2016年河北省沧州市高考数学文科模拟试卷(4月)(有答案)

2016年河北省沧州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{1}D．∅2．设复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A． B． C．D．3．同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为5的概率为（）A．B．C．D．4．焦点为（6，0）且与双曲线﹣y2有相同渐近线的双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A．0 B．2 C．4 D．0或46．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．57．命题p：直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0互为平行的充要条件是a=﹣2；命题q：若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或￢q”为假C．命题“￢p且q”为真D．命题“p或q”为假8．设f（x）是定义在R上的恒不为0的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x﹣y）=，已知f（1）=2，a n=f（n），n∈N+，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n+1﹣29．某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（）A．4 B．6 C．8 D．910．函数y=sinx（cosx﹣sinx）（0≤x≤）的值域为（）A．[，1+] B．[﹣，1﹣]C．[0，1]D．[﹣，1﹣]11．已知点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，A，B在抛物线上，点F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段AB的垂直平分线必过点（）A．（3，0）B．（5，0）C．（3，2）D．（5，4）12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，则函数f（x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，满足||=1，||=， +=（，1），则cos＜，＞=______．14．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围是______．15．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，该四棱锥外接球的体积为8π，则△PBC的面积为______．16．已知a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=1，b=2cosC，sinCcosA﹣sin（﹣B）sin（+B）=0，则△ABC的内角B的大小为______．三、解答题：17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，且a5+a6=24，S3=15．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下：甲班：92，80，79，78，85，96，85乙班：81，91，91，76，81，92，83（Ⅰ）若竞赛成绩在90分以上的视为“优秀生”，则从“优秀生”中任意选出2名，乙班恰好只有1名的概率是多少？（Ⅱ）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况．19．在三棱ABC﹣A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，AC⊥AB，AB=2，AC=AA′=3，（Ⅰ）若F为线段B′C上一点，且=，求证：BC⊥平面AA′F；（Ⅱ）若E，F分别是线段BB′，B′C的中点，设平面A′EF将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为V1和V2，求V1．20．如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）已知点E坐标为（4，0），直线l经过点F2（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，求△ABE面积的最大值．21．已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF=（Ⅰ）求BD；（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平向直角坐标系中，直线l：（t为参数，0≤α＜π），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4cosθ（I）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且=2，求tanα[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣1|（1）解不等式f（x）≤2+2x；（2）设a＞0，若关于x的不等式f（x）+5≤ax解集非空，求a的取值范围．2016年河北省沧州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|y=x2，x∈R}=R，∴A∩B=A={﹣1，0，1}，故选：A．2．设复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A． B． C．D．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则|z|===．故选：B．3．同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为5的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】使用排列数公式计算基本事件个数和符合条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式计算概率．【解答】解：同时掷两个均匀的正方体骰子，共有•=36个基本事件，其中向上的点数之和为5的基本事件共有4个，分别是（1，4），（2，3），（3，2）（4，1）．∴向上的点数之和为5的概率为P=．故选：A．4．焦点为（6，0）且与双曲线﹣y2有相同渐近线的双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设所求的双曲线方程是﹣y2=K，由焦点（6，0）在x轴上，知k＞0，截距列出方程，求出k 值，即得所求的双曲线方程．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是﹣y2=K，∵焦点（6，0）在x轴上，∴k＞0，由2k+k=c2=36，∴k=12，故所求的双曲线方程是：﹣=1．故选：A．5．