河北省邯郸市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题含答案

河北省邯郸市2018届高考第一次模拟考试数学（文）试题含答案
高三数学考试（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数
1
z i
=-+，则2
2
z
z z
+
=
+（）
A．-1 B．1 C．
i-D．i
2.若向量
(21,)
m k k
=-
与向量
(4,1)
n=
共线，则
m n⋅=（）
A．0 B．4 C．
9
2
-
D．
17
2
-
3.已知集合
2
{|142}
A x x
=<-≤
，
{|23}
B x x
=>
，则
A B=
（）
A
．
)
+∞
B
．
([2,)
+∞
C．
)
+∞
D
．
[(2,)
+∞
4.函数
()cos()
6
f x x
π
π
=-
的图象的对称轴方程为（）
A．
2
()
3
x k k Z
=+∈
B．
1
()
3
x k k Z
=+∈
C．
1
()
6
x k k Z
=+∈
D．
1
()
3
x k k Z
=-∈
5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．7 B．6 C．5 D．4
6. 若函数
2
21,1
()
1,1
x x
f x
x ax x
⎧+≥
⎪
=⎨
-++<
⎪⎩
在R上是增函数，则a的取值范围为（）
A．[2,3]
B．
[2,)
+∞
C．
[1,3]
D．
[1,)
+∞
7.在公比为q
的正项等比数列
{}
n
a
中，4
4
a=
，则当26
2a a
+
取得最小值时，2
log q=
（）
A ．14
B ．14-
C ．18
D ．1
8-
8.若
sin()3sin()αβπαβ+=-+，
,(0,)
2π
αβ∈，则tan tan α
β=
（ ）
A ．2
B ．1
2 C ．
3 D ．1
3
9.设双曲线Ω：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，Q （P 在Ω的
右支上），使得
21
22PQ PF PF +=，O 为坐标原点，且
POQ ∆为正三角形，则Ω的离心率为（ ）
A
．
2 B
．2
C
D
10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的
亩数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.若函数
()
ln f x x 在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数.下列函数中为P 函数的序号为（ ）
①
()1f x = ②()x f x = ③
1
()f x x =
④()f x =A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③
12.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径1
7R H =，则22
H PA =（ ） A ．2939 B ．3239 C ．3439 D ．35
39
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为 ．
14.若圆C ：2
2
(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：2
2
1x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则n
m =
．
15. 已知数列{}n a ，{}
n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T = ．
16.若曲线
2log (2)(2)
x y m x =->上至少存在一点与直线
1y x =+上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，22
41a c +=，且8cos 1B =.
（1）求b ；
（2）证明：ABC ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下： ①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）； （2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率. 19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111
ABC A B C -中，D 为棱
11
A B 的中点，E 在棱
1
BB 上，
13B E BE
=，M ，N 为线
段
1C D
上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN
=.F 在棱1AA 上，且1A E DF ⊥
.
（1）证明：
1A E ⊥
平面
1C DF
；
（2
）若
BM =
，求三棱锥E AFN -的体积.
20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x
轴交于点
A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点
B ，与y 轴交于点
C .
（1）若直线
1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q
，且PQ =1C 的方程；
（2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.
21.已知函数
2()3x f x e x =+，()91g x x =-.
（1）求函数
()4()x
x xe x f x ϕ=+-的单调区间；
（2）比较
()f x 与()g x 的大小，并加以证明；
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
xOy 中，曲线M
的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
4cos ρθ=.
（1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<.
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
()413
f x x x =-+--.
（1）求不等式
()2f x ≤的解集；
（2）若直线
2
y kx
=-
与函数
()
f x
的图象有公共点，求
k的取值范围.
高三数学详细参考答案（文科） 一、选择题
1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD 二、填空题
13.
36π
14. 8 15. 2
2(1)4n n n +++- 16. (2,4]
三、解答题
17.（1）解：∵sin 20sin ab C
B =，∴20abc b =，即20ac =，
则b
6==.
（2）证明：∵20ac =，2
241a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.
