人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习
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5.2.2导数的四则运算法则
[A级 基础巩固]
1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( ) A.-1 B.-2
C.2 D.0
解析:选B ∵f′(x)=4ax3+2bx为奇函数,
∴f′(-1)=-f′(1)=-2.
2.函数y=
x2
x+3
的导数是( )
A.x2+6x
(x+3)2
B.
x2+6x
x+3
C.
-2x
(x+3)2
D.
3x2+6x
(x+3)2
解析:选A y′=(x2x+3)′=(x2)′(x+3)-x2(x+3)′
(x+3)2=
2x(x+3)-x2
(x+3)2
=
x2+6x
(x+3)2
.
3.曲线f(x)=x ln x在点x=1处的切线方程为( )
A.y=2x+2 B.y=2x-2
C.y=x-1 D.y=x+1
解析:选C ∵f′(x)=ln x+1,∴f′(1)=1,又∵f(1)=0,∴在点x=1处曲线f(x)的切线方程为y=x-1.
4.设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选D y′=a-
1
x+1
,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.
5.已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为( )
A.1 B.±1
C.-1 D.-2
解析:选A 设切点为(x0,y0),则y0=3x0+1,且y0=ax30+3,所以3x0+1=ax30+3①.对y=ax3+3求导得y′=3ax2,则3ax20=3,ax20=1②,由①②可得x0=1,所以a=1.
6.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.
∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
7.已知曲线y1=2-1
x
与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0=________.
解析:由题知y′1=1
x2
,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为
1
x20
,3x20-2x0+2,所
以3x20-2x0+2
x20
=3,所以x0=1.
答案:1
8.已知函数f(x)=f′(π4)cos x+sin x,则f(π4)的值为________.解析:∵f′(x)=-f′(π4)sin x+cos x,
∴f′(π4)=-f′(π4)×22+22,
得f′(π4)=2-1.
∴f(x)=(2-1)cos x+sin x.
∴f(π4)=1.
答案:1
9.求下列函数的导数:
(1)y=x-ln x;(2)y=(x2+1)(x-1);
(3)y=
x2
sin x
;(4)y=
x+3
x2+3
.
解:(1)y′=(x-ln x)′
=(x)′-(ln x)′=
1
2x
-
1
x
.
(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′
=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+(x)′-(1)′=3x2-2x+1.
(3)y′=(x2)′·sin x-x2·(sin x)′
sin2x
=2x sin x-x2cos x
sin2x
.
(4)y′=1·(x2+3)-(x+3)·2x
(x2+3)2
=-x2-6x+3 (x2+3)2
.
10.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.
解:∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,
∴切点为(1,-1).
c,
13.曲线y=
x
2x-1
在点(1,1)处的切线为l,则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是
________.
解析:y′=-
1
(2x-1)2
,则y′Error!=-1,∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,圆心(-2,0)
到直线的距离d=22,圆的半径r=1,∴所求最近距离为22-1.
答案:22-1
14.已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0.
(1)求a,b的值;
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线l:y=-1
4
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f(x)=x3+ax+b的导数f′(x)=3x2+a,
由题意可得f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6,解得a=1,b=-16.
(2)∵切线与直线y=-1
4
x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f′(x0)=3x20+1=4,
∴x0=±1.
由f(x)=x3+x-16,
可得y0=1+1-16=-14,
或y0=-1-1-16=-18.
则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即4x-y-18=0或4x-y-14=0.
[C级 拓展探究]
15.设f n(x)=x+x2+…+x n-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求f n′(2);
(2)证明:f n(x)在(0,23)内有且仅有一个零点(记为a n),且0<a n-12<2n3n+1.解:(1)由题设f n′(x)=1+2x+…+nx n-1.
所以f n′(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,①
则2f n′(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n,②
①-②得,-f n′(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n
=1-2n
1-2
-n·2n=(1-n)·2n-1,
所以f n′(2)=(n-1)·2n+1.
(2)证明:因为f(0)=-1<0,x≥0,n≥2.
f n(23)=2
3[1-
(2
3)n
]
1-
2
3
-1=1-2×(23)n≥1-2×(23)2>0,
所以f n(x)=x+x2+…+x n-1为增函数,所以f n(x)在(0,23)内单调递增,
因此f n(x)在(0,23)内有且仅有一个零点a n.
由于f n(x)=x-x n+1
1-x
-1,
所以0=f n(a n)=a n-a n+1n
1-a n
-1,
由此可得a n=1
2
+
1
2
a n+1n>
1
2
,故
1
2
<a n<
2
3
.
1 2=
1
2
a n+1n<
1
2
×(23)n+1=2n3n+1.
所以0<a n-。