北师大版八年级数学下册第一章同步测试题及答案

北师大版八年级数学下册第一章同步测试题及答案

1 等腰三角形

一、选择题

1．如图1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( ) A．30°B．40°C．45°D．36°

2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如图1－23所示，则图中的等腰三角形有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图1－24所示，在□ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC 交BC边于点E，则BE等于( )

A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

4．下面几种三角形：

①有两个角为60°的三角形；

②三个外角都相等的三角形；

③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；

④有一个角为60°的等腰三角形．

其中是等边三角形的有( )

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题

5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设.

6．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为．

三、解答题

7．如图1－25所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝

∠4．求证：

(1)△ABC≌△ADC；

(2)BO＝DO．

8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如图1－26所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．

彬彬：作△ABC的角平分线AD．

数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正．”

(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

9．已知四边形ABCD是正方形．

(1)如图1－27(1)所示，点G是BC边上任意一点(不与B，C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE ⊥AG于点E．求证△ABF≌△DAE.

(2)在(1)中，线段EF与AF，BF的等量关系是.(不需证明，直接写出结论即可)

(3)如图1－27(2)所示，若点G是CD边上任意一点(不与C，D两点重合)，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，那么图中的全等三角形是，线段EF与AF，BF的等量关系是．(不需证明，直接写出结论即可)

10．如图1－28所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD ＝BE，求证△ABC是等腰三角形．

11．如图1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC 的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．

参考答案

1．D[提示：本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得

∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．]

2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．]

3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，

∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]

4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．]

5．三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)

6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．]

7．证明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，

∴△ABC≌△ADC．

(2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，

∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．

8．解：(1)过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC中点D，则AD与BC不一定垂直．

(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD，

又∵∠B＝∠C，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB＝AC．

9．(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠BAF+∠DAE＝90°．

在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE．

在△ABF与△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE(AAS)．

(2)EF＝AF－BF.

(3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF.

10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，

∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝90°，

∴∠A+∠D＝∠C+∠1．

又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边对等角)．

又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，

∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)，

∴△ABC是等腰三角形．

11．证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，

∴∠FEC＝∠ACB＝90°，

∴∠F+∠ECF＝90°．

又∵CD⊥AB于点D，

∴∠A+∠ECF＝90°，

∴∠A＝∠F．

在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，

∴△ABC≌△FCE，

∴AB＝FC．

2 直角三角形

1. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是()

A. 一组边对应相等

B. 两组直角边对应相等

C. 两组锐角对应相等

D. 一组锐角对应相等

2. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()

A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3

B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°

C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3

D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°

3. 在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形()

A. 一定全等

B. 一定不全等

C. 不一定全等

D. 以上都不是

4. 如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()

A. AC＝AD

B. AB＝AB

C. ∠ABC＝∠ABD

D. ∠BAC＝∠BAD

5. 如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是()

A. OA＝OB

B. E是AC的中点

C. △AOE≌△BOD

D. AE＝BD

6. 如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为_____.