整数线性规划

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§3 整数规划的应用
应用实例:
● 投资场所的选择问题 ● 固定成本问题 ● 指派问题 ● 投资问题
● 背包问题 ● 分布系统设计
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§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区
建立销售门市部,拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,…,10)可供选 择,考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度,规定:
引入约束 xi ≤ M yi ,i =1,2,3,M充分大, 以保证当 yi = 0 时,xi = 0 。即:不投入固
定费用,是不 能投入生产的
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§3 整数规划的应用
资源
小号容器 中号容器 大号容器
金属板(吨)
2 投入固4 定费用,8
劳动力(人月)
2 生产小3 号容器 4
机器设备(台月) 1
2
3
x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xi ≥ 0 且xi 为0--1变量,i = 1, 2, 3, … ,10
例、解决某市消防站的布点问题,该城市有6个区, 每个区都可以建消防站。市政府希望设置的消防站 最少,但必须满足在城市的任何地区发生火警时, 消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定,各区 之间消防车行驶的时间如下表所示,请帮助该市制 定一个最省的计划。
别承担这些任务,但由于每人特长不同,完 成各项任务的效率等情况也不同。现假设必 须指派每个人去完成一项任务,怎样把 n 项任务指派给n个人,使得完成 n 项任务的 总的效率最高,这就是指派问题。
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§3 整数规划的应用
例6.有四个工人,要分别指派他们完成四项 不同的工作,每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示,问应如何指派工作,才能使总 的消耗时间为最少。
例3: Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1,x3 为整数,x3 为0-1 变量
用《管理运筹学》软件求 解得: z = 16.25
x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 9
解:设:0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。 这样我们可建立如下的数学模型:
Max z=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10≤ 720
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的, 预测情况见表所示 (单位:万元)。但投资总额不能超过720万
元,问应选择哪几个销售点,可使年利润为最大?
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在在东西A区区1 由由AAA214 ,,AAA325 ,两AA个43点三中A个5至点少至A6选多一选A个7择;两A个8 ;A9 A10 投资额在南10区0 由1A206 ,15A07 两8个0 点中70至少90选一8个0 ;140 160 180 利润在北3区6 由A408 ,5A09 ,2A2 10 三20个点3中0 至2少5 选两48个 58 61
i1
n
a i x i b
i1
x
i
0 , 整数
xi为是否携带第i 种物品 ai为i 物品单位重量,b为最大负重 ci为i 物品重要性估价
§3 整数规划的应用
三、固定成本问题
例5.高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器,所用资源为金属板、劳动力和机器设备,制造一
个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费 用,每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、 6万元,可使用的金属板有500吨,劳动力有300人/月,机 器有100台/月,此外不管每种容器制造的数量是多少,都 要支付一笔固定的费用:小号是l00万元,中号为 150 万 元,大号为200万元。现在要制定一个生产计划,使获得 的利润为最大。
➢根据变量的取值情况,整数线性规划又可以分 为纯整数规划(所有变量取非负整数),混合整 数规划(部分变量取非负整数),0-1整数规划 (变量只取0或1)等。
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第六章 整数规划
➢整数规划是数学规划中一个较弱的分支,目前 有成熟的方法解线性整数规划问题,而非线性整 数规划问题,还没有好的办法。 ➢整数线性规划(Integer Linear Programming, 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时, 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题, 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
运筹学
第八章 整数规划
1
第六章 整数规划
§1 整数规划的图解法 §2 整数规划的计算机求解 §3 整数规划的应用 §4 整数规划的分枝定界法
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第六章 整数规划
➢整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划, 可分成线性和非线性两类。
➢求整数解的线性规划问题,不是用四舍五入法 和去尾法对线性规划的非整数解加以处理就能解 决的。整数线性规划一些基本算法的设计是以相 应线性规划的最优解为出发点而发展出来的。
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§1 整数规划的图解法
由于相应的线性规划的可行域包含了其整 数规划的可行点,则对于整数规划,易知 有以下性质: 性质1:任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数值; 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混 合整数规划的最小目标函数值大于或等于 相应的线性规划的最小目标函数值。
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§1 整数规划的图解法
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米)
195 273 1365
每件重量 (百千克)
4 40 140
每件利润 (百元)
2 3
解:设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数,建 立模型。
目标函数: Max z = 2x1 +3x2 约束条件:s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365
体积 2 1 4 3 5
价值 20 30 10 18 15
解:xi为是否带第 i 种物品 Max Z=20x1 + 30x2 +10x3+18x4 +15x5
5x1+3x2 +x3 +2x4 +4x5 8 2x1+x2 +4x3 +3x4 +5x5 10
xi为0, 1
一般形式:
max
n
Z
C ixi
在东区由A1 , A2 ,A3 三个点至多选择两个; 在西区由A4 , A5 两个点中至少选一个; 在南区由A6 , A7 两个点中至少选一个; 在北区由A8 , A9 , A10 三个点中至少选两个。
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
4 x1 + 40 x2 ≤140
x1
≤4
x1,x2 ≥0, 为整数。 如果去掉最后一个约束,就是一个线性规划问题.
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§1 整数规划的图解法 Max z = 2x1+3x2
约束条件:s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140
x1
≤4
x2
4 x1+40 x2 =140
x2 + x5 + x6 ≥1
4 5
xi = 0, 1; i=1,…6 6
1234 0 10 16 28 10 0 24 32 16 24 0 12 28 32 12 0 27 17 27 15 20 10 21 25
56 27 20 17 10 27 21 15 25 0 14 14 0
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二、背包问题
工作 工人
甲 乙 丙 丁
AB
15 18 19 23 26 17 19 21
CD
21 24 22 18 16 19 23 17
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§3 整数规划的应用
工作 工人
甲 乙 丙 丁
A
B
15 18 19 23 26 17 19 21
C
D
21 24 22 18 16 19 23 17
解:引入0—1变量 xij,并令 xij =1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0(当不指
资源
小号容器 中号容器 大号容器
金属板(吨)
2
4
8
劳动力(人月)
2
3
4
机器设备(台月)
1
2
3
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§3 整数规划的应用
解:这是一个整数规划的问题。 设x1,x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大
号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在 生产该种容器时才投入,为了说明固定费用的这 种性质,设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi > 0 时) 或0(当不生产第 i种容器即 xi = 0 时)。
min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束方程保证每个地区都有一个消防站在15分钟行程内。将6 个地区的条件分别列出:
s.t. x1 + x2 ≥1,
x1 + x2 + x6 ≥1
x3 + x4 ≥1,
1
x3 + x4 + x5 ≥1 2
x4 + x5 + x6 ≥1, 3
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§2 整数规划的计算机求解
例2: 纯整数规划问题 Max z = 3x1 + x2 + 3x3
s.t.
-x1 + 2x2 + x3 ≤ 4
4x2 -3x3 ≤2
x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得: x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 一个容器至少需要2个劳
xi xj
≤ ≥
M 0
yi yj
,为i0=--11,变2量,,3,i动因因=M力此此1充,,数当2,分3共量yi =大有不1时会30,0超个M过劳可1动5取0力.15,023
§3 整数规划的应用
三、指派问题 有 n 项不同的任务,恰好 n 个人可分
背包可装入8单位重量,10单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个,怎样才能使背包 装的物品价值最高。
物品 名称
1

