随机变量的方差和标准差

P Y P
0.5
0
0.3 1 0.1
0.1 2 0.2
0.1 3 0.1
0.6
问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。 解 E( X ) E(Y ) 0.8 . 均值相等, 据此不能判断优劣,再求方差.1 0.3 1 0.1
2 0.1 2 0.2
3 0.1 3 0.1
11
三、切比雪夫不等式
随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程 度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望 值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。 定理 ( 切 比 雪 夫 不 等 式 ) 设 随 机 变 量 X 具 有 数 学 2 E ( X ) D ( X ) 期望 ,方 差 , 则 对 0 , 有
定义 设 X 是随机变量，数学期望 E( X) 存在，并且 E[ X E( X )] 2 也存在，则称之为 X 的方差，记作 D(X )，
即
D( X ) E[ X E( X )]
2
D( X ) 称为 X 的标准差。
2
D( X ) E[ X E( X )]
2
2
从方差的定义我们可以看出， X 的方差 D(X)实际上 是随机变量[ X E( X )] 的期望，因此 D ( X ) 0 。当随 机变量的可能取值以较大的概率集中在数学期望附近时， 方差较小，否则方差较大。因此，方差的大小可以反映随 机变量分布的分散程度。
8
性质4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则
证
E( X EX ) (Y EY )
D( X Y ) EX Y E( X Y )
2
D( X Y ) D( X ) D(Y )
2
E ( X EX )2 (Y EY )2 2( X EX )(Y EY )
E(Y 2 ) 0 0.6 1 0.1 4 0.2 9 0.1 1.8 ,
D(Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2 1.8 0.82 1.16 .
由于D(X)< D(Y),因此机床A的波动较机床B的 波动小,质量较稳定.
6
例2
设随机变量X的概率密度函数
D(kX ) EkX E(kX )
2 2
2
k E[ X E( X )] k 2 D( X ) .
性质3
D( X C ) D( X ) , 其中C是常数。
2
证 D( X C ) EX C E( X C )
E[ X E( X )]2 D( X ) .
P{ X E ( X ) }

x

(x )


2
x
f ( x ) dx

2
f ( x ) dx
2
2
2 ( x ) f ( x ) dx 2 .
1
13
2 P{ X } 2
上式可改写为
切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值 时，以数学期望E(X)为中心的分散程度。不难看 出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在 数学期望E(X)的附近，由此可以进一步体会到方 差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。 如取
P{ X } 1 2
2
2 P{ | X | 3 } 0.111 2 9
3 ，
14
例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解


E( X EX )2 E(Y EY )2 2E( X EX )(Y EY )
D( X ) D(Y ) 2E( X EX )(Y EY )，
而 E( X EX )(Y EY )
E( XY ) E( X )E(Y ) ,
E( XY YE( X ) XE(Y ) E( X )E(Y )
0.5
0
E( X ) E(Y ) 0.8 .
均值相等, 据此不能 判断优劣,再求方差.
0.6
E( X 2 ) 0 0.5 1 0.3 4 0.1 9 0.1 1.6 ，
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 1.6 0.82 0.96 .
设每毫升白细胞数为X ，
依题意，E(X)=7300, D(X)=7002 ，
由切比雪夫不等式，P{ X 7300 } 1
取 2100 ，得
7002

2
,
7002 8 P{ 5200 X 9400} 1 . 2 2100 9
15
例4 根据过去统计资料，某产品的次品率为p=0.05 ，试用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数 在40~60之间的概率.
9
性质4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则
D( X Y ) D( X ) D(Y )
证 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E( X EX )(Y EY )，
E[( X EX )(Y EY )] E( XY ) E( X )E(Y ) ,
随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值 的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望 有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如， 某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时， 仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为 有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以 上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而 反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对 期望E(X)的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描 述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的 数量特征。
1 , 0 x1 f ( x) 2 x 其它 0,
求：EX, DX.
解
1 EX x dx ， 0 3 2 x
1
1
1 EX x dx ， 0 5 2 x 4 2 2 DX EX (EX ) . 45
2 1 2
7
1
二、方差的性质
性质1 D(C )=0，其中C是常数。 性质2 若k是常数, 则 D(kX ) k 2 D( X ) . 证
DX E( X ) (EX ) 计算公式: D( X ) E[ X E( X )]2
2
2
E[ X 2 2 XE( X ) (EX )2 ] E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) (EX )2 E( X 2 ) (EX )2
3
DX E( X ) (EX )
解 设X表示1000件产品中的次品数，则
X ~ B(1000, 0.05) E( X ) np 1000 0.05 50 , D( X ) np(1 p) 50 0.95 47.5 ,
由切比雪夫不等式，
P{ 40 X 60} P{ X 50 10}
当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，
所以
D( X Y ) D( X ) D(Y )
推广： 若X1,X2,…,Xn两两独立,则
n n n n 2 D X i D( X i ) ， D k i X i k i D( X i ) i 1 i 1 i 1 i 1
2
2
计算公式:
1. 若X是离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
则
E( X ) x pi .
2 2 i i
2. 若X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，
则
E( X )
2

x f ( x ) dx .
4
2
例1 设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y 表 示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布 如下： X 1 2 3 0
1
一、方差的定义
如果随机变量 X 的数学期望存在，称 X- E( X)为随 机变量 X 的 离差。 由于 E( X EX ) E( X ) E( X ) 0 ， 离差有正有负，为了消除离差符号的影响和数学上便于处 理，用 [ X E( X )]2 来衡量 X 与 E( X) 的偏差。
47.5 1 2 0.525 . 10
16
P{ 40 X 60} 0.525
注：该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极 限定理可知，概率约为
10 2( ) 1 0.853 . 47.5
17
练习：
P131 习题四
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10
若X1,X2,…,Xn两两独立,则
n n n n 2 D X i D( X i ) ， D k i X i k i D( X i ) i 1 i 1 i 1 i 1
例如,当X和Y相互独立时,有
D( 2 X 3Y ) 4D( X ) 9D(Y )
成立.
2 P{ X } 2
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定理 ( 切 比 雪 夫 不 等 式 ) 设 随 机 变 量 X 具 有 数 学 2 E ( X ) 期望 , 方 差 D( X ) , 则 对 0 , 有
成立.
P{ X } 2
2
证 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),则
D( X Y ) D( X ) D(Y )
注意：以下两个式子是等价的,
E( XY ) E( X )E(Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y )
性质5 D( X ) 0 的充分必要条件为,存在常数C,使
P{ X C } 1 .
事实上, C E( X ) .