执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A．0 B．2 C．4 D．0或4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出x=的值，分类讨论求出对应的x的范围，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出x=的值，∵输出结果为2，∴或，∴解得x=4．故选：C．6．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．5【考点】分段函数的应用．【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（2））=f（22﹣3×2+1）=f（﹣1）==．故选：C．7．命题p：直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0互为平行的充要条件是a=﹣2；命题q：若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或￢q”为假C．命题“￢p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：对a分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．对于命题q：若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，可得α∥β或相交，即可判断出真假．【解答】解：命题p：a=﹣1时，两条直线不平行；a≠﹣1时，两条直线方程分别化为：y=﹣x+，y=﹣x﹣，由于两条直线相互平行，∴，，解得a=﹣2或1．∴直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0互为平行的充要条件是a=﹣2或1，因此p是假命题．命题q：若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题．对以上两个命题，下列结论正确的是命题“p或q”为假．故选：D．8．设f（x）是定义在R上的恒不为0的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x﹣y）=，已知f（1）=2，a n=f（n），n∈N+，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n+1﹣2【考点】数列与函数的综合．【分析】令x=n，y=1，由条件可得f（n）=f（n﹣1）f（1）=2f（n﹣1），进而发现数列{a n}是以2为首项，以2的等比数列，运用等比数列的求和公式可以求得S n．【解答】解：对任意实数x，y∈R，都有f（x﹣y）=，且f（1）=2，a n=f（n），可得f（x）=f（x﹣y）f（y），令x=n，y=1，可得f（n）=f（n﹣1）f（1）=2f（n﹣1），即有数列{a n}是2为首项，2为公比的等比数列，则a n=2n，S n==2n+1﹣2．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（）A．4 B．6 C．8 D．9【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为底面边长分别为3，4的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为2．【解答】解：由三视图可知该几何体为底面边长分别为3，4的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为2．故其体积V=×2=8．故选：C．10．函数y=sinx（cosx﹣sinx）（0≤x≤）的值域为（）A．[，1+] B．[﹣，1﹣]C．[0，1]D．[﹣，1﹣]【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．【分析】由三角函数公式化简可得y=sin（2x+）﹣，由0≤x≤和三角函数的值域可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得y=sinx（cosx﹣sinx）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣≤sin（2x+）﹣≤1﹣，故选：D11．已知点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，A，B在抛物线上，点F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段AB的垂直平分线必过点（）A．（3，0）B．（5，0）C．（3，2）D．（5，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的方程，由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x1+x2+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），∵点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，∴抛物线方程为y2=4x，其准线x=1．∵|AF|+|BF|=8，∴由定义得x1+x2+2=8，则x1+x2=6．设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）．由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|，即（x1﹣m）2+y12=（x2﹣m）2+y22，即（x1+x2﹣2m）（x1﹣x2）=4x2﹣4x1=﹣4（x1﹣x2），∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2m=﹣4．又∵x1+x2=6，∴m=5，∴点C的坐标为（5，0）．即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）．故选：B．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，则函数f（x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简y=f（x+1）﹣1=（x+1）3+a（x+1）2+b（x+1）+1﹣1=x3+（3+a）x2+（3+2a+b）x+1+b+a，从而可得，从而化简出f（x）=x3﹣3x2+2x+1，求导f′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1=3（x﹣1﹣）（x﹣1+）以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的个数．