(新教材)【人教A版】必修一5.2.1(一)(数学)

,
则m=________. 世纪金榜导学号
－5 13
【思维·引】1.根据三角函数的概念(坐标法),求出
P(a,b)到原点的距离为r=|OP|=
(r>0),再根据
概念求出sin 论a的正负 .
α
,cos
α
的值,计算a2即 b可2 ,计算时注意讨
2.根据余弦函数的定义,求出m的值.
【解析】1.r=
3
【解析】因为角α 的终边在直线y= x上,
所以可设P(a, a)(a≠0)为角α 终边3 上任意一点,则
r=
=2|a|(a≠0).
若a>0,则α 为第3一象限角,r=2a,
所以as2in(3αa)2=
,cos α =
,tan α =
3a ＝ 3 2a 2
a ＝1 2a 2
3a ＝ 3. a
若a<0,则α为第三象限角,r=-2a,
C. 4
D. 48
65
13
13
65
(_2_)__已_知__角_,αco的s 终α 边=_经__过__点___(－,t2a3n,－α12
,则sin α = )=________.
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【思维·引】(1)根据角α ,β 终边与单位圆的交点,分 别求出sin α 和cos β ,再求sin α cosβ . (2)根据点的坐标判断出点在单位圆上,根据公式
所以sin α=
cos α=
3a ＝,t－an3 α， =
－2a 2
a ＝－1 －2a 2
3a ＝ 3. a
MP b . OM a
【思考】 (1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么? 提示:如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,则:
sin cos
B= B=
b c

对边 ， 斜边
tan
B=
a c

邻边 ， 斜边
b a

对边 邻边 .
(2)对于确定的角α ,请问三角函数的结果会随点P在α 终边上的位置的改变而改变吗? 提示:根据相似三角形的知识,只要点P不与原点重合, 三角函数值不会随P点在终边上的位置的改变而改变.
k2＋(－3k)2＝ 10 | k | .
(1)当k>0时,r= k,α是第四象限角,sin α=
10
所=yr ＝以－11030kski+＝n α3101+0=，0c.o1s=10xr ×＝
10k k