2 摄像机
3 枕头
4 休闲食品
5 衣服
重量 5 3 1 2 4
体积 2 1 4 3 5
价值 20 30 10 18 15
物品 名称
1

2 摄像机
3 枕头
4 休闲食品
5 衣服
重量 5 3 1 2 4
3× × ×
2× × × × ×
Max z = 2x1 +3x2
1× × × × ×
× ×× × 1 234
195x1+273x2=1365
x1
利用图解法,得到线性规划 x2=3.26,目标函数值为14.66。





x1=2.44,
由图表可看出, 整数规划的最优解(黄色叉号)为
x1=4, x2=2,目标函数值为14。
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§1 整数规划的图解法
பைடு நூலகம்
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物, 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米)
195
273 1365
每件重量 (百千克)
4
40 140
每件利润 (百元)
2 3
甲种货物至多托运4件,问两种货物各托运多 少件,可使获得的利润最大。
这样我们可建立如下的数学模型:
供给量 500 300 1000
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300
没有固定投入,就不生产. yi =0,则xi=0. xi是数量, M为一个充分大的数。
整数规划模型为:
Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24
+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
123
4
5
6
1 0 10 16 28 27 20
2 10 0
24 32 17 10
3 16 24 0 12 27 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
设 xi =1,0; 1-i 区建消防站,0-i 区不建消 防站,i=1,…6
派第i人去完成第j项工作时).这可以表示为一个0--1 整数规划问题:
Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24 +26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
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§3 整数规划的应用
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