2006年高考文科数学试题及答案(安徽卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷
文科数学试题及答案（安徽卷）
参考公式：
如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率()()
1n k
k k
n n P k C P P -=-
球的表面积公式2
4S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式34
3
V R π=
，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）
A ．∅
B ．{2,4,7,8}
C ．{1,3,5,6}
D ．{2,4,6,8}
解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B
（2）不等式11
2
x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞
解：由112x <得：112022x
x x
--=
<，即(2)0x x -<，故选D 。

（3）函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->
C ．1ln (0)y x x =-->
D ．1ln (0)y x x =-+>
解：由1
x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选
D 。

（4）“3x >”是2
4x >“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

（5）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
解：椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。

（6）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A B ．13π C ．23π D
解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=1a =，
A 。

（7）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是 A
．1) B
．11) C
．(11) D
．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

（8）对于函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=
<<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=
<<的值域为函数11,(0,1]y t t =+∈的值域，而1
1,(0,1]y t t
=+∈是一个减函减，故选B 。

（9）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象如图所
示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3
y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=-
解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按
向量,06a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
平移，
平移后的图象所对应的解析式为sin ()6
y x π
ω=+，由图象知，
73()1262
πππω+=，所以2ω=，因此选C 。

（10）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

（11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A BC ∆是锐角三角形，若222A B C ∆
是
锐角三角形，由211211211sin cos sin()2
sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪
⎪
==-⎪⎩
，得212121222A A B B C C πππ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，
2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

故选D 。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ）
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．4
7
解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得3
8C 个三角形，要得直角非等腰．．
三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38
24C ，所以选C 。

2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（安徽卷）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

（13）设常数0a >
，4
2ax ⎛ ⎝
展开式中3
x 的系数为32，则a ＝_____。

解：1
4822
14r r r r r T C a x x ---+=，由18232,2,r r x x x r --==得4431=22
r r C a -由知a=。

（14）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、表示）
解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，1
2
AM a b =+
，所以3111
()()4244
MN a b a b a b =
+-+=-+。

（15）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15,f =-则()()5f f =__________。

解：由()()12f x f x +=得()()
1
4()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则
()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-==--+。

（16）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个
顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B 、D 到平面α的距离为1、2，则D 、B 的
中点到平面α的距离为3
2
，所以C 到平面α的距离为3；
B 、
C 到平面α的距离为1、2，
D 到平面α的距离为x ，则1221x x +=+=或，即1x =，所以D 到平面α的距离为1；
C 、
D 到平面α的距离为1、2，同理可得B 到平面α的距离为1；所以选①③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知40,sin 2
5
π
αα<<
=
（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值；
（Ⅱ）求5tan()4π
α-的值。

解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=，所以22sin sin 2cos cos 2αα
αα
++＝
22sin 2sin cos 203cos 1
ααα
α+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα=
=，∴5tan 11
tan()41tan 7
πααα--==+。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要
对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：
(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：
(0,2)，故22
661113
()1(
)15
P B C C =-+=。

（19）（本大题满分12分）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，
1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。

（Ⅰ）证明PA ⊥BF ； （Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，
A
B C
D E
F O P
第19题图 H
A
B
C D
第16题图
α
∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。

（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴
12AO =
，32DO =
，2
BO =。

过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所
求二面角平面角。

在AHO 中，
OH=4
1
tan AO
AHO OH ∠==
=
3
在DHO
中，3
tan DO
DHO OH ∠===
而tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠==（Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，12-,0)，
0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2
PA =--，3
(
1)PB =-，(0,2,1)PD =- 设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n
PB ⊥，得11
1
102
10
2y x ⎧--=⎪⎪-=⎪⎩，
123
(
2,1)n =-； 设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2
n PB ⊥，得2221010y x -=⎧-=，
2231(,1)2
n =；
121212cos ,||||
n n
n n n n ⋅<>==⋅
（20）（本大题满分12分）设函数()3
2
()f x x bx cx x R =++∈，已知
()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

证明（Ⅰ）∵()3
2
f x x bx cx =++，∴()2
32f x x bx c '=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，
(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间； (是函数()g x 是单调递减区间；
()g x 在x =()g x 在x =极小值为-。

（21）（本大题满分12分）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记(0)n a
n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421n n S n S n +=+得：12
1
3a a a +=，所以22a =，
即211d a a =-=，又1
211
122()42212
n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++⨯+++===
+++⨯＝2(1)
1n n a n a +++，所以n a n =。

（Ⅱ）由n a
n n b a p =，得n n b np =。

所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，
当1p =时，1
2
n n T +=； 当1p ≠时，
234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， 2
3
1
1
1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
即11
,12(1),11n n
n n p T p p np p p
++⎧=⎪⎪
=⎨-⎪-≠⎪-⎩。

（22）（本大题满分14分）如图，F 为双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点。

P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。

已知四边形OFPM 为平行四边形，PF OF λ=。

（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；
（Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点，若12AB =，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形OFPM 是，∴||||O F P M c ==，作双曲线的右准线交PM 于H ，则2
||||2a PM PH c
=+，又
2222222
||||||2222
PF OF c c e e a a PH c a e c c c c
λλλλ=====----，220e e λ--=。

（Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，22
3b a =，双曲线为2222143x y a a
-=，设P 00(,)x y ，
则203||||2a a x MP ON c c =-=-=
，0||y MN ===，所以直线OP
AB
的方程为2)y x a =-，代入到双曲线方程得：
22420290x ax a +-=，
又12AB =
，由AB =
得：
1212a ==，解得1a =，则23b =，所以2213y x -=为所求。