数学物理方法勒让德函数

C’是 u 绕 u=x 的环路。由柯西公式：
⑸
1 d 1 d ( ) l (u 2 − 1) l |u = x = l ( ) l ( x 2 − 1) l 2 ⋅ l! du 2 ⋅ l! dx
l
⑹
即有展式系数： al(x)=Pl(x) # ⑺
4
l =0 l =0
∞
∞
⑶
比较两边 r 的系数： xPl(x)-Pl-1(x)= (l+1)Pl+1(x)-2xlPl(x)+(l-1)Pl-1(x) 整理，即有[1]式： （2l+1）xPl(x)=(l+1)Pl+1(x)+lPl-1(x) (l≥1) # ⑵ Pl(x)与其导数之间关系： Pl(x)= Pl+1’(x)-2xPl’(x)+Pl-1’(x) 证明：由生成函数，两边对 x 求导：
王瑞平：数理方法
第十二章第 1 节
二、 Pl(x)的生成函数和递推关系 各种特殊函数递推关系是进行运算的有力 工具，它的求解主要用到对应函数的母函数。 1、Pl(x)生成函数—母函数：考察在 z-轴单位长 度 a=1m 处，点电荷电量 q= 4πε0 在空间产生 的电势。它与φ角无关：
Ud =
1 1 = d 1 − 2r cos θ + r 2
2
l+1
(l≥1)
王瑞平：数理方法
第十二章第 1 节
对[1]式求导，由[2]式消去 Pl-1’(x)： （l+1）Pl(x)= Pl+1’(x)-xPl’(x) 由[2]、[3]式，消去 Pl+1’(x)： lPl(x)= xPl’(x)- Pl-1’(x) 由[3]、[4]式，消去 x Pl’(x)： （2l+1）Pl(x)= Pl+1’(x)- Pl-1’(x) [5] （对称导数） [4] （下阶导数） [3] (上阶导数)
∞
[1] ⑴
1 1 − 2rx + r 2
= ∑ r l Pl ( x)
l =0
两端对 r 求导：
∞ x−r = ∑ lr l −1 Pl ( x) (1 − 2rx + r 2 ) 3 / 2 l =0
⑵
两边同乘(1-2rx+r2)，得到：
( x − r )∑ r l Pl ( x) = (1 − 2rx + r 2 )∑ lr l −1 Pl ( x)
d dy [(1 − x 2 ) ] + l (l + 1) y = 0 dx dx
解：由递推关系[6]式： （x2-1）Pl’(x)=lx Pl(x)-lPl-1(x) 两边求导： ⑴
dP d [(1 − x 2 ) l ] = −lPl − l[ xPl '− Pl −1 '] dx dx
由递推关系[4]式： l Pl(x)= [xPl’(x)- Pl-1’(x)] 消去[..]： ∴
= ∑ Al r l Pl (cos θ )
l =0
∞
[3]
右端实际上是关于 r=0 邻域的泰勒展开式。为确定 Al，令 cosθ=1(θ=0)，利用 Pl(1)=1：
∞ 1 = ∑ Al r l 1 − r l =0
[4]
而左端：
∞ 1 = ∑rl 1 − r l =0
[5]
比较两式，求得：Al=1。最后得到，在单位球内，电势分布为：
⑵
⑶
dP d [(1 − x 2 ) l ] + l (l + 1) Pl = 0 dx dx
#
⑷
Pl(x)满足方程，说明了理论的自洽性。
例题 2：直接由生成函数的泰勒展开式求 Pl(x)的微积分表示。 （郭书 P268） 解：把（1-2xt+t2）-1/2 在 t=0 邻域做泰勒展开：
3
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变[3]式：l→l-1: lPl-1(x)= Pl’(x)- xPl-1’(x)。于[4]式消去 xPl-1’(x)： （x2-1）Pl’(x)=lx Pl(x)-lPl-1(x) [6]
[1]～[6]式是常用的 Pl(x)的递推关系式，通常用来计算含勒让德多项式的积分。
例题 1：由递推关系，求证勒让德多项式满足勒让德方程：
∞ r = ∑ r l Pl ' ( x) (1 − 2rx + r 2 ) 3 / 2 l =0
l
⑷
(l≥1)
[2]
⑴
两边同乘(1-2rx+r2)，得到：
r ∑ r l Pl ( x) = (1 − 2rx + r 2 )∑ r l Pl ' ( x)
l =0 l =0
∞
∞
⑵
比较两边 r 的系数，即有关系式[2]： Pl(x)= Pl+1’(x)-2xPl’(x)+ Pl-1’(x) # ⑶ 其它递推关系： 由[1]和[2]式，可以得到其它关系式。
[1]
在空间处，电势满足拉氏方程，因此具有拉氏方程一般解的形式：
1 1 − 2r cos θ + r 2
= ∑ ( Al r l + Bl
l =0
∞
1 r l +1
) Pl (cos θ )
[2]
在单位球内 r<1：r=0，电势为有限值，所以：Bl=0。 即有：
1 1 − 2r cos θ + r 2
1 1 − 2r cos θ + r 2
= ∑ r l Pl (cos θ )
l =0
∞
[6]
同理在单位球外 r>1，无限远处，势有限：Al=0，Bl=1。展式为：
1 1 − 2r cos θ + r 2
=∑
l =0
∞
1 r l +1
Pl (cos θ )
[7]
这是关于 r>1 区域，以 r0=0 为展开式中心的洛朗级数。 即 Pl(x)为函数(1-2rx+r2)-1/2(x=cosθ)的关于矢径 r 展开式系数。后者称为 Pl(x)的母函数
第十二章第 1 节
(1 − 2 xt + t 2 ) −1 / 2 = ∑ al ( x)t l
l =0
∞
⑴
其中：
al =
1 i 2π
(1 − 2 xt + t 2 ) −1 / 2 dt ∫C t l +1
⑵
C 为沿正方向绕 t=0 环路，围道中没有根式奇点。令：
(1 − 2 xt + t 2 )1 / 2 = 1 − ut
1
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第十二章第 1 节
或生成函数。 2、Pl(x)的递推关系：递推关系是特殊函数关系式的数学关系，也是勒让德函数主要性质之 一。 ⑴ Pl(x)与相邻勒让德函数勒让德函数之间关系： （2l+1）xPl(x)=(l+1)Pl+1(x)+lPl-1(x) 证明： 由生成函数： (l≥1)
得到（x 作为参数） ：
⑶
t=
代入：
2(u − x) ; u2 −1
dt = −2
1 − 2 xu + u 2 du (u 2 − −1 ] 2 1 − 2(1 − 2 xu + u 2 ) − 1 u ⋅ al = du i 2π ∫C ' 2(u − x) l +1 (u 2 − 1) 2 [ 2 ] u −1 1 (u 2 − 1) l = du i 2π ∫C ' 2 l (u − x) l +1 [1 −