不定积分的概念与性质

初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
§4.1 不定积分的概念与性质
F ( x ) C的形式.
证: 1)
又知 [( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C 0 为某个常数)
提示:
f (ln x ) e
ln x
1 x
§4.1 不定积分的概念与性质
3. 若
x e 是 的原函数 , 则

提示: 已知
f (ln x ) d x x
1 C 0 ln x C x
f ( x ) e x
f ( x ) e x C0
1 f (ln x ) C 0 x f (ln x ) 1 C0 2 x x x
或由题意 f ( x ) cos x C1 , 其原函数为
f ( x ) d x sin x C x C
1
2
§4.1 不定积分的概念与性质
5. 求下列积分:
提示:
(1)
(1 x 2 ) x 2 1 2 2 x (1 x ) x 2 (1 x 2 )
7. 已知

x2 dx 2 dx A x 1 x B 2 1 x 1 x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
2 B x2 A x 2 A 1 x 2 2 2 1 x 1 x 1 x
( A B ) 2 Ax 2 1 x2
A B 0 2A 1
满足
在区间 I 上的一个原函数 .
则称 F (x) 为f (x)
A cos t 3, m
A A 如引例中, sin t 的原函数有 cos t , m m
§4.1 不定积分的概念与性质
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
(下章证明)

§4.1 不定积分的概念与性质
4. 若 是( B ). 的导函数为 则 的一个原函数
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
提示: 已知
求
( B) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
即
f ( x) sin x ( ? ) f ( x) ( ? ) sin x
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质
• 基本积分表
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 分项积分 常用恒等变形方法
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
§4.1 不定积分的概念与性质
思考与练习 1. 证明
2 x f (ln x ) d x
1 2 x C 2
§4.1 不定积分的概念与性质
— 积分号; — 积分变量; 根据上述定义，有
x x e d x e C;
— 被积函数; — 被积表达式.
( C 为任意常数 )
sin xdx cos x C;
1 1 x d x x C 1

C 称为积分常数, 不可丢 !
3x
3
2
dx 2e dx 3 dx
x
3 x 2 dx 2 e x dx 3 1 dx
x 2e 3 x C
x
§4.1 不定积分的概念与性质
三、 基本积分表
(1)
kd x k x C
x dx
1 1
( k 为常数)
( 2)
(10) (11) (12)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
x x e d x e C
x a (13) a x d x C ln a
§4.1 不定积分的概念与性质
例4. 求 解: 原式 =
x dx
1 1 dx dx 2 1 x x
arctan x ln x C
§4.1 不定积分的概念与性质
x4 dx . 例8. 求 2 1 x ( x 4 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x
( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度 因此问题转化为: 已知 v ( t )
A sin t , 求 v ( t ) ? m
§4.1 不定积分的概念与性质
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
第四章 不定积分
§4.1 不定积分的概念与性质
本节内容
一、 原函数与不定积分的概念
二、不定积分的性质 三、 基本积分表
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
§4.1 不定积分的概念与性质
1 1 2 x 1 x2
2 2 1 sin x cos x ( 2) sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
sec 2 x csc 2 x
§4.1 不定积分的概念与性质
6. 求不定积分 解：
(e2 x e x 1)
§4.1 不定积分的概念与性质
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
§4.1 不定积分的概念与性质
例7. 求
2 (sec x 1)dx 解: 原式 =
sec 2 xdx dx tan x x C
例8. 求 解: 原式 =

x (1 x 2 ) dx 2 x (1 x )
dx ( x 1) d x 1 x2
2
1 3 x x arctan x C 3
§4.1 不定积分的概念与性质
例9. 求

x 1 x2 dx . 2 x 1 x
解: 原式 =

1 1 dx dx 2 x 1 x
arcsin x ln x C
( 6)
cos xdx sin x C
§4.1 不定积分的概念与性质
(7)
sin xdx cos x C
dx 2 ( 8) sec xd x tan x C 2 cos x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x
§4.1 不定积分的概念与性质
二、不定积分的几何意义
的图形称为f ( x)的一条积分曲线
当积分常数C任意取值时，就得到的一簇积分曲线
y
O
x0
x
§4.1 不定积分的概念与性质
例1. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) ,
A 1 2 1 B 2
§4.1 不定积分的概念与性质
作业
P114: 1，3，5，7，9，11，13，15
故有
(1,2)
O
因此所求曲线为 y x 2 1
x
§4.1 不定积分的概念与性质
二、不定积分的性质
不定积分与微分互为逆运算
d (1) dx
f ( x )d x f ( x )或d[ f ( x )dx] f ( x )dx；
( 2)
F ( x ) dx F ( x ) C或 dF ( x ) F ( x ) C .
不定积分运算的线性性质：
若f ( x)的原函数存在，a和b为不全为零的常数，则
[af ( x ) bg( x )] dx a f ( x )dx b g( x ) d x
§4.1 不定积分的概念与性质
例3. 求
2 x ( 3 x 2 e 3) d x
解: 原式 =1 34 3x 4 C 3 1
4 1 3
3 x C
例5. 求
解: 原式=

1 2
1 sin x dx 2 cos x C
§4.1 不定积分的概念与性质
例6. 求 解: 原式 [(2 e) x 5 2 x ]dx
( 2 e) x 2x 5 C ln( 2 e) ln 2
x 1 C ( 1)
x 0时
1 ( ln x ) [ ln( x ) ] x
dx ( 3) ln x C x
dx ( 4) arctan x C arc cot x C 2 1 x dx ( 5) arcsin x C arc cos x C 2 1 x
例10. 求
1 cos 2 x. sin 2 x dx .
sin 2 x cos 2 x 解: 原式 = dx . 2 2 cos x . sin x 1 1 dx 2 dx 2 cos x sin x
tan x cot x C
§4.1 不定积分的概念与性质
内容小结