河南省商丘市八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列各式：15(1−x)，4xπ−3，x2−y22，1x，5x2−y2，其中分式的个数有（）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
3.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国
际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）
A. 5.19×10−2
B. 5.19×10−3
C. 519×105
D. 519×10−6
4.下列各式分解因式正确的是（）
A. x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B. 2x2−4xy+9y2=(2x−3y)2
C. 2x2−8y2=2(x+4y)(x−4y)
D. x(x−y)+y(y−x)=(x−y)(x+y)
5.若点A（1+m，2）和点B（-3，1-n）关于y轴对称，则（m+n）2的值为（）
A. −5
B. −3
C. 1
D. 3
6.如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，
若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
7.如果分式|x|−1x−1的值为零，那么x等于（）
A. 1
B. −1
C. 0
D. ±1
8.已知：2m=a，2n=b，则22m+2n用a，b可以表示为（）
A. a2+b3
B. 2a+3b
C. a2b2
D. 6ab
9.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，
连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A. 144∘
B. 84∘
C. 74∘
D. 54∘
10.某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的
价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（）
A. 20元
B. 18元
C. 15元
D. 10元
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.分式−76x2y和25xyz的最简公分母是______．
12.已知a+b=12，且a2-b2=48，则式子a-b的值是______．
13.系数化成整数且结果化为最简分式：0.25a−0.2b0.1a+0.3b=________．
14.如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，
∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=______．
15.已知关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m的取值范围是______．
三、计算题（本大题共3小题，共29.0分）
16.计算：
（1）（x-1）2+x（3-x）
（2）（x2y-1）2•（x-1y2）3÷（-x-1y）4
17.解下列分式方程：
（1）2x−11+x=0
（2）2x−1−3x+1=x+3x2−1
18.先化简，再求值：a+3a+2÷a2+6a+9a2−4−a+1a+3，其中
a=(3−5)0+(13)−1−(−1)2．
四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB
于点E，点F在AC上，BE=FC．求证：BD=DF．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交BC的延长线于点N，
交AC于点D，连接BD，AD=6，
（1）求∠N的度数；
（2）求BC的长．
21.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC
的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC；
（2）若BD=8cm，求AC的长．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，
∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
23.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成
的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作______天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称的定义．
2.【答案】D
【解析】
解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式．
故选：D．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是
整式．
3.【答案】B
【解析】
解：0.00519=5.19×10-3，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】A
【解析】
解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误；
D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误；
故选：A．
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】
解：∵点A（1+m，2）和点B（-3，1-n）关于y轴对称，
∴1+m=3，2=1-n，
解得：m=2，n=-1，
则（m+n）2=1．
故选：C．
直接利用关于y轴对称点的性质进而得出m，n的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
6.【答案】D
【解析】
解：∵△EDB≌△EDC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，∠BAD=∠DEB=90°，
∴∠C=30°，
故选：D．
根据全等三角形的性质得到∠DEB=∠DEC=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：∵分式的值为零，
∴，
解得x=-1．
故选：B．
根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x 的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：∵2m=a，2n=b，
∴22m+2n=（2m）2×（2n）2
=a2b2．
故选：C．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
9.【答案】B
【解析】
解：正五边形的内角是∠ABC==108°，
∵AB=BC，
∴∠CAB=36°，
正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，
∴∠ADE=360°-120°-120°-36°=84°，
故选：B．
根据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．
10.【答案】A
【解析】
解：设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，依题意得：-=100，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
故选：A．
设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，根据数量=总价÷单价结合用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】30x2yz
【解析】
解：分式和的最简公分母是30x2yz，
故答案为：30x2yz．
确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
12.【答案】4
【解析】
解：∵a2-b2=（a+b）（a-b），
∴48=12（a-b），
∴a-b=4，
故答案为：4．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题
型．
13.【答案】5a−4b2a+6b
【解析】
【分析】
本题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的
基本性质解答．
【解答】
解：系数化成整数：=．
故答案是．
14.【答案】150°
【解析】
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
【解答】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°.
15.【答案】m＜3且m≠2
【解析】
解：去分母得：m-2=x+1，
解得：x=m-3，
由分式方程的解为负数，得到m-3＜0，且m-3≠-1，
解得：m＜3且m≠2，
故答案为：m＜3且m≠2
分式方程去分母转化为整式，由分式方程的解是负数确定出m的范围即可．此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：（1）原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1；
（2）原式=x4y-2•x-3y6÷x-4y4
=xy4÷x-4y4
=x5．
【解析】
（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；（2）先计算乘方，再计算乘除即可得．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：（1）去分母得：2+2x-x=0，
解得：x=-2，
经检验x=-2是分式方程的解；
（2）去分母得：2x+2-3x+3=x+3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】
两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：原式=a+3a+2÷(a+3)2(a+2)(a−2)-a+1a+3
=a+3a+2•(a+2)(a−2)(a+3)2-a+1a+3
=a−2a+3-a+1a+3
=−3a+3，
∵a=1+3-1=3，
∴原式=−33+3=-12．
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幂、负整数指
数幂及算术平方根得出a的值，继而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、负整数指数幂及算术平方根．
19.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在△DCF和△DEB中，DC=DE∠C=∠BEDCF=BE，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD=DF．
【解析】
因为∠C=90°，DE⊥AB，所以∠C=∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD=DE，已知BD=DF，则可根据HL判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角
形的判定和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）÷2=72°，
∵MN⊥AB，
∴∠BMN=90°，
∴∠N=90°-72°=18°；
（2）∵AB的垂直平分线MN交BC的延长线于点N，
∴∠ABD=∠A=36°，BD=AD=6，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠ACB，
∴BC=BD=6．
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠ABC的度数，再根据
直角三角形的性质可求∠N的度数；
（2）根据线段垂直平分线的性质可求BD=AD，根据等腰三角形的判定和性质可求BC的长．
本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
21.【答案】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBC∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE=12BC=12BD=4cm．
【解析】
（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得
∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得
∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=．
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键
22.【答案】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
AB=ACAD=ADDB=DC，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=12（360°-60°）=150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=12DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．
【解析】
（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23.【答案】（20-a3）
【解析】
解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+=1，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解．
∴x+30=60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）（1-）÷（+）=（20-）天；
故答案为：（20-）；
（3）设甲单独做了y天，
y+（20-）×（1+2.5）≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．
本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．。