Erlangen纲领几何学

Erlangen纲领几何学
"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学停顿之一. 主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事曾经传达很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只要一条直线与直线平行. 假设把这条公理改成 "过直线外一点有两条以上的直线与直线平行", 而坚持其它公理不变, 就失掉一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章宣布于 1830 年左右. 有迹象说明高斯在早些年就失掉了一些结果. 但是非欧几何这个称号在 1854 年黎曼的就职演讲宣布以后含义就不够准确了(由于黎曼提供了无量多种〝非欧〞的几何形状), 如今大局部数学家把上述这种公理化几何称为"双曲几何".
19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研讨这种几何的动机是十分贴近生活的 ------ 它主要研讨 "中心投影" 现象。

深刻一点说, 假设有一盏灯, 它照射在纸面上, 那么纸面上的图形在空中上的投影是怎样样的? 最清楚的就是, 纸面上的圆周在灯光下的影子普通不再是圆周, 能够是个椭圆周; 然后留意到, 假设纸面不平行于空中, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影能够不再平行; 更奇特的现象是, 假设纸面足够大，它下面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在空中
上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本封面上
绘有一个圆锥面, 用不同的平面去截就失掉不同的圆锥曲线. 假设把锥的顶点视为一盏灯, 就容易看到一切这些圆
锥曲线都可以互为中心投影.)
还有一种几何是研讨平行投影以下图形怎样变化的, 叫
做 "仿射几何". 假设把下面的灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是十分准确的平行投影 ------ 纸面上两条平
行直线总是投射为空中上的平行直线. 圆周会投射为椭圆周, 但决不会是双曲线。

在 1872 年, 一切这些几何把数学家搞懵了 ------ 究
竟什么是几何? 这时分 23 岁的德国人克莱因在爱尔朗根
大学为其教授就职演讲预备了一篇讲稿 ------ 这篇稿子
后来被称为爱尔朗根纲领 ------虽然他后来的演讲并没有
讲这个讲稿上的内容. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一
个变换群, 这种几何研讨的对象是各种形体在相应变换群
下不变的性质.
"群" 是描画对称性的数学结构. 变换群被伽罗瓦发明出
来研讨代数方程的可解性. 而克莱因的协作者挪威人李(Lie)到 1872 年曾经研讨了某些延续的变换群, 如今称为Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群.
如今我们从克莱因的爱尔朗根纲领来看待以上提到的这
些几何:
欧氏几何是 "最小" 的几何, 研讨的就是长度啊, 全等
啊这些性质. 对应的群就是所谓 "欧氏变换群", 它外面的
元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变
换坚持长度不变; 我们说两个图形是 "全等" 的当且仅当
有一个欧氏变换把一个图形变为另一个.
我们初中高中的时分还研讨相似三角形. 这种包括〝相
似性〞的几何对应到什么变换群?我们可以把 "欧氏变换群" 扩展, 即, 参与 "伸缩" 这个变换, 这样就失掉更大的"相似变换群". 我们能用相似变换把不同长度的对象 "同等" 起来, 比如不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为
异样的图形. 三角形的 "相似" 就是相似几何中的 "全等". 这个相似变换群包括欧氏变换群, 所以在这个群下不变的
性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, "相似几何" 的
概念都是欧氏几何的概念. 反过去就不对, 举个例子, 长
度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念. 这句话说
得直白一点就是，几何体的长度在欧氏变换群下不变，但在相似变换群下有能够改动。

仿射几何是更大的几何. 对应的群叫 "仿射变换群", 包
括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 线性变换的意思
基本上就是那些把直线还变到直线的变换。

由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包括相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是同一种图形; 一切的平行
四边形都 "全等"; ... 在这个几何里, 长度, 角度都失掉意义, 能议论的只能是平行性质, 或许共线三点的分比(单比), 等等这些很 "粗略" 的性质.
射影几何是以上提到的几何中 "最大" 的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需求给平面添上 "无量远直线" 来使得射影变换是一对一变换. 这其实很容易了解，假设纸面不平行于空中，那么从光源水平射出的光线就只与纸面相交而不与空中相交，这样它与纸面的交点在射影变换下就没有像。

假设我们假定空中的无量远处存在所谓〝无量远点〞，那么就可以把这些无量远点作为水平光线与空中的交点。

平面的一切无量远点构成无量远直线。

在射影几何中, 一切圆锥曲线------ 椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是 "全等" 的图形. 所以射影几何研讨的性质是最 "粗略" 的性质, 比如曲线的"次数": 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是十分幽默的几何, 有很多 "巧合", 局部缘由就是这个几何的变换群十分大, 对称性高. 同志们假设真实闲得无聊, 可以找本书看看, 书名普通叫做 "Projective geometry".
关于熟习计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都"重载" 了 "全等" 这个概念 ------这正是关键所在
------ 凡是能用一个变换相互转换的对象, 我们都看成异
样的对象. 自爱尔朗根纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到注重, 到了明天, 曾经成为根深蒂固的观念. 物理学中, 自相对论、量子力学以来, 对称性也被作为基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见伽罗瓦, 李, 克莱因这些晚辈的深入洞察力.
最近俄罗斯数学家佩雷尔曼处置了百万美元效果 "庞加莱猜想" 及更普遍的 "瑟斯顿几何化猜想". 前面这个猜想就是天赋的瑟斯顿承袭爱尔朗根纲领的肉体给出的处置三维流形分类效果的蓝图. 详细内容如何, 且待下回分解.。