《数学物理方法》课件第7章

小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
律，总电量不受变换影响，于是电荷密度才有上述变化。
同理也可证明，亥姆霍兹方程
2j
x2
2j
y 2
k 2j
0
经变后仍然变为亥姆霍兹方程
(7.38)
2j
u 2
2j
v2
k2
f z 2j 0
(7.39)
但方程要比原先复杂，j前的系数有可能不是常数。
33
例7.2 两块无穷大导体板相交成直角，电势为V0，求
y
(7.35)
仍然变为泊松方程
2j
u 2
2j
v2
*u,v
式中
*u,v f z 2 x, y
(7.36) (7.37)
32
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
从(x，y)变为*(u，v)|f'(z)|－2，这是因为变换后的面积微
元被放大(或缩小)了|f'(z)|2倍；另一方面，根据电荷守恒定
v y
的值。
21
2)旋转角的大小及方向不变 一切过z0点的曲线，经变换后其切线朝同一方向旋转 同一角度argf'(z)。因此，很容易推论：曲线的夹角在变换 下必须保持大小和方向两者都不变，如图7.2所示。 定义这种具有以上两个特点的解析函数w＝f(z)的变换 为保角变换。若在z0点具有上述两个特性，则称w＝f(z)在 z0点处是保角的；若在D域内的每一点都是保角的，则称w ＝f(z)是D域上的保角变换(第一类保角变换)。如果是具有 伸缩率不变、保持夹角的绝对值不变而转向相反的变换， 如w＝z*就是一例，称为第二类保角变换。
u 0,t 0
(7.1)
u x,0 j x
4
注意初始条件中的j(x)只在0<x<∞内有意义，如果是无界
一维热传导问题，我们就分别可以采用傅里叶积分变换或 者格林函数法来求解，因此，我们采用所谓延拓法来解此 问题，即将初始函数延拓到－∞<x<0的区间上。这相当于 把半无界杆设想为无界杆的x≥0部分，但保持中点x＝0处 u(0，t)＝0，因而无限长杆的初始温度分布必须是奇函数。 这样就把半无界问题转化为温度为零的无界问题，即
2j 2j
0 x2 y2
(7.29)
28
在变换w＝f(z)下，j(x，y)变成u与v的一个函数，于
是
j j u j v
x u x v x
(7.30)
及
j j u j v
y u y v y
(7.31)
29
再对式(7.30)与式(7.31)求导，得 2j
x2
和 2j
y 2
的表达式，然后将它们相加，有
22
图7.2 旋转角变换不变示意
23
由于单叶解析函数w＝f(z)的变换也具有上述两个特性， 因此可以推论，在区域D上的单叶解析函数w＝f(z)所作的 变换一定是第一类保角变换。
分式线性变换是最常用的保角变换之一，其形式为
w f (z) az b cz d
式中，a，b，c，d是复常数。一般要求
u
,
0
G
x,
;
t
d
0
j
G
x,
;
t
d
0 j
G
x,
;
t
d
0
G
x,
;
t
G
x,
;
t
j
d
1
j
e
x 2
4a2t
x 2
e
4a2t
d
0 2a t
(7.5)
7
7.1.2 有界弦的自由振动
利用延拓法也可以解有界区域的定解问题，为简单起 见，我们考虑两端固定，长为l的弦的自由振动，这个问题 的方程及定解条件为
直角区域内的电场分布解。
解：由对称性可知，垂直于导体板交线的任意平面
上电场都相同，因而可以取一个这样的平面求解二维拉普
Dz Dz ei
D D eij
(7.18)
17
图7.1 原像曲线与变像曲线示意
18
于是
f z lim D lim D eij
Dz0 Dz Dz0 Dz
显然 和
lim D f z
Dz0 Dz
(7.19) (7.20)
19
lim j arg f z
Dz0
(7.21)
D f z Dz
2j 2j
x2 y2
f
z
2
2j
u2
2j
v2
0
(7.33)
因为w＝f(z)是单叶解析函数，所以f'(z)≠0，则
2j 2j
0 u2 v2
(7.34)
即j(x，y)在变换成j(u，v)后，仍然满足拉普拉斯方程
。
31
同理可证，在单叶解析函数w＝f(z)变换下，泊松方程
2j
x2
2j
y 2
x,
14
7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义
首先我们介绍单叶解析函数的概念。从几何概念上来 说，复变函数w＝f(z)是将z平面上的点集D对应到w平面上 的点集G的变换(或映射)，但是我们感兴趣的只是z与w构 成一一对应的变换(或映射)。
对于单值解析函数w＝f(z)，按照其定义，对于每个z 只有一个w与它对应，反之不一定成立(例如单值解析函数 w＝z2就是一例)。若要构成双向单值解析函数，则z与w构 成一一对应的关系。换句话说，要从变换w＝u＋iv＝f(z)中 解出(至少在理论上)x和y作为u和v的单值函数。根据高等 数学的知识，允许上面这样做的条件是该变换的雅可比行 列式不等于零，即
25
式中，
A
B
C
bc
d c a
ad c2
c
若c＝0，则
w＝f(z)＝Az＋B
式中，A＝a/d，B＝b/d。
26
(7.27) (7.28)
由此可见，分式线性变换是平移变换、线性变换和倒 数变换这三种基本保角变换的复合，所以它应保持这三个 基本变换的共同特性。
(1)保角性。 (2)保圆性。 (3)保对称性。 (4)保交比性。 特性(4)的用处是很大的。若已知扩大z平面上三个不 同点z1、z2、z3以及其像点w1、w2、w3，则根据特性(4)这个 线性变换就可以被唯一地确定。
第7章 数学物理方程的其 他解法
7.1 延拓法 7.2 保角变换法 7.3 积分方程的迭代解法 7.4 变分法
1
前面几章主要讨论了求解数学物理方程的行波解、分 离变量法、积分变换法和格林函数法，
它们的适用范围比较广。本章再介绍几种求解数理方 程的其他方法，包括延拓法、保角变换法、积分方程法和 变分法等，以便于掌握不同的求解技巧和方法。
jc
(x
at)
1 2a
xat
xat c (x) d x.
