D8-7方向导数、梯度

方向导数或记为
z l
. ( x0 , y0 )
y

l
P0(•x0, y0 ) P( x0 x, y0 y)
o
x
2．方向导数的计算法
定理 若函数 z = f ( x , y )在 ( x0, y0 ) 可微 , 那末
函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有
f l
( x0 , y0 )
grad f ( x, y) fx( x, y)i f y( x, y) j
2．梯度与方向导数的关系
（1）
z l
grad f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
grad f
l
证：
z l

fx ( x, y)cos

f y( x, y)cos
（3）f 在点P处沿哪个方向的方向导数最小？
其值是多少？
grad f (1,2,1) (1,1,2)
(2) 令 l grad f (1,2,1) (1,1, 2), 则
f l
(1,2,1) grad f (1, 2,1)
6
（3） f 在点P处沿 grad f (1,2,1) (1,1,2)
fx( x, y), f y( x, y) cos ,cos
grad f ( x, y) (cos ,cos ) cos
grad f ( x, y) 1 cos
a b =
（1）
z l

grad
f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
例1 求函数 f ( x, y) x2 y2 在点(0, 0) 处沿方向
l (1,2)的方向导数，问 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处的偏导
数是否存在？
解
z l
(0,0)
lim
0
f (x, y)
f (0,0)
y
(0 x,0 y)
( x)2 ( y)2
o( )
（*）
令 0,
注意到
lim
0
o(
)

0,
(*)式两边取极限得
f l
( x0 , y0 )

f x
( x0 , y0 )
cos

f y
( x0 , y0 ) cos
f l

( x0 , y0 )
lim
0
f ( x0
x, y0
y)

f x
(
x0 ,
y0 )
cos

f y
( x0 , y0 ) cos
其中 cos ,cos 为 l 的方向余弦．
注1 , 是向量 l 与 x, y 轴正向的夹角； 注2 若 l (a,b), 则有 (cos ,cos ) 1 l
l
证 z f ( x, y)在 P0( x0 , y0 ) 可微 y

x同, y理0 fy (y0),
0)
也f ( x不0,存y0在)
可类似地定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点
P0( x0, y0, z0 )处 沿方向 l 的方向导数.
计算公式为： u l ( x0 , y0 ,z0 )
f x
P0

cos


f y
例3 设 f ( x, y) x2 y3 3x, 求 grad f ( x, y),
grad f (1,2)
解： fx 2x y3 3 , f y 3x2 y2 点(1,2)处 f x 13, f y 12
grad f ( x, y) (2x y3 3) i (3x2 y2 ) j , grad f (1,2) 13 i 12 j
P0

cos



f z
P0 cos
其中cous , cos , cos l ( x0 , y0 ,z0 )
为(l定的义方式向)余弦。

注
lim
0
f
l( x0
(a,bx,cy0), 有 y, z0 z) (cos ,cos ,cos )
沿点 P 到点D(3, 2 , -1)方向的方向导数. 解 l PD (3 1,2 1,1 1) (2, 1, 2),
| PD | 22 12 (2)2 3
l
的方向余弦为
cos

2 3
,
cos

1 3
,
cos


2 3
.
ux y2(3 z), uy 2xy(3 z), uz xy2,

f y
( x0 , y0 ) cos
例1 求 z x2 xy2 在点P(1,1) 处沿下列方向 的方向导数。 （2）沿 P(1,1) 到点 Q(1 3,0)
zx (1,1) 1, zy (1,1) 2
(2) l PQ ( 3,1), | l | 2
y

cos

f x
cos
( x0 , y0 )

f y
cos
( x0 , y0 )

o(
)
（*）
f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )

f x
( x0 , y0 )
cos

f y
( x0 , y0 ) cos
在点(x , y)处的梯度，记为grad f (x,y), 即 grad f ( x, y) fx ( x, y)i f y( x, y) j 类似地， 对于 u f ( x, y, z), 规定： grad u grad f ( x, y, z)
fx(x, y, z)i f y(x, y, z) j fz(x, y, z)k

cos
3 2
,
cos


1 2
z l
(1,1)

1 (
3 2
)

(2)

(
1 2
)