若4a =，5c =，则
2225643
cos 2564A +-==
⨯⨯，∴2cos 2cos 1cos 2B A A =-=，∴2B A =. 若5a
=，4c =，同理可得2B C =.
故ABC ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍. 18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会. （2）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++1438
131
11=≈.
（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件.
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为
116P =
，
获得5元的概率为
216P =
， 获得2元的概率为
34263P =
=. 19.（1）证明：由已知得111
A B C ∆为正三角形，D 为棱
11
A B 的中点，∴
111
C D A B ⊥，
在正三棱柱111
ABC A B C -中，
1AA ⊥
底面
111
A B C ，则
11AA C D
⊥.
又
1111A B AA A =，∴
1C D ⊥平面
11
ABB A ，∴
11C D A E
⊥. 易证
1A E AD
⊥，又
1AD C D D =，∴
1A E ⊥平面
1AC D
.
（2）解：连结
1
MB ，则
11
BB MB ⊥，
∵
12
BB =
，
BM =
，∴
1MB =
.
又
11
MD A B ⊥
，∴
MD =
.
由（1）知1C D ⊥
平面
AEF ，∴N 到平面AEF
的距离1d DN ==
.
设
1A E
DF O
=，∵
1A E DF
⊥，∴
111AOD A B E
∆∆，
∵
13B E BE
=，∴
11111B E A D A B A F =，∴1134A F =，∴143A F =
. ∴
E AFN N AEF
V V --=112
2323
d =⨯⨯⨯
⨯26(
1)9327=⨯+=.
20.（1）解：由21
2y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得
2220x px p --=. 设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则
122x x p +=，
122x x p
=-.
∴
PQ =
=0p >，∴1p =.
故抛物线
1
C 的方程为
22x y =.
（2）证明：由22
22y px x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .
设直线AM ：
12(2)
y p k x p -=-，与2
2x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=.
由
222111416(1)0
p k p k ∆=+-=，得
21(2)0
k -=，∴
12
k =
.
设直线BM ：
22(2)
y p k x p -=-，与2
2y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=.
由
22
222416(1)0
p p k k ∆=+-=，得
2
2(12)0
k -=，∴
21
2k =
.
故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：1
2(2)
2y p x p -=-，
从而不难求得
(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，
∴
2
BOC S p ∆=，
23ABM
S p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为
222
1
32p p p =-（为定值）. 21.解：（1）
'()(2)(2)x
x x e ϕ=--，
令'()0x ϕ=，得1ln 2x =，22x =； 令'()0x ϕ>，得ln 2x <或2x >； 令'()0x ϕ<，得ln 22x <<.
故
()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.
（2）
()()f x g x >.
证明如下：
设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵
'()329x h x e x =+-为增函数， ∴可设0'()0
h x =，∵
'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈.
当0
x x >时，
'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.
∴min 0()()h x h x =0200391x e x x =+-+， 又003290
x e x +-=，∴
00329
x e x =-+，
∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)
x x =--.
∵0(0,1)
x ∈，∴00(1)(10)0x x -->，
∴
min ()0
h x >，
()()f x g x >.
22.解：（1）∵
y
t x =
，∴
x y
x
=
，即
2)y x =-，
又0t >
，∴
0>，∴2x >或0x <，
∴曲线M
的普通方程为
2)y x =-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为
2240x x y -+=. （2
）由
2
2
2)
40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=， ∴
11
x =（舍去），
23
x =，
则交点的直角坐标为
，极坐标为
)
6π
. 23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4
282x x ≥⎧⎨
-≤⎩
， 解得05x ≤
≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].
（2）
()413f x x x =-+--22,1
0,14
28,4
x x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩，
作出函数
()f x 的图象，如图所示，
直线
2y kx =-过定点(0,2)C -，
当此直线经过点(4,0)B 时，
1
2k =
；
当此直线与直线
AD 平行时，2k =-.
故由图可知，1
(,2)
[,)
2k ∈-∞-+∞.。