苏州十六中必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m n
B ．
m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥
D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥
2．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（ ） A ．30尺 B ．32尺 C ．34尺 D ．36尺 3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．MN //AB
B ．MN 与B
C 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VAC
D ．平面VAC ⊥平面VBC 4．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 5．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）
A ．,,A M O 三点共线
B ．1,,,A M O A 不共面
C ．,,,A M C O 不共面
D ．1,,,B B O M 共面
6．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（ ）
A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥
B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l β
C ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
7．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．12π
C ．8π
D ．6π
8．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ）
A ．1PC 与1AA 异面
B ．1P
C 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11AB
D 相交
D ．1PC 与平面11AB D 平行 9．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β
B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β
C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β
10．边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD 垂直于底面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离为（ ）
A ．263
B 23
C 22
D 6 11．下列命题中正确的个数有（ ）个
①不共面的四点中，其中任意三点不共线
②依次首位相接的四条线段必共面
③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面
④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3CE =，53cos 9ACE ∠=
，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（ ） A ．4 B ．51
C ．4或51
D ．4或5 13．在正方形SG 1G 2G 3中，
E 、
F 分别是
G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（ ）
A ．SG ⊥△EFG 所在平面
B ．SD ⊥△EFG 所在平面
C ．GF ⊥△SEF 所在平面
D ．GD ⊥△SEF 所在平面
14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（ ）
A ．9cm
B ．10cm
C ．12cm
D ．15cm
二、解答题
15．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．
（1）求证：BF AC ⊥；
（2）若2AB BC ==，60CBD ∠=︒，求三棱锥B DEF -的体积．
16．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.
（1）求证：AC ⊥平面FBC ；
（2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论.
17．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ＝25，AB ＝2，∠BAC ＝60°.
（1）求三棱锥A 1－ABC 的表面积；
（2）证明：在线段A 1C 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求1A M MC
的值. 18．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .
（1）求证：AE ∥平面BFD ；
（2）求三棱锥C -AEB 的体积.
19．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .
（1）求证：AD ⊥平面BDE ；
（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.
20．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，
120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；
（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.
（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；
（2）求证：PA ⊥平面PCD ；
（3）求三棱锥-D PAC 的体积.
22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.
（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；
（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 23．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =．
（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；
（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．
24．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．
（1）证明：AD CE ⊥；
（2）若在梯形ABCD 中，π3
ADC ∠=
，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 25．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =.
（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；
26．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．
（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；
（2）求二面角1C BD C --的正切值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
对每一个命题逐一判断得解.
【详解】
对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关 系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；
对于B ，若“m ⊂
α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立． 对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂
β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，
也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，
通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即 为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确． 故答案为D
【点睛】
本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间
想象能力.
2．C
【分析】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.
【详解】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示
矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺， 所以葛藤长2222301634AC AD AB =
+=+=尺.
故选：C .
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．D
解析：D
【分析】
由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.
【详解】
M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，
在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；
AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；
因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ； 故选：D
【点睛】
本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.
4．B
解析：B
根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，
当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，
即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题. 5．A
解析：A
【分析】
连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.
【详解】
连接11,A C AC ，则11//A C AC ，
11,,,A C C A ∴四点共面，
1A C ∴⊂平面11ACC A ，
1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，
M ∈平面11AB D ，
∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，
同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，
,,A M O ∴三点共线，故A 正确；
,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，
1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；
1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，
1BB ∴和OM 是异面直线，
1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.
故选：A.
本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.
6．D
解析：D
【分析】
根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确； 根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．
【详解】
对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂
α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；
对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ， 根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；
对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，
m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；
对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 7．A
解析：A
【分析】
首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.
【详解】
如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，
因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.
设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，
又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .
分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，
则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.
因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
EB DE ，四边形12OO EO 为矩形， 所以123==O B DO ，1213===O E O E OO . 所以外接圆半径为()223153=22
⎛⎫+
⎪ ⎪⎝⎭
，表面积为15π. 故选：A
【点睛】 本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.
8．D
解析：D
【分析】
取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；
对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；
对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点， 在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，
11//AC AC ∴且11AC A C =，
O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，
∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，
AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误； 对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，
则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，
BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，
1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .
