08-09第二学期微积分期末试卷及答案(bus)

2008-2009学年第二学期微积分期末考试试卷答案
(MA 00224 BUS ）
（课程编号MA 00224， 考试时间： 2 小时) 一.填空题（每小题6分，共36分）
1。

求点(1,0,1)-到平面210x y z -++=的距离是__________ . (6')
2。

过点()1,1,0A 且垂直于平面230x y z
++=的直线方程是111
2
3
x y z --==。

（6’)
3。

若()(),ln y f x y e x y =+，则()
11,f
x
∂=∂
2
e
,(3’）
()
11,f y ∂=∂
ln 22
e
e +。

(3’) 4.设(),D
I f x y dxdy =
⎰⎰，其中(),f x y 为连续函数，区域D 由抛物线2
0()y x
x =≥及直线
2x y +=，0x =所围成，则此二重积分化为二次积分为______________________________ .
5. 设级数
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑均收敛， 级数
1
n
n w
∞
=∑发散, 则
级数
1
()n
n n u
v ∞
=+∑_______________ ； 级数1
()n n n u w ∞
=+∑_________________ 。

（填写“收敛”或
“发散”)
6. 幂级数()
1ln 1n
n x n ∞
=+∑的收敛半径是 1（3');收敛域是 [)11-, （3’)。

二。

微分学解答题
7.（8分）设函数()(
)2
,ln f x y y x
=-，
（1）写出(),f x y 的定义域D ，并画出D 的图形;
（2）求2f
x y
∂∂∂.
解:（1)函数(),f x y 的定义域为2
0y x ->，即：
2{(,)}D x y y x =>。

(2’）.
画出图形（2’).
（2)22222
12ln()()
f y x x
x y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂-∂=== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂--⎝⎭⎝⎭ （4’) 8。

（8分）设2
2
2
2
(,),z f x y y x =-- 其中函数f 具有一阶连续偏导数， 证明: 0.z z
y
x x y
∂∂+=∂∂ 9。

（10分）求函数
222342f x y x y x =+-+(,)在圆域D 22{(,)16}x y x y =+≤上的最
大值和最小值。

三.积分学解答题 10. （8分）求二重积分
2d d D
x y x y ⎰⎰，D 为由x
轴和上半圆周y = 11。

（8分）设立体Ω由椭圆抛物面22z
x y =+与()228z x y =-+围成，求Ω的体积。

解：解()22
228z x y z x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩
得两旋转抛物面的交线为
224x y +=,从而积分区域为
224{(,)}D x y x y =+≤。

（2’）
Ω的体积为()()
22228d D
I V x y x y σΩ
⎡⎤==-+-+⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰d (3’) ()
()
22
220
24d d 2d 4d 16D
πρρρϕϕρρρπ=-=-=⎰⎰⎰⎰（3'）
12.（8分）设球面2
2
2
2
a z y x =++含在柱面2
2
2
r y x =+（a r <<0）内部分的面积恰为全球面积的一半，求r 的取值. （半径为a 的球面面积为2
4a π。

）
解：上半球面由方程2
2
2
2
(,,)F x y z x y z a =++-，0()z >确定，从而
y x z z F F z x z y x F z y F z
∂∂=-=-=-=-∂∂，。

(2'） 根据题意，上半球面含在柱面2
2
2
r y x =+（a r <<0）内部分的面积为全球面积的
1
4
，由
222
d xy
D x y r S σσ∑
+≤==
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
(2’）
222
x y r σ+≤=
⎰⎰
2
22
2000d d d d 2r x y r a πρϕϕρπ+≤=
==-⎰⎰
⎰⎰⎰2(a a π=；(3’)
又24S a π=
球，从而有：
22(a a a ππ
=2
a
=
，a r 23= （1’）
四.级数
13。

(6分）级数1
21
(1)n n n n -∞
=-+∑是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.
答：绝对收敛。

1222(1)11
n n a n n n n n --==<++（3’）
，而级数211n n
∞
=∑收敛.(3') 14.（8分）将函数2
()(2)
x
f x x =
-展开为x 的幂级数， 并写出展开式成立的区间。

解：因为
1
1n n x x ∞
==-∑,11(,)x ∈-（2'),所以 2
21111(2)24(1)122x x x '
⎛⎫ ⎪
== ⎪- ⎪--⎝⎭
（3’） 110112222
n n n n n x nx ∞∞+=='⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，112(,)x
∈-即22(,)x ∈-. （2’）
于是，
()f x 1102
n n n nx +∞
+==∑, 112(,)x
∈-即22(,)x ∈-.(1’）
参考答案（修改前的答案） 1.
2
e
,ln2e
2。

⎛ ⎝
,3. 131,,44⎛⎫
⎪⎝⎭
，133
0442
x y z ++-=
4。

()2
120
,y y dy f x y dx
-⎰
⎰
()()1220
1
,,x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰
⎰
⎰⎰
，
5.，2
. 6.1；[
)11-,
7.
()
2
22x
y x -
8。

2=x ,1=y ，32=
z , 最大值：=V 3
2。

9. ⎰
⎰++-=
22
112
10
y y ydx x dy I ()
⎰+=1023
2132dy y y ()
12415
2-=
.
10。

σd dz
I z y x y x ⎰⎰⎰
≤++=
2222
2e
20
⎰⎰
⎰=z d e d dz 0
20
20
ρρϕρπ[]
⎰+-=2
1)1(2dz e z z ππ8=
⎰
⎰⎰+≤++=
24
2
22
2
2
2y
x y x y x dz d e
I σ()ρρρϕρπd e d -=⎰⎰220
20
π8=
11. a r 2
3=
12.(1）02
2
=--+y x y x ，即t x cos 2
2
21+=，t y sin 2221+=，]2,0[π∈t ；
（2)()
⎰++L ds y x 2
21dt t t 22)sin (cos 22220⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=ππ22=
13。

绝对收敛
14。

]1,1[-，x x x s arctan )(=。