(7.9) 容易验证这个解满足定解问题(式(7.6))中的边界条件 u(0，t)＝u(l，t)＝0。
10
例7.1 应用延拓法解定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
0,
0
x
l,t
0
u 0,t u l,t =0
u x,0 Ax l x, ut x,0 0
15
u u
J
u, x,
v y
x v
x
y 0
v y
(7.16)
另一方面，由于w＝f(z)是解析函数，所以u和v必须
满足柯西-黎曼条件。因此条件(7.16)可改写成
J
u, v x, y
u x
v y
v x
u y
u x
2
v x
2
u v 2 i
x x
f z 2 0
于是，可以得到以下定理：
8 Al 2 3
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
l
(7.12) (7.14)
12
将式(7.13)和(7.14)代入到式(7.9)中，得
u( x, t )
1 2
jc
(x
at)
jc
(x
at)
4 Al2 3
k 1
1
2k 13
siat
sin
2k
1
l
x
at
8 Al 2 3
2u
t
2
a2
2u x2
0,
0 x l
u 0,t u l,t =0
u x,0 j x, ut x,0 x
(7.6)
8
将j(x)和(x)在区间［0，l］之外延拓为周期是2l的 奇函数，例如将它展成2l为周期的正弦函数jc(x)和c(x)，
它们分别满足条件：
jc x jc x, c x c x jc x jc x 2l , c x c x 2l
2
7.1 延 拓 法
在积分变换法中，我们已经看到，对空间变量进行傅 里叶变换时，函数必须是在整个(－∞，＋∞)区间上定义的， 如果函数只在［0，＋∞)上有定义，就必须对函数进行适 当的延拓，在(－∞，0)上补充定义，以满足傅里叶积分变 换的要求。这种根据定解问题的性质补充拓展定义以适应 问题的求解的方法称为延拓法。以下我们再通过具体实例 说明这种方法的应用。
2j
x2
2j
y 2
j
u
2u
x2
2u y 2
2j
u 2
u x
2
u y
2
2
2j
uv
u x
v x
u y
v y
j
v
2v x2
2v y 2
2j
v2
v x
2
v y
2
(7.32)
30
由于w＝u＋iv是解析函数，所以其实部u与虚部v分别 满足拉普拉斯方程，且满足柯西黎曼条件，此外，再利用 导数f'(z)的表达式，于是得
(7.22)
arg D arg Dz arg f z
(7.23)
由于f'(z)≠0，所以模|f'(z)|及辐角argf'(z)均存在，且跟 Dz趋于零的方式无关。因此，由等式(7.22)和(7.23)得到单 叶解析函数w＝f(z)变换(或映射)的特点如下：
20
1)伸缩率不变
在变换下，任何过w0(＝f(z0))的变像曲线在w0处的无穷
u
t
a2
2u x2
0
x
u
x,
0
j x j
,
x
.
x0 x0
(7.2)
5
仿照6.4.2节含时间的格林函数解的应用，可知无界一 维无源热传导问题的解为
u
x,
t
u
,
0
G
x,
;
t
d
(7.3)
其中
G x, ;t 1 ex 2 /4a2t
2a t
(7.4)
6
因此，原问题的解为
u
x,
t
(7.7)
jc(x)和c(x)在－∞<x<∞内都有定义，而在区间0<x<l上就 是j(x)和(x)，于是我们将问题可转化为
2u
t
2
a2
2u x2
0,
x ,t 0
u x,0 jc x,ut x,0 c x
(7.8)
9
根据达朗贝尔公式，它的解为
u(
x,
t)
1 2
jc
(x
at)
(7.10)
解：首先将j(x)＝Ax(l－x)延拓成以2l为周期的奇函
数，即将j(x)展成以2l为周期的正弦函数
Ax l
x
bn
n1
sin
nx l
(7.11)
11
因此容易求出傅里叶系数
bn
1 l
l Ax l xsin nx d x
l
l
8 Al 2
n33
(n为奇数)
0 (n为偶数)
于是
jc x
(7.24)
ab ad bc 0
cd
(7.25)
24
否则w的分子与分母成比例，结果w成了与z无关的一个常 数，因而整个z平面就被变换(或映射)成w平面内的同一点， 这是我们不希望的。所以今后我们限于讨论ad－bc≠0的情 形。
在式(7.24)中，若c≠0，则
w f (z) A C zB
(7.26)
3
7.1.1 半无界杆的热传导问题
对于一个细杆的热传导问题，当所考虑的杆的一个端 点很远时，就可以略去这一端的影响，把这根杆看做是半 无界的。对于一个半无界的杆，如果保持杆的一端温度为
零，初始时杆的温度分布函数为j(x)，则这个杆的温度分
布的定解问题可以表述为
u
t
a2
2u x2
0,
0 x