D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 9．D
解析：D
【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．
【详解】
由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：
在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂
β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂
β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，
∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
10．A
解析：A
【分析】
取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出
C AB
D D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.
【详解】
解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，
则DO AC ⊥，BO AC ⊥，
由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，
2AD CD AB BC ∴====， 则222222AC =+=，()22222DO BO ==-=，
由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，
则DO ⊥平面ABC ，
又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，
∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，
∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032
ABD S =⨯⨯⨯=△， 则在Rt ABC 中，12222
ABC S =⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为d ， 则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=
⋅△△， 即：1
132233d ⨯=⨯⨯，解得：263
d =， 即点C 到平面ABD 的距离为
263
. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.
11．A
解析：A
【分析】
假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④
【详解】
①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；
②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；
③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；
④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A
【点睛】
本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题
12．C
解析：C
【分析】
设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得
222539392393x x x =++-⨯⨯+⨯
，求出x ，即可求出球O 的直径. 【详解】 根据题意，长方体内接于球O 内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体1111ABCD A B C D -：
设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得：
2225393923939
x x x =++-⨯+，∴1x =6， ∴2AB =，22BC =O 4484++=；
或26AB =3BC =，球O 2424351++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题. 13．A
解析：A
【分析】
在正方形SG 1G 2G 3中，有S G 1⊥G 1E ，在折叠后其垂直关系不变，所以有SG ⊥EG.同理有有
SG ⊥FG ，再由线面垂直的判定定理证明.
【详解】
在正方形SG 1G 2G 3中，
因为S G 1⊥G 1E ，
所以在四面体中有SG ⊥EG.
又因为S G 3⊥G 3F ，
所以在四面体中有SG ⊥FG ，且GE
GF G =， 所以 SG ⊥△EFG 所在平面.
故选：A
【点睛】
本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 14．A
解析：A
【分析】
计算得到12:1:4r r =，根据相似得到
3134l =+，计算得到答案. 【详解】
圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.
设圆台母线长为l ，根据相似得到：
3134
l =+，故9l =. 故选：A .
【点睛】
本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题
15．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）易证得CD ⊥平面ABD ，由线面垂直性质可得CD BF ⊥，利用线面垂直判定定理可证得BF ⊥平面ACD ，由线面垂直性质证得结论；
（2）利用勾股定理可求得,AD BD 长，在ABD △中，利用面积桥可求得BF ，进而得到BDF S ；由等腰三角形三线合一可知E 为AC 中点，由此确定E 到平面ABD 的距离；利用体积桥和三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
（1）AB 垂直于圆O 所在平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥， BC 为圆O 的直径，CD BD ∴⊥， 又,BD AB ⊂平面ABD ，AB BD B =，CD
平面ABD ， BF ⊂平面ABD ，CD BF ∴⊥，
又BF AD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ACD ，BF ∴⊥平面ACD ， AC ⊂平面ACD ，BF AC ∴⊥.
（2）2BC =，60CBD ∠=︒，CD BD ⊥，1BD ∴=，
由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 知：AB BD ⊥，AD ∴==，
11122ABD S AB BD AD BF BF ∴=⋅=⋅==，解得：5
BF =，
DF ∴===111225
BDF S DF BF ∴=⋅==， AB BC =，BE AC ⊥，E ∴为AC 中点，
由（1）知：CD ⊥平面ABD ，E ∴到平面ABD 的距离为
12CD =，
13
B DEF E BDF BDF V V S --∴===. 【点睛】 方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.
16．（1）证明见解析；（2）M 为AC 的中点，证明见解析.
【分析】
（1）本题首先可通过正弦定理得出90ACB ∠=以及AC BC ⊥，然后根据AC FB ⊥以及线面垂直的判定即可证得结果；
（2）本题首先可取AC 的中点M ，连接CE 、MN ，然后通过三角形中位线的性质得出//EA MN ，最后通过线面平行的判定即可得出结果.
【详解】
（1）因为30BAC ∠=，2AB =，1BC =， 所以sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，即211sin 2
ACB ，
解得sin 1ACB ∠=，90ACB ∠=，AC BC ⊥，
因为AC FB ⊥，BC FB B ⋂=，所以AC ⊥平面FBC .
