山东省乐陵市九年级中考一轮复习导学案：32课时圆的有关计算

第34课时 圆的有关计算
【基础知识梳理】
1． 正多边形的概念：
2．
一般地，若 相等，各 也相等的多边形叫做正多边形，如果一个多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做正n 边形。

说明：（1）当n ＝3时，上述两个条件只满足一个条件就可以。

（2）当n>3时，多边形必须同时满足上述条件的每一个条件，才能判定是正多边形。

2、正多边形的对称性 （1）、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 3、正多边形的外接圆与内切圆
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

4、 正n 边形的有关计算公式
正n 边形的每个内角 = 。

每一个外角=
5.圆的面积为 ， n °的圆心角所在的扇形面积的计算公式为S
扇形
= 2
R π⨯
= .
6.圆的周长为 ，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为 .
7.圆锥的侧面积公式：S =rl π.（其中r 为 的半径，为 的长） 圆锥的侧面积与 之和称为圆锥的全面积. 【基础诊断】
1. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第11题3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上．设定AB 边如图所示，则△ABC 是直角三角形的个数有（ ）
( )
3.（2011山东聊城）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留π)
4、(2012重庆)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，
(1)求这个扇形的面积为___________（结果保留π） （2）求用这个扇形围成的圆锥的底面半径。

【精典例题】
考点一：正多边形的有关计算
(2014年天津市，第6 题3分)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A ．
B ．
2 C ．
3 D ． 2
考点： 正多边形和圆．
分析： 运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决． 解答： 解：∵正六边形的边心距为，
∴OB =
，AB =OA ，
∵OA 2=AB 2+OB 2， ∴OA 2=（OA ）2+（）2，
解得OA =2． 故选B ．
点评： 本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长 考点二：圆面积、扇形面积的有关计算
例2. 如图，在△ABC 中，∠C =120°，AB =4cm ，两等圆⊙A 与⊙B 外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和 为 cm 2
．（结果保留π）．
例3.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点M ，AB ＝20，分别以CM 、DM 为直径作两个大小不同的⊙O 1和⊙O 2，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
考点三：圆周长、弧长的有关计算
例4.如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕
点O 旋转了600
，点A 旋转到点A '，则弧A A '的长为 米
剪去
（结果保留错误！未找到引用源。

）. 考点四：圆柱、圆锥侧面积的有关计算
例5．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为 A. 2 B. 4 C. π2 D. π4
例6.若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l 与底面半径r 之间的函数关系的是（ ）
考点五：与扇形和圆锥有关的综合计算
例7.若用圆心角为120º、半径为9的扇形围成一个圆锥侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 例8.如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A ．6cm B
．．8 D
．
【自测训练】 A —基础训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1、1. （2014年江苏南京，第12题，2分）如图，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD = ．
（第1题图）
2、（2014·浙江金华，第10题4分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】
3. (2012山东日照)如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则⌒BB ′
的长为（ ） A.π B.2
π
C.7
π
D.6π
3题图 5题图 6题图
4．(2014年四川资阳，第9题3分)如图，扇形AOB 中，半径OA =2，∠AOB =120°，C 是的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分面积是（ ）
A ．
﹣2
B ．
﹣2
C ．
﹣
D ．
﹣
5. （2011山东临沂）如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
（ ）
A ．60° B．90° C．120° D．180°
B
A
C
4题图
6. （2014·台湾，第16题3分）如图，、、、均为以O 点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G 在OA 上，C 、E 在AG 上，若AC ＝EG ，OG ＝1，AG ＝2，则与两弧长的和为何？( )
A ．π
B ．4π
3
C ．3π2
D ．8π5
二、填空题
7．(2012重庆)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）
8. （2014•呼和浩特，第11题3分）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
9．（2012哈尔滨）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径
是 ．
10．（2012四川成都）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，
则该几何体的全面积(即表面积)为________ (结果保留π )
11．（2012广东肇庆）扇形的半径是9 cm ，弧长是3πcm ，则此扇形的圆
心角为 度．
12．（2012黑龙江省绥化市）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所
示，它的底面半径3OB cm =，高4OC cm =，则这个圆锥形漏斗的侧面积是
2cm ．
三、解答题
13.如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部
分的面积。

14.如图，A 是半径为1的圆O 外一点，且OA=2，AB 是⊙O 的切线，BC//OA ，连结AC ，求阴影部分面积。

15．（2014·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A =2∠1，
E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D .
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若∠A =60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
B 提升训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1．（2012北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将
△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）
A ．10π
B
．
3
C
．
3
π D ．π
A
B
C
第1题图
第4题图
第22题图
C
2. （2012山东莱芜）若一个圆锥的底面积为4πcm 2
,圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面
展开图中圆心角的度数为( ) A ．4 0° B ．80° C ． 120° D ．150° 3．（2014年山东泰安，第19题3分）如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．（
﹣1）cm 2
B ．（
+1）cm 2
C ． 1cm 2
D ．
cm 2
4．（2010云南昆明）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为
65πcm 2
，扇形的弧长为10πcm ，则圆锥母线长是( ) A ．5cm B ．10cm C ．12cm D ．13cm
5．（2010 广西钦州市）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 （A ）6πm 2
（B ）5πm 2
（C ）4πm 2
（D ）3πm 2
6．（ 2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE =
，CE =1．则弧BD 的长是（ ）
第5题
7题图
二、填空题
7．（2012湖南衡阳市）如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A=30°，则劣弧的长为 cm ．
8. (2012山东日照)如图1，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图2，最大圆半径r =1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1 S 2（用“>”、“<”或“=”填空）.
9、如图1在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为___________
10．（2010 内蒙古包头）如图，在ABC △
中，120AB AC A BC =∠==，°
，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保
留π）．
11、已知：在Rt ΔABC 中, ∠C=900
,AB=25cm ，BC=15cm
,则以AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面积= cm 2。

三、解答题
12．（2010辽宁丹东市）如图，已知在⊙O 中，AB
，AC 是⊙O 的直径，
AC ⊥BD 于F ，∠A =30°．
D C
B
A 图1
图
2
C
8题图
10题
9题图
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
13．（2014•襄阳，第23题7分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC 绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A 在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．
课后反馈
1.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所
2．已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，
则⊙O1和⊙O2的位置关系是（Ｂ）
A．外离B．外切C．相交D．内切。