高中数学《第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念...》16PPT课件 一等奖名师

求ｔ＝2时的瞬时速度？ h
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ
是时间改变量，可以是正值，
也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
o
2
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t 2＋△ｔ
内平均速度v, 可以得到如下表格.
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
Dx
x+ Dx + x
y
1
x x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
小结：
1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
v s ; t
（3）求极限
lim lim s
s(t t) s(t) .
t x0
定值 13.1".
瞬时速度
思考：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
⑴如何求瞬时速度？
在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极
限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
⑵lim是什么意思？
在其下面的条件下求右面的极限值。
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
思考： １、函数的平均变化率怎么表示？
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时
间内
间内
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t = –0.0001时,
确定的值 13.1.
从物理的角度看,时间间隔 | t | 无限变小时,平均
速度v就无限趋近Hale Waihona Puke Baidut 2时的瞬时速度.因此, 运动员在
t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.
为了表述方便,我们用lim h2 t h2 13.1
t 0
t
表示"当t 2, t 趋势近于0时,平均速度v 趋近于确
解：Vs f (3 Vt) f (3) (3 Vt)2 3 (32 3)
(Vt)2 6Vt
Vs (Vt)2 6Vt
Vt
Vt
Vt 6
f / (3) lim Vs lim(Vt 6) 6
Vt Vt0
Vt 0
练习: 已知y x，求y.
解：D y = x + D x - x =
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
……
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001,
△t =0.000001,
……
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边,
还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个
x0
t
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（(21）) 求求平函均数的变增化量率Δy=fyx(x0+Δt)-f(x0)
（3）求极限
f
lim '(x0 )
x0
y x
一差、二比、三极限
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Vy f (1Vx) f (1)
(1Vx)2 (1Vx) [(1)2 (1)]
(Vx)2 3Vx
平均变化率 Vy (Vx)2 3Vx
Vx
Vx
Vx 3
f / (1) lim Vy lim (Vx 3) 3
Vx Vx0
Vx0
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3 的瞬时速度.
解：Vy f (1Vx) