高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附答案解析

【最新】单元《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴
1
3
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当
241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．
2．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解的情况.
【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
；当1a =时，无解.
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：2
111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
22
1111
1(1)1a a D a a ==--，2
11
11
(1)(2)12x D a a a a a ==---， 2
1111
1112y D a a a ==-+，111101112
z D a ==，
（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧
=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
所以无解.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．
3．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪
--=⎨⎪++=-⎩
【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦
--⎣，
191
2
502241
D =-=-， 1392253
2141x D --=-=-，
125
03
2211
21y D --==--，131
2
20324
1
z D ---==-，
所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧
==⎪⎪
⎪
==-⎨⎪
⎪==-⎪⎩
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．
4．求证：sin cos 1
sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31
x
x x
x x x x
x =-. 【答案】证明见解析
【解析】 【分析】
先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】
sin cos 1
sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x =
-+=sin （-x ）-sin
（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】
本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．
5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m +=+⎧⎨
+=⎩
244(2)(2)1
m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
6．用行列式解关于的二元一次方程组：1
2(1)x y x k y k +=⎧⎨
++=⎩
.
【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12
,11
k x y k k -==-- 【解析】 【分析】
由题方程组中x ,
y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】
由题意可得:11
D 21
k =+= 1k -,11
D 11
X k
k ==+,11 D 22y k k
=
=-,
∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1
D 1X x k ==-,D 2 D 1
y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.
综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11
21x k k y k ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
; 1k =时,方程组无解. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.
7．已知线性方程组5210258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．
()2由1703450105210521021
21258102540202001
012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭，
增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-----
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知矩阵11m A m ⎛⎫
=
⎪
-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m （2
）1)1)40x y ''--=（3
）存在，1:l y x =
，2:l y =．
【解析】 【分析】
（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；
（2
）由1
1x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭
，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩
，解得44x x y y
⎧=+⎪⎨='-''
'⎪⎩．代入1y x =+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为
(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类
0b ≠和0b =．
【详解】
（1）0m >Q ，22
21110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
m ∴=（2
）1
1x x x y y y ⎛⎛⎫
'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭
Q ，
即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩
，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='
-''
'⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，
4y x ''''-=++，
即点()','Q x y
的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y
，()Q x y +-
()y k x b -=++Q ，
1)(y k x b ∴-+=+
当0b ≠
时，1)1,k k -+==，无解． 当0b =
220k =⇒+-=,
解得k =
k =
∴所求直线是1:l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
9．解方程组32
321
x my m mx y m +=+⎧⎨
+=-⎩.
【答案】详见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组
的解. 【详解】
由题意可得()()2
933D m m m =-=--+，
()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.
①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213
13x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
；
②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩
，令()x t t R =∈，得533t y -=，
此时，该方程组的解有无数多个，为,
()533x t t R t y =⎧⎪
∈-⎨=⎪⎩
；
③当3m =-时，该方程组为331
337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩
17⇒-=，所以该方程组无解.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
10．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v
分别是基本单位向量.
（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u u
v u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足12
41
2
6101
x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v
，λ，μ是否存在自然数
解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.
【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，
0μ=
【解析】 【分析】
(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.
(2)利用12
41
2
6101
x
y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r
求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.
【详解】
(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j
BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,
故()()()()
0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r
,
即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4
(2)由12
412
6101
x
y
-=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.
又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ
λμ=+⎧⎨
=-⎩
. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】
本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.
11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.
【答案】2
π
θ=
【解析】 【分析】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)
cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩
，
又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-
即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=
因为l 与l ′垂直，故
sin 2cos 1
=cos 02sin cos 2
θθθθθ-⇒=+
又(0,)θπ∈，故2
π
θ=.
【点睛】
本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】
解：(1)不等式
2
01
x a
x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得1
2
tan α=-.
【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．
【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】
试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2
x y '-'
，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点
Q(x′，y′)．
则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2
x y '-'
．
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(
2
x y '-')2
＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．
考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程
14．已知向量11α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A . 【答案】（1）4,3.
a λ=⎧⎨=⎩（2）2
16709A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。

【详解】
解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩ （2）由（1）知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

15．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡
⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【解析】 【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,
的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧
+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
16．设变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；
（2）求曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2
y x =-.
【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin
012
210sin cos 2
2M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y y x =⎧⎨=-⎩，
因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在曲线2
:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，
即2
y x =-，
所以曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-. 【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
17．已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝1201⎡⎤
⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a 、b 的值；
(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求点P 的坐标．
【答案】（1） 1.
{1
a b =-＝（2）(1，0)
(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下
像是M ′(x ′，y ′)．由''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201⎡⎤⎢⎥⎣
⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2x y y +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得2{x x y y y ''＝＋，＝. 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1
即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得1{21a b =+=解得1
{1
a b ==-
(2)由A 00x y ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得00000
2{x x y y y ＝＋，＝解得y 0＝0.， 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．
18．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r ，求4
A βu r .
【答案】（1）2
a b =⎧⎨
=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为
13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；
（3）先计算出126βαα=-+u r u u r
u u r ，再利用()
4444
121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即
可得到答案. 【详解】
（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2
0a b =⎧⎨
=⎩
. （2）由（1）知2130A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---，
令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030
x y x y λλ⎧--=⎨
-+=⎩，解得3y x =-，
所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
u u r
.
再将13λ=代入方程组()2030
x y x y λλ⎧--=⎨
-+=⎩，解得y x =，
所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
.
综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（3）设12m n βαα=+u r
u u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得1
6m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，
所以()
4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r
()441148516331489⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.
19．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r ，以及其特征多项式()f λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】
设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则由A u r 1A -u r E =r 可得
10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12?
0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.
则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
20．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.。