10+，
3
cos
( 3 10 ) 3 10 10
3 10 3 10
(2)当k<0时,r=
=5|a|.
①若a>0,则r=5a(,－角3aα)2＋在(4第a)2二象限,
sin α=
,cos α=
所以2sin α+cos α=
=1.
y ＝4a ＝4
x ＝－3a ＝－3，
r 5a 5
r 5a 5
8 －3
55
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sin α=
,cos α=
所综上以所2s述in－,452αaas＝i+nc－oαs54 +αco=s
,cos α=
,
5
5
3
3
2
所以tan α= 3 2 5 .
答案:
5
5
3
2 5 5
类型二 坐标法求三角函数值
【典例】1.已知角α 的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则
2sin α +cos α 的值为________.
2.已知角α 的终边经过点P(5m,12),且cos α =
,α是第二象限角,sin α=
－ 10k
所yr ＝以－1－031sk0ikn＝α3101+0
，1
cos
＝r x
＝
10k ＝－ k
10，
3 ＝10 3 10 ＋3 (－ 10)
综上所述,10sin coαs+
1=00.
＝3 10－3 10＝0.
3
cos
【内化·悟】 已知角α 的终边在某一条过原点的直线上时,三角函数 值是否唯一? 提示:已知角α 的终边在某一条直线上时,因为直线分 为向上、向下两种情况,所以三角函数值不唯一.
【习练·破】
已知角α 的终边过点P(12,a),且tan α = ,求sin α
+cos α 的值.
5
12
【解析】根据三角函数的定义,tan 所以a=5,所以P(12,5).这时r=13,
α=
a ＝5 ， 12 12
所以sin α= ,cos α=
所以sin α+cos α=
5
12 ,
13
13
17 . 13
【类题·通】
1.已知角α 的终边上一点P(x,y),先计算r=|OP|=
第(x二≠步0),求求值值.:在由含si有n参α数=的问,题co时s ,α要=注意,分ta类n 讨α 论= x思2＋y2 ;
想的运用.
y
x
y
r
r
x
2.当角α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据 问题的实际情况对参数进行分类讨论.
类型三 三角函数概念的综合应用 【典例】已知角α 的终边在直线y=-3x上,求10sin α +
的值. 世纪金榜导学号
3
cos
【思维·引】已知角α 的终边在一条直线上,需要先讨 论角的终边在直线的哪一部分,再在射线上任取异于原 点的一点,再根据三角函数的概念求解.
【解析】由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任意一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k, y=-3k,r=
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念(一)
1.三角函数的定义(坐标法)
在锐角的终边上任取一点P(a,b),则r=|OP|=
,
根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正a弦2 、b2余
弦、正切.
sin α =
cos α =
tan α =
MP b ， OP r
OM a ， OP r
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1) 若sin α =sin β ,则α =β . ( ) (2)设角α 终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0,则sin α = ,且y越大,sin α 的值越大. ( ) (3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0. ( )
y r
【解析】(1)×.由诱导公式sin(α+k·2π)=sin α (k∈Z)可知,当β=α+2kπ(k∈Z)时,sin α=sin β. (2)×.由任意角的正弦函数的定义知,sin α= .但y 变化时,sin α是定值. (3)×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.y
故cos α+sin α= 2 .
2
答案:
3＋1
2 3＋1
2
【加练·固】 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α 的终边与单位 圆交于点A,点A的纵坐标为 ,则tan α =________.
2 3
【解析】设点A的横坐标为x,则由 x=± ,
x2 4 =1,解得
9
因为角5α为第二象限角,
所以x=3
2.三角函数的定义(单位圆法) 在平面直角坐标系中,设α 是一个任意角,它的终边OP 与单位圆交于点P(x,y),那么:
sin α =y;cos α =x;tan α = y (x≠0).
x
【思考】 (1)什么是单位圆? 提示:单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆.
(2)对确定的锐角α ,sin α ,cos α ,tan α 的值是否 随P点的位置的改变而改变? 提示:不会.三角函数也是函数,是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函 数值只与角α 的大小有关,即由角α 的终边位置决定.
sin α =y;cos α =x求出sin α ,cos α 即可.
【解析】(1)选B.因为角α,β的终边与单位圆分别交
于点
和
,
故所由以定s(11i23义n，15知α3) scions αβ(－==53，54) ,cos β=
,
5
3
13
5
5 (－3)＝－ 3 .
13 5 13
(2)因为 所以点
－3a=＝-13.， α=－±5a1. 5
答案:±1
－8 ＋3
55
2.因为P(5m,12),所以r=
所以cos α=
(5m)2 122
所以
所x 以 m=-15m. 5 ，
答案:-1
r
m 0，
25m2 144
13
m2 1，
25m2 144，
【内化·悟】 已知角α 的终边上一点(含有参数)和某一三角函数值, 求参数的值时,要特别注意什么问题? 提示:运用三角函数的定义计算时,要特别注意题目给 出的参数的符号.
r
2.已知角α 的终边经过点(-4,3),则cos α 等于( ) 【所以解A.c析54os】α选=DB..由53 题意可C知.－x53=-4,y=3D,.r－=545,
x ＝－4 . r5
3.锐角α ______.
的终边交单位圆于点P (1 ，m) ,则sin
2
α
=
【解析】由定义知cos α= .
又α为锐角,所以α=60°,sin α= .
答案:
1
2
3
2
3
2
类型一 单位圆法求三角函数值
【典例】(1)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为
角的始边,如果角α ,β 的终边分别与单位圆交于点
和
,那么sin α cos β = ( )
(12 ，5 ) 13 13
(－3 ，4 ) 55
A.－36
B.－ 3
【类题·通】
在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的
终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的三角函数值分
别为sin α =
,cos α =
,tan α = .
b
a
b
a2 b2
a2 b2
a
【习练·破】 已知角α 的终边在直线y= x上,求sin α ,cos α , tan α 的值.
y x
【类题·通】 单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交, 求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的 三角函数值.
【习练·破】
角α 终边与单位圆相交于点M
,则cos α +
sin α 的值为________.
( 3 ，1) 22
【解析】cos α=x= 3 ,sin α=y= 1 ,
(－
3 2
)2＋(－在12单)2位=圆1,上,由三角函数的定义知
s答i案n :α=(－
3 2
,－,1co) s
2
α=
,tan α= .
－1
－3
3
2
2
3
－1 － 3
3
2
2
3
【内化·悟】 已知角α 与单位圆的交点,怎样求该角的三角函数值? 提示:已知角与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=y, cos α=x,tan α= .