人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习

5.2.2导数的四则运算法则
[A级　基础巩固]
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．函数y＝
x2
x＋3
的导数是( )
A.x2＋6x
(x＋3)2
B.
x2＋6x
x＋3
C.
－2x
(x＋3)2
D.
3x2＋6x
(x＋3)2
解析：选A　y′＝(x2x＋3)′＝(x2)′(x＋3)－x2(x＋3)′
(x＋3)2＝
2x(x＋3)－x2
(x＋3)2
＝
x2＋6x
(x＋3)2
.
3．曲线f(x)＝x ln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　y′＝a－
1
x＋1
，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
解析：选A　设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－1
x
与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝1
x2
，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为
1
x20
，3x20－2x0＋2，所
以3x20－2x0＋2
x20
＝3，所以x0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′(π4)sin x＋cos x，
∴f′(π4)＝－f′(π4)×22＋22，
得f′(π4)＝2－1.
∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.
∴f(π4)＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝
x2
sin x
；(4)y＝
x＋3
x2＋3
.
解：(1)y′＝(x－ln x)′
＝(x)′－(ln x)′＝
1
2x
－
1
x
.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′
sin2x
＝2x sin x－x2cos x
sin2x
.
(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x
(x2＋3)2
＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2
.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
c，
13．曲线y＝
x
2x－1
在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是
________．
解析：y′＝－
1
(2x－1)2
，则y′Error!＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)
到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.
答案：22－1
14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－1
4
x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－1
4
x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x20＋1＝4，
∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，
可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
[C级　拓展探究]
15．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求f n′(2)；
(2)证明：f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点(记为a n)，且0＜a n－12＜2n3n＋1.解：(1)由题设f n′(x)＝1＋2x＋…＋nx n－1.
所以f n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2f n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－f n′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝1－2n
1－2
－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.
f n(23)＝2
3[1－
(2
3)n
]
1－
2
3
－1＝1－2×(23)n≥1－2×(23)2＞0，
所以f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1为增函数，所以f n(x)在(0，23)内单调递增，
因此f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点a n.
由于f n(x)＝x－x n＋1
1－x
－1，
所以0＝f n(a n)＝a n－a n＋1n
1－a n
－1，
由此可得a n＝1
2
＋
1
2
a n＋1n＞
1
2
，故
1
2
＜a n＜
2
3
.
1 2＝
1
2
a n＋1n＜
1
2
×(23)n＋1＝2n3n＋1.
所以0＜a n－。