数的整除

数的整除性质、特征
【知识要点】：
整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。

反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

整除特征：1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。

如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。

另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.
12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.
14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。

15、若一个整数能被3和5整除，则这个数能被15整除。

16、若一个整数的末位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

17、若一个整数能被2和9整除，则这个数能被18整除。

18、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，
【典型例题】
例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？
解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858.
例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？
解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。

故总共有：33+25－8=50。

【精英班】
解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。

根据能被7整除的数的特征，
□99-55=□44也应能被7整除。

由□44能被7整除，易知□内应是6。

【课后分层练习】
A组：入门级
1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。

2、abcabc能否被7、11和13整除?
3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

解：因为1375=5×5×5×11=125×11，根据能被125整除数的特征，这个数的末三位能被125整除，可知道F=2，又因为这个数是11的倍数，所以7+3+2－（E+6+5）＝1－E是11的倍数，那么E=1.所以这个六位数是713625.
4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使8个学生都面向北？
解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。

由于每一轮恰有7个学生向后转，8个学生向后转的次数总和为7×8=56（次）。

因此最少要做56÷7=8（次）才能使8个学生都面向北。

B组：进阶级
1、有一个四位数9整除，那么数A代表多少？
解：3+A+A+1=4+2A，根据能被9整除数的特征，4+2A是9的倍数。

因为4+2A是偶数，所以4+2A=18，A=7.
2、一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？
解：任何一个自然数的平方除以3都余1或0.而这个一百位数的数字和是140，140除以3余2，所以这个一百位数不可能是完全平方数。

3、某市举办小学生数学竞赛，共30道题，评分标准是：基础分15分，答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果199人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：仿照例6：这199位同学的得分总分是奇数。

4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

C组：挑战级
1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。

我们采用反证法。

假设题目的要求能实现。

那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。

实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。

这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。

2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？
解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表
中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。

原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。

所以不可能变成右上表。

3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。

有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。

无论从哪个房间开始走，因为总是黑白
相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。

而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。