湘教版（2012）初中数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质 教案

第2章《四边形》
2.6.1《菱形的性质》教学设计
【学习目标】
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
【学习重点】
探索并证明菱形的性质定理.
【学习难点】
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
知识回顾：
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
提问：
同学们知道的特殊的平行四边形还有什么？
【自主探究】
阅读教材P 65观察，完成下列内容：
1．菱形与平行四边形的关系是：菱形是特殊的平行四边形． 2．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
情景导入 生成问题：
活动1 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
共同点： 它们的邻边也相等．
思考：如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 呈现定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
标注重点：①菱形是特殊的平行四边形.
②平行四边形不一定是菱形.
探究：我们模仿平行四边形性质的探索方法来探究菱形有什么性质吧！
活动2 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
平行四边形 矩形 有一个角是直角 特殊的平行四边形
填一填 把图2-50中的菱形ABCD 沿直线DB 对折（即作关于直线DB 的轴
反射），点A 的像是 ，点C 的像是 ，点D 的像是 ，点B 的像
是 ，边AD 的像是 ，边CD 的像是 ，边AB 的像是 ，
边CB 的像是 .
从上述结果看出，在关于直线DB 的轴反射下，菱形ABCD 的像与它自身重合.同理，在关于直线AC 的轴反射下，菱形ABCD 的像与它自身重合.
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 【合作探究】
求证：菱形的四条边相等。

菱形的两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

已知：如图，四边形ABCD 是菱形
求证:(1)AB = BC = CD =AD ；
(2)AC ⊥BD ；
AC 平分∠DAB 和∠DCB 即∠DAC=∠BAC ，∠DCA=∠BCA ，
BD 平分∠ADC 和∠ABC 即∠ADB=∠CDB ，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD （菱形的定义）.
又∵AB = CD ，AD = CB ,
∴AB = BC = CD =AD.
（2）在等腰△DAC 中，又∵AO = CO,
∴BD ⊥ AC
BD 平分∠ADC(三线合一)，
同理可证 BD 平分∠ABC
AC 平分∠DAB 和∠DCB 知识梳理：菱形的性质
性质1. 菱形的四条边都相等。

数学语言 ∵四边形ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 性质2. 菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。

数学语言 ∵四边形ABCD 是菱形
∴ AC ⊥BD OA=OC OB=OD ∴∠1=∠2 =∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. A B C O
D A D
C B O 2 7 8 1 3 4 5 6
菱形的特殊性质 平行四边形的性质 对称性： 是轴对称图形.
角： 对角相等. 边： 四条边都相等.
边： 对边平行且相等. 对角线： 互相垂直，且每条对角线平分
一组对角.
对角线： 相互平分.
活动3 思考菱形面积的计算方法
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD 的面积?
能.过点A 作AE ⊥BC 于点E, 则S 菱形ABCD=底×高 =BC ·AE.
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD 的面积呢?
问题2 如上图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD 的面积.
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD,
∴S 菱形ABCD=S △ABC +S △ADC
= 21 AC ·BO+21 AC ·DO
= 2
1
AC(BO+DO)
= 21 AC ·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
归纳：
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
【合作探究】
例1 如图2-51，菱形ABCD 的两条对角线AC ， BD 的长度分别为
4cm ，3cm ，求菱形ABCD 的面积和周长.
A B C D
E O
解 菱形ABCD 的面积为S=2
1 •AC •BD 21 = 4 3 = 6 cm .2S ××() 在直角三角形ABO 中，11 = = 4 = 2(cm) 2211 = = 3 = 1.5(cm) 22OA AC OB BD ×, ×,
从而 AB = 2.5(cm).
【知识再现】
1个定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形
2个公式 高底菱形⨯=S 对角线乘积的一半菱形=S
3个特性 特在边、角、对角线
【课后反思 查漏补缺】
1．收获：
________________________________________________________________________
2．存在困惑：
_________________________________________________________________ __ 所以 AB 2=OA 2+OB 2=22+1.52=6.25.。