组合性质的应用PPT教学课件

2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
解题策略
✓ 1特殊元素优先安排的策略; ✓ 2不相邻元素插空处理的策略; ✓ 3相邻问题采取捆绑处理的策略; ✓ 4“正”难则“反”,等价转化的策略; ✓ 5平均分组问题用除法处理、先整体后
局部的策略.
棱锥、圆锥的体积
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
解一二三、补利将形用四，体面将积体三公分棱式割为 D 锥锥三VD补棱四-A面成锥B体一CE＝-个A13BS正E△和方BC三体D·h棱。
E C
小结：
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。
2、三棱锥体积的证明分两步进行： ⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） ⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
1
V锥体＝ 3 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
作业：
1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求 三棱锥的体积。
3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。
小结： 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 1 V三棱锥＝ 3 Sh
B B B B B BB
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’
❖ 2 马路上有编号为1,2,3,…,9的9只路灯,为了 节约用电,现要求把其中的3只灯关掉,但是不 能关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的 路灯,求满足条件的关灯的方法有多少种?
巩固提高
❖ 3 空间有10个点,无任何三点共线,且无四点共圆,只有某4 点共面,求 (1)可确定多少个平面? (2)可作多少个四面体?
组合性质及应用
巩固练习
❖ 1 求值: ❖2 解方程: ❖3 ❖4
补充练习
❖ 从5双号码不同的鞋中任取4只鞋, (1)其中任取4只有多少种不同的取法? (2)所取的4只中没有2只是同号的取法
有多少种? (3)所取的4只中有1双是同号的取法有
多少种? (4)使至少有2只鞋配成一双的可能取
法种数是多少?
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把V三三棱棱锥＝锥113S以h△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
A’
3 C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
❖ 4 平面内有10个点,其中有某4个点在一条直线上,此外没 有3点在一条直线上, (1)可以确定多少条直线? (2)可以确定多少个三角形? (3)可以确定多少个四边形?
❖ 5 平面内有相异的11个点,有且仅有n(3≤n≤11)个点在一 条直线上,过每两点作直线共有50条不同的直线, (1)求n值; (2)求这11个点可以确定多少个圆?
１
A
2
B’ 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
△BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等
C（顶∵点V三都棱是柱＝A1）13
∵V1＝V2＝V3＝ Sh。
1 3
V三棱锥。
B
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
面内，用平行于平面α的任一平面去截截它面们分，别与底面相似，
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分wenku.baidu.com是S1、S2，
那么 ∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
补充练习
❖ 1 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量 的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少 种?
❖ 2 已知集合｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝,其中含五个元 素且至少有2个偶数的子集有多少个?
❖ 3 3名医生和6名护士,被分配到3所学校为学生体 检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法 有多少种?
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
B θ
E
D
＝13
1
×2
BC
·ED
·AD
＝
1 3
×1
2
BC
·AEcosθ·AD
C
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
１
和另两个三棱
A
C 锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
3
C’
1
A
2 B’
h S
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
＋
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同
平均分组问题
❖ 1 把10人平均分成两组,再从每组中选出正负组 长各一名,共有多少种选法?
❖ 2 4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里,要 求不能有空盒,则有多少种不同的方法?
❖ 3 9件不同的玩具,按照下列分配方案各有几种 分法? (1)甲得2件,乙得3件,丙得4件,有多少种分法? (2)一人2件,一人3件,一人4件,有多少种分法? (3)每人3件,有多少种分法? (4)平均分成三堆,有多少种分法? (5)分成2、2、2、3四堆,有多少种分法?
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
3、柱体体积公式的推导：
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
❖ 4 有翻译人员11人,其中有5人仅通英语,4人仅通 法语,还有两人英、法皆通,现欲从中找出8人,其 中4人译英语,另4人译法语,一共可列多少张不同 的名单?
巩固提高
❖ 1 要从12人中选出5人去参加一项活动,按照 下列要求有多少种不同的选法? (1)A,B,C三人必须入选; (2)A,B,C三人不能入选; (3)A,B,C三人只有一人入选; (4)A,B,C三人至少一人入选; (5)A,B,C三人至多两人入选.
C’ A’
D’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
个解平法行？六面
B’
体呢？或者
四棱柱呢？
C
D
A
B
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？
A
问问题题棱12、、长你解如为法能果a的？有改正几为四种求面
体A-BCD的体积。
B
你能有几种解法？
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’ A’ A’ A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
2 B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
1
A
C
C C C C C C C CC
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？ A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过程中的 A
3×
2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？