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx+1，∴y=f（x+1）﹣1=（x+1）3+a（x+1）2+b（x+1）+1﹣1=x3+3x2+3x+1+ax2+2ax+a+bx+b=x3+（3+a）x2+（3+2a+b）x+1+b+a，∵函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，∴，解得，a=﹣3，b=2；故f（x）=x3﹣3x2+2x+1，f′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1=3（x﹣1﹣）（x﹣1+），故f（x）在（﹣∞，1﹣）上是增函数，在（1﹣，1+）上是减函数，在（1+，+∞）上是增函数；且f（1﹣）=1+1﹣﹣﹣4+2+2﹣+1＞0，f（1+）=1+1++﹣4﹣2+2++1＞0，∴函数f（x）的零点个数为1，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，满足||=1，||=， +=（，1），则cos＜，＞=0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件求出，，然后求解cos＜，＞．【解答】解：向量，满足||=1，||=， +=（，1），可知=（0，1），=（，0），则cos＜，＞==0．故答案为：0．14．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围是[，]．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣2，﹣3）的斜率，由图象知CD的斜率最小，AD的斜率最大，其中C（0，2），由得，即A（﹣，1），由，解得，即C（4，﹣1）则CD的斜率z==，AD的斜率z═=，即≤z≤，故答案为：[，]．15．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，该四棱锥外接球的体积为8π，则△PBC的面积为2•．【考点】球内接多面体．【分析】利用四棱锥外接球的体积为8π，求出四棱锥外接球的半径，利用勾股定理求出BC，即可求出△PBC的面积．【解答】解：设四棱锥外接球的半径为R，则∵四棱锥外接球的体积为8π，∴=8π，∴R=3，设BC=x，则4R2=4+4+x2，∴x=，∴△PBC的面积为==2•，故答案为：2•．16．已知a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=1，b=2cosC，sinCcosA﹣sin（﹣B）sin（+B）=0，则△ABC的内角B的大小为．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】a=1，b=2cosC，利用正弦定理可得：sinB=2sinAcosC．由sinCcosA﹣sin（﹣B）cos（﹣B）=0，利用诱导公式可得：sinCcosA﹣sin（2×﹣2B）=0，利用倍角公式可得：2sinCcosA=1﹣2sin2B，联立化简即可得出．【解答】解：∵锐角△ABC中，a=1，b=2cosC，∴，可得sinB=2sinAcosC．∵sinCcosA﹣sin（﹣B）sin（+B）=0，sin（+B）=，∴sinCcosA﹣sin（﹣B）cos（﹣B）=0，∴sinCcosA﹣sin（2×﹣2B）=0，∴sinCcosA﹣cos2B=0，∴2sinCcosA=1﹣2sin2B，∴2sin（A+C）=sinB+1﹣2sin2B，∴2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=，B∈，∴B=．故答案为：．三、解答题：17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，且a5+a6=24，S3=15．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5+a6=24，S3=15．∴2a1+9d=24，3a1+3d=15，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+==．18．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下：甲班：92，80，79，78，85，96，85乙班：81，91，91，76，81，92，83（Ⅰ）若竞赛成绩在90分以上的视为“优秀生”，则从“优秀生”中任意选出2名，乙班恰好只有1名的概率是多少？（Ⅱ）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（Ⅱ）画出茎叶图，根据众数和中位数的概念求出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，再求出平均数、方差，分析即可．【解答】解：（Ⅰ）乙班有四名学生成绩为优秀，设为a1，a2，a3，甲班有两名学生成绩为优秀，设为b1，b2，则选取两名成绩为优秀的学生的所有可能为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10种可能，其中乙班恰好只有1名的有6种可能，故乙班恰好只有1名的概率是概率P==；（Ⅱ）茎叶图如图．甲班学生成绩的众数85，乙班学生成绩中位数83，=（78+79+80+85+85+92+96）=85，=（76+81+81+83+91+91+92）=85，= [（78﹣85）2+（79﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（92﹣85）2+（96﹣85）2]=40 = [（76﹣85）2+（81﹣85）2+（81﹣85）2+（83﹣85）2+（91﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=34统计结论甲班的平均成绩等于乙班的平均成绩；②乙班的成绩比甲班的成绩更稳定．19．在三棱ABC﹣A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，AC⊥AB，AB=2，AC=AA′=3，（Ⅰ）若F为线段B′C上一点，且=，求证：BC⊥平面AA′F；（Ⅱ）若E，F分别是线段BB′，B′C的中点，设平面A′EF将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为V1和V2，求V1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）过A作AM⊥BC，垂足为M，连结MF，通过计算CM，BM可得，于是MF∥BB′∥AA′，于是AM⊂平面AA′F，再利用侧棱AA′⊥底面ABC得出BC⊥AA′即可得出结论；（II）作出截面A′EF左右两侧的几何体，则右侧为四棱锥，且底面为矩形，高与AM相等，利用三棱柱的体积减去V2即为V1．【解答】解：（I）过A作AM⊥BC，垂足为M，连结MF，∵AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA′⊥BC，∵AB⊥AC，AB=2，AC=3，∴BC==，AM==．∴CM==，BM=BC﹣CM=．∴．∴MF∥BB′∥AA′，∴AM⊂平面AA′F．又AA′⊂平面AA′F，AM∩AA′=A，∴BC⊥平面AA′F．（II）取CC′中点N，连结EN，AN，AE，∵AA′⊥平面ABC，AA′∥BB′，∴BB′⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，AM⊂平面ABC，∴BB′⊥AM，BB′⊥BC，又AM⊥BC，BC⊂平面BB′C′C，BB′⊂平面BB′C′C，BC∩BB′=B，AM⊥平面BB′C′C，===3．∴V2=V A′﹣B′C′NE=S△ABC•AA′==9，又V ABC﹣A′B′C′∴V1=V ABC﹣V2=6．﹣A′B′C′20．