（2）当M 为AC 的中点时，//EA 平面FDM .
证明如下：
如图，取AC 的中点M ，连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN ，
因为四边形CDEF 为正方形，所以N 为CE 的中点，
因为M 是AC 的中点，所以//EA MN ，
因为MN ⊆平面FDM ，EA ⊄平面FDM ，所以//EA 平面FDM .
【点睛】
关键点点睛：本题考查线面垂直与线面平行的判定，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直，若平面外一条直线平行平面内一条直线，则线面平行，考查数形结合思想，是中档题.
17．（1）6+23+26；（2）证明见解析；
13. 【分析】
（1）可先证明1A B ⊂平面1A AB 得出1BC A B ⊥，即可求出三棱锥A 1－ABC 各个面的面积，得出表面积；
（2）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，即可得出.
【详解】
（1）2,4,=60=23AB AC BAC BC BC AB ==∠∴∴⊥，，，
1A A ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，1BC AA ∴⊥，
1A A AB A =，BC ∴⊥平面1A AB ，
1A B ⊂平面1A AB ，1BC A B ∴⊥，
112223262
A BC S ∴=⨯= 1=232ABC S A
B B
C ∴⋅⋅=，111==22A AB S A A AB ⋅，111=42
A AC S A A AC =⋅， 则表面积=6+23+26S
（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，
过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，
1A A ⊥AC ，1//MN A A ，AC MN ∴⊥，
MN BN N =，∴AC ⊥平面MBN .
又BM ⊂平面MBN ，∴AC BM ⊥.
在直角BAN 中，cos 1, 3.=∠==-=AN AB BAC NC AC AN 111//.3
，∴
==A M AN MN A A MC NC 【点睛】 本题考查三棱柱表面积的求解，解题的关键是得出1BC A B ⊥以便求出各个面的面积，考查点的存在性问题，解题关键是正确利用线面垂直关系作出辅助线.
18．（1）证明见解析；（2）
43
. 【分析】
（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解.
【详解】
（1）如图所示：
因为底面ABCD 为矩形，
所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ，
∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ，
∴F 是EC 的中点，
∴FG ∥AE .
又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
∴AE ∥平面BFD .
（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，
∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .
又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，
∴AE ⊥平面BCE .
∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
△. 【点睛】
方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证
法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄
α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
19．（1）证明见解析；（2）
3. 【分析】
（1）先利用勾股定理得出AE BE ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面ADE ，进而得到AD BE ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用
1122
D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取A
E 的中点O ，连接DO ，用面面垂直的性质定理得到DO ⊥平面ABCE ，利用体积公式求解即可.
【详解】
（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒， ∴
AE BE ==，
4AB =，
∴222AE BE AB +=，
∴AE BE ⊥，
又平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE
平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，
又AD ⊂平面ADE ，
所以AD BE ⊥，
又
AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，
所以AD ⊥平面BDE.
（2）∵M 是线段DA 的中点， ∴1122
D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===， 取A
E 的中点O ，连接DO ，
∵DA DE =∴DO AE ⊥，
又平面DAE ⊥平面ABCE ，
∴DO ⊥平面ABCE ， 又2DO =，
1sin13522
AEC S AE EC =⨯⨯⨯︒=， ∴122233D AEC V -=
⨯=， ∴23
D MEC V -=
. 【点睛】
方法点睛： 证明线面垂直的常用方法：
利用线面垂直的判定定理；
利用面面垂直的性质定理；
利用面面平行的性质；
利用垂直于平面的传递性.
20．（1）证明见解析；（239 【分析】
（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可
【详解】
（1）证明： 由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得
11122AB A B ==，所以222
111
1A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．
由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得115B C =， 由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得23AC =，
由1CC AC ⊥，得113AC =，所以222
1111AB B C AC +=，
故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．
（2）解 如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ． 由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得
平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角． 由115B C =，1122AB =，1121AC = 得1116cos 7
C A B ∠=
，111sin 7
C A B ∠=
， 所以13C D =，故11139
sin C D C AC AD ∠=
=． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是
39
13
．
【点睛】
关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作
111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平
面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33
【分析】
（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .
