+⎢⎥⎣
⎦，()k ∈Z .
12．(1)()π
2sin(2)6
f x x =−;
(2)[2,)+∞.
【分析】（1）化简()π2sin(2)6f x x ω=−，若选①，将点π,23⎛⎫
⎪⎝⎭
代入求得1ω=，可得答案；选②，根据三
角函数图象的平移变化规律可得1ω=，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定1ω=，可得答案； （2）由π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦确定π
π5π
2[,]666x −∈−，从而求得()f x 的范围，根据不等式恒成立即可确定实数m 的取值
范围.
【详解】（1）()π
cos22sin(2)6
f x x x x ωωω=−=−;
选①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫
⎪⎝⎭，则ππ2sin(2)236ω⨯−=，
所以πππ
22π,Z 362k k ω⨯−=+∈，则13,Z k k ω=+∈，
由02ω<<，可得1ω=，则()π
2sin(2)6
f x x =−；
选②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，
即()π
2sin(2)6f x x ω=−的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，
则1ω=，则()π
2sin(2)6
f x x =−.
选③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π
2
，
则函数的最小正周期为π，故2π
22,1π
ωω=
=∴=， 故()π
2sin(2)6
f x x =−.
（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，π
π5π
2[,
]6
66x −∈−,则π1sin(2)[,1]62
x −∈−， 故()π
2sin(2)[1,2]6
f x x =−∈−，
又当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，故2m ≥, 即实数m 的取值范围为[2,)+∞.
13．（1）∠A =π3；（2）AC
【分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高．
【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理
在ABC 中,
∵1
πcos ,,π,sin 7
2B B B ⎛⎫=−∴∈∴=
⎪⎝⎭
由正弦定理得
7ππsin ,π,0,,.
sin sin sin 223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫
=⇒∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
［方法二］：余弦定理的应用
由余弦定理知2222cos b a c ac B =+−．因为1
7,8,cos 7
a b B ===−，代入上式可得3c =或5c =−（舍）．所以
2221
cos 22
b c a A bc +
−==，又(0,π)A
∈，所以π3A =．
（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC 中，
∵sin sin()sin cos
sin cos C A B A B B A =+=+=
117
2⎛⎫−+ ⎪⎝⎭
如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7， ∴AC
［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得1cos 842
AD AC A =∠=⨯
=，则1
4737AB =−⨯=．
作BE AC ⊥，垂足为E
，则sin 3BE AB A =∠=
=
AC ．
［方法三］:等面积法
由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有
11
sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =
所以AC 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；
方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 14． 1 ()0,0(答案不唯一)
【分析】化简()2sin 6f x x π⎛⎫
=− ⎪⎝
⎭，代入即可求出
π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
；由三角函数的平移变换求出()g x ，再由三角函数的性质求出()g x 的对称中心，即可得出答案.
【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫
−=− ⎪⎝⎭，
所以π2sin 1336f ππ⎛⎫⎛⎫
=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
将()f x 的图象向左平行移动π
6
个单位长度得到()g x 的图象，
则()2sin 2sin 66g x x x ππ⎛⎫
=+−= ⎪⎝
⎭，
所以()g x 的对称中心为(),0k π. 故()g x 的一个对称中心为()0,0. 故答案为：1；()0,0(答案不唯一).。