8.2代入消元——解二元一次方程组

y x 3；① (1) 7x 5 y 9；②
4x y 15；① (2) 3x 2 y 3；②
解：（1）把①代入②，得7x+5(x+3)=9，
解得 x 1 ，
2
将 x 1代入①，得
2
y5 2
，
∴原方程组的解为
x
1 2
,
y
5 2
.
3.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅 游，到花果岭的人数比到云水洞的人数的2倍少1， 到两地旅游的人数各是多少？
知识讲解
探究知知知1识知识.识点篮识点点1球点11联1用赛代中入，法每场解比二赛元都一要次分方出胜程负组，每队
胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中 得到16分，那么这个队胜负分别是多少？ 思考1：你能根据问题中的等量关系列出二元一次 方程组吗？
提示：设胜x场，负y场，则有
x y 10 2x y 16
解之,
x 1.25
y
0.25
答：他汽车用1.25小时，步行用0.25小时.
看看你掌握了吗?
1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
（1）3x 2 y 1 2
（2）1 x 7 y 2 44
（3）5x 3y x 2 y （4）23y 3 6x 4
2.用代入法解下列方程组：
知识点2
代入法解二元一次方程组的简 单应用
探究2. 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500
g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按
瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5
t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少
瓶？
思考1: 探究2中有哪些未知量？
答：未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶 数．所以可设这些消毒液应分装大瓶和小瓶的数量 分别为x、y．
解之,
x 28
y
20
答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛.
即学即练 1.用代入法解下列二元一次方程组：
3x 4y 16， ① 5x 6y 33． ②
解：由①得 x 1 (16 4y) ③
3
将③代入②得 5 (16 4y) 6y 33
3
解之， y 1
2
将 y 1 代入③，得
思考2：这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
提示：设胜x场，则负(10－x)场． 2x+（10－x）=16．
思考3：对比方程和方程组，你能发现它们之 间的关系吗？
x+y=10， 2x+y=16. 2x+(10－x)=16
消元思想：
将未知数的 个数由多化少、 逐一解决的思想.
归纳:把二元一次方程组中一个方程 的一个未知数用含另一个未知数的式子表 示出来，再代入另一个方程，实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解．这种 方法叫做代入消元法，简称代入法．
解之， s 1 将 s 1 代入③，得 t 8
所以原方程组的解为
s 1， t ８．
例2 有48支队520名运动员参加篮、排球比赛， 其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名 运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有 多少支参赛？
解：设篮球有x支参赛，排球队有y支参赛， 由题意，得
x y 48 ， 10x 12y 520 .
新课导入
对于引言中的问题，我们在上节课通过设
两个未知数（设胜x场，负y场），列出了二元
一次方程组 x y 10， 并通过列表找公共解
2x y 16，
的办法得到了这个方程组的解
x
yຫໍສະໝຸດ Baidu
6， 4．
显然这
样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好操 作，所以这节课我们就来探究如何解二元一次 方程组.
提示：设到花果岭的人数为x人，到云水洞的人
数为y人，由题意，得
x y 200,①
x
2
y
1.②
x 133，
解之,
y
67.
4.小婷知道
x
y
1, 1
和
x
y
2, 2
都是二元一次方程
ax+by+4=0的解，她想知道
x y
3,是否也是方程
4
ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.
思考2: 例2中有哪些等量关系？
等量关系包括：大瓶数︰小瓶数＝2︰5； 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5（t）
思考3: 如何用二元一次方程组表示上面的两个等 量关系？ 正确列法：
5x 2y ， 500x 250y 22 500 000 ．
问题列法1：
5x 2y，
①
500x 250 y 22.5 ． ②
8.2 代入消元—— 解二元一次方程组
学习目标
1．会用代入消元法解二元一次方程组. 2．领悟解二元一次方程组的基本思想是“消
元”，经历从未知向已知转化的过程，培养 观察能力和体会化归思想.
温故而知新
1.用含x的式子表示y:
（1）x y 22 (2)5x 2 y
2.用含y的式子表示x:
（1）x 7 y 8 (2)2x y 5
提示：∵
x
y
1, 1
和
x y
2,都是二元一次方程
2
ax+by +4=0的解，
a b 4 0,
∴ 2a 2b 4 0. 解得
a 3, b 1.
课堂小结
代 入
用一个未知数表示另一个未知数
法
的
代入消元
核
心
思 解一元一次方程得到一个未知数的值
想
是
消
求另一个未知数的值
元
作业: 完成练习册本课时的习题
操作: 请你用代入消元法解上面的方程组．
解之,
x 20 000 ，
y
50
000
．
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
在实践中学习
例1 用代入法解下列二元一次方程组：
3s t 5， ① s 2t 15； ②
解：由①得 t 5 3s ③
将③代入②得 s 2(5 3s) 15
分析：
（1）估算一下方程②的解是自然数吗？ （2）符合实际意义吗？ （3）仔细审题，造成上述问题的原因是什么？
问题列法2：
x : y 2 : 5， 500x 250y 22 500 000 .
分析： （1）这个方程组是二元一次方程组吗？为什么？ （2）如何得到二元一次方程组？
5x 2y, 500x 250y 22 500 000.
2
x6
x 6，
所以原方程组的解是：
y
1． 2
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道 路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的 平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h， 路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设他骑车用了x h，步行用了y h，由题意， 得
x y 1.5， 15x 5y 20．