（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . （3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】
（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ， 由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .
（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥， 又PA CD ⊥，DM
CD D =，所以PA ⊥平面PCD .
（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，
213433334
D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.
【点睛】
要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.
22．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】
（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明； （2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小. 【详解】 （1）
AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，
1AB B E ∴⊥，
BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，
12BE B E ∴=222
11BE B E BB +=，
1BE B E ∴⊥，
AB BE B ⋂=，
∴B 1E ⊥平面ABE ；
（2）
11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，
且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，
由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离， 由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，
则11
1
1
11332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=
，解得AB =
则11A B AB == 在111Rt A B C △
中，1111111tan B C C A B A B ∠=
==11130A C B ∴∠=， 即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角． 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ
）6
. 【分析】
（Ⅰ）通过1B C AB ⊥和AB AC ⊥可得AB ⊥平面1AB C ，即得证； （Ⅱ）设1
1BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，可得EBO ∠为1BC 与平面
11ABB A 所成角，求出相关长度即可求解.
【详解】
（Ⅰ）证明：∵1B C ⊥平面ABC ，∴1B C AB ⊥， 又AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=， 所以AB ⊥平面1AB C ，
AB ⊂平面11ABB A ，
所以平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）设1
1BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，
∵平面1AB C ⊥平面11ABB A 于1AB ，∴OE ⊥平面11ABB A ， ∴EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，
由已知2AB AC ==，123BB =，得12B C =，122B A =， ∴223BO BC OC =
+=，
在等腰直角1AB C 中，22
OE =， 所以2
sin OE EBO OB ∠==
，即1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26
. 【点睛】
方法点睛：求线面角或面面角的常用方法，根据图形结构常用建立坐标系利用向量法求解或直接用几何法求解，向量法的往往更简单有效. 24．（1）证明见解析；（2）3
V =. 【分析】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为3
2
，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．
因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形， 所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，AB
BD B =，所以EC ⊥平面ABD ，
因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥． （2）因为在菱形BCDE 中，π
3
EDC ∠=，2BC BE ==， 所以2CE =，23BD =．
因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以13
42
BH BD ==
． 因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ， 又π3ABD ∠=
，所以3
tan 2
AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32． 即三棱锥D ABC -的高为3
2
. 易得BCD 的面积11
231322
BCD
S
BD OC =
⋅=⨯⨯=， 所以三棱锥D ABC -的体积133
3322
A BCD D ABC V V --==⨯⨯=
. 【点睛】
方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下： （1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3
. 【分析】
（Ⅰ）通过证明平面//OFG 平面PAB ，进一步得出结论； （Ⅱ）利用等体积法即11
24
A PF
B A PDB P ABCD V V V ---==，进一步求出答案. 【详解】
（Ⅰ）如图，连接OF ，OG ∵O 是BD 中点，F 是PD 中点，
∴//OF PB ，而OF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴//OF 平面PAB ，
又∵O 是AC 中点，G 是BC 中点，
∴//OG AB ，而OG ⊂/平面PAB ，AB 平面PAB ，
∴//OG 平面PAB ，又OG
OF O =
∴平面//OFG 平面PAB ，即//FG 平面PAB .
（Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AO ⊥，又四边形ABCD 为菱形， ∴BD AO ⊥，又AD DB D =，∴AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点，
∴111122sin 60224433
A PF
B A PDB P ABCD V V V ︒---===⨯⨯⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本题主要考查立体几何的知识点，属于中档题. 立体几何常用的三种解题方法为： （1）分割法; （2）补形法; （3）等体积法.
26．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ，然后在1Rt C OC ∆中求解. 【详解】
（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中， 点O 是BD 中点 ， 又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥
11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，
BD ∴⊥平面1C OC ，
又∵BD ⊂平面11BDD B ， ∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．… （2）由（1）知：
平面1C BD ⋂平面CBD BD =，
11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD
所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角
则在正方体1111ABCD A B C D -中11,2
C C OC ==
∴在1Rt C OC ∆中，11tan C C
C OC OC
∠=
=
故二面角1C BD C -- ．
【点睛】
本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.。