1

3 2
f l
( x0 , y0 )

f x
( x0 , y0 )
cos

f y
( x0 , y0 ) cos
例2 求函数 u x y2(3 z) 在点P(1,1,1)处
在三维空间中向量场：
例如由可微函数 f ( x, y, z) 可确定一个向量场
grad f (x, y, z) fx(x, y, z)i f y(x, y, z) j fz(x, y, z)k
（这个场称为梯度场）
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习题P105 1, 2, 5, 7, 8, 10.
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
为, , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, ) 的方向导数为
f f cos f cos
点(1,1,1)处 ux 2, uy 4, uz 1
u l
Pul(1,1ux,1)Pc2os23

4u y
1
3
P
co(s1)
(u z
2) 3
P
cos130
二、梯度
1． 梯度的定义 定义 称向量 fx ( x, y)i f y( x, y) j 为z=f (x,y)
的方向导数最小，方向导数的最小值为
gfradgfr(a1d,f2(,x1,) y, z) co6s grad f
l
其中 为 grad f 与 l 的夹角．
l
三、向量场
场： 物理量在空间的分布
数量场 (场中物理量为数量)
场
如: 温度场, 电位场等
向量场(场中物理量为向量)
如: 力场,速度场等
例4 设 f ( x, y, z) ln x y z2, 点P (1, - 2 ,1),
（1）求 f 在点P处的梯度；
（2）求 f 在点P处沿该点梯度方向的方向导数；
（3）f 在点P处沿哪个方向的方向导数最小？
其值是多少？
解
(1)
f x

1 x
,
f y
1,
f z

2z
grad f
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、向量场
一、方向导数
1．方向导数的概念
z f ( x, y) 在P0(x0 , y0)处, 沿方向 l 的方向导数
f l
( x0 , y0 )
lim
0
f ( x0

x,
y0
y)
f
( x0, y0 )
其中 ( x)2 ( y)2 ,
到点 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 4 . ((96考研)
解:
(2, 2,1),
cos 2 , cos 2 , cos 1
3
3
3
u l P

u x P
cos u
y P
cos

u z
cos4
P
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备用题 1. 设
求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数;
解 点M (1,1,1)处切线的方向向量
l
f l
M

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
fx cos
f y cos

fz cos

(1,1,1)
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例2. 函数 u x( y2 3z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
lim
1,
l y
即 z l
lim
x0
0
(0,0) 1
f (x,0)
( x)2
f (0,0) x
( y)2
lim
x0
|

x x
|
,
o
x x
此及限不存在．
f故 l (
f
x0 ,
x (0,l0im) 不f存( x在0 .
y0 ) 0
z注= f (l x,(ya,)b在,c点), (有x0, y0 ) 沿方向 l 的方向导数
f l
(
x0
,
y(0c)os,fxco(sx0,
y,0c)ocsos)
1f ly
l
(
x0
,
y0
)
cos

例1 求 z x2 xy2 在点P(1,1) 处沿下列方向的
方向导数。（1） ,（2）沿点 P 到点Q(1 3,0).

f x
i

f y
j

f z
k

(
1 x
,
1,
2z)
所以 grad f (1,2,1) (1,1,2)
grad f ( x, y, z) fxi f y j fzk
例4 设 f ( x, y, z) ln x y z2, 点P (1, - 2 ,1),
（2）求f 在点P处沿该点梯度方向的方向导数；
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
gra d
f



f f f ,,
x y z

• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx ( x, y) , f y ( x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
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4
解 （1） zx 2x y2, zy 2xy y
点(1,1)处 zx 1, zy 2
cos
2 2
,
cos
2 2

P
o
x
z
l (1,1) 1
2 2

(2)
2 2
2 2
f l
( x0 , y0 )

f x
(
x0
,
y0
)
cos
f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
β
P0
y
x
o

f x
( x0 , y0 )
x

f y
( x0 , y0 ) y o( )
x
等式两边同除 得
x

cos

f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
f ( x0,
y0 )
类似地，三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点
P0( x0, y0, z0 )处 沿方向 l 的方向导数为
u l ( x0 , y0 ,z0 )


f x
P0

cos


f y
P0

cos



f z
P0 cos
其中cos , cos , cos 为 l 的方向余弦。
grad f
l
（2） 若 l 与 grad f ( x, y) 同向, 则
f
grad f ( x, y)
l 最大
若 l 与 grad f ( x, y) 反向, 则 f
grad f ( x, y)
l 最小
注1 沿梯度方向的方向导数最大，方向导数
的最大值等于梯度的模。
注2 对三元函数也有类似于(1)和(2)的结论。