如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）已知点E坐标为（4，0），直线l经过点F2（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，求△ABE面积的最大值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）根据题意，|MP|=|MF2|，则|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|，故M的轨迹C是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点M的轨迹C的方程．（2）设直线l的方程为x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3m2+4）y2+6my﹣9=0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（1）根据题意，|MP|=|MF2|，则|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|，故M的轨迹C是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，a=2，c=1，所以b=，所以点M的轨迹方程为=1．（2）设直线l的方程为x=my+1，代入=1，可得3（my+1）2+4y2=12，∴（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴E到直线l的距离为d=，|AB|=|y1﹣y2|∴△ABE面积S=|y1﹣y2|=18，设3m2+4=t（t≥4），则S=18==，∵t≥4，∴t=4，m=0时，△ABE面积的最大值为．21．已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣+alnx，∴f′（x）=1++，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=1++≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，∵y=﹣x﹣在[1，+∞）上单调递减，∴y≤﹣2，∴a≥﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）=，若h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣m，∴x2=，从而有m=﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈[，1]则h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（）=2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），令φ（x）=2lnx﹣（x2﹣），x∈[，1]．则[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，φ′（x）=﹣，当x∈（，1]时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在[，1]上单调递减，φ（x）min=φ（1）=0，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF=（Ⅰ）求BD；（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等，运用全等三角形的判定，可得△ABD≌△AFD，即可得到BD=DF；（2）运用对应角相等，证得△DEF∽△FEA，可得EF2=ED•EA，设DE=x，求得EA，再由直角三角形DEF，运用勾股定理，解方程可得DE．【解答】解：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，∠ABD=∠AEC，∠DEC=∠DFC，即有∠ABD=∠AFD，又∠BAC的平分线交BC于点D，可得∠BAD=∠FAD，且AD=AD，可得△ABD≌△AFD，则DB=DF=；（2）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，∠DFE=∠DCE，∠DCE=∠BAE=∠EAC，∴∠DFE=∠EAF，又∠DEF公用，∴△DEF∽△FEA，∴=，∴EF2=ED•EA．设DE=x，由AD=3，可得EA=3+x，可得EF2=x（3+x），在直角三角形DEF中，可得DE2+EF2=DF2，即有x2+x（3+x）=14，解得x=2（负的舍去）．则DE的长为2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平向直角坐标系中，直线l：（t为参数，0≤α＜π），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4cosθ（I）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且=2，求tanα【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C：ρ=4cosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．（II）把直线l：（t为参数，0≤α＜π）代入曲线C的直角坐标方程可得：t2+2tsinα﹣3=0，由=2，可得t1=﹣2t2．再利用根与系数的关系及其三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：（I）曲线C：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得：x2+y2=4x．（II）把直线l：（t为参数，0≤α＜π）代入曲线C的直角坐标方程可得：t2+2tsinα﹣3=0，∴t1+t2=﹣2sinα，t1t2=﹣3．∵=2，∴t1=﹣2t2．联立可得：sin2α=．∴==，解得tan2α=．∵0≤α＜π，∴tanα=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣1|（1）解不等式f（x）≤2+2x；（2）设a＞0，若关于x的不等式f（x）+5≤ax解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解不等式即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）≤2+2x，∴|x2﹣1|≤2+2x，x≥1或x≤﹣1时，x2﹣1≤2+2x，解得：1≤x≤3，x=﹣1，﹣1＜x＜1时，1﹣x2≤2+2x，成立，综上，﹣1≤x≤3；（2）①x≥1或x≤﹣1时，f（x）+5≤ax，即x2﹣1+5≤ax，即x2﹣ax+4≤0，令h（x）=x2﹣ax+4，若不等式f（x）+5≤ax解集非空，则△=a2﹣16≥0，解得：a≥4或a≤﹣4，②﹣1≤x≤1时，f（x）+5≤ax，即1﹣x2+5≤ax，即x2+ax﹣6≥0在[﹣1，1]有解，令g（x）=x2+ax﹣6，若不等式f（x）+5≤ax解集非空，则f（1）≥0即可，解得：a≥5，综上，a≥4或a≤﹣4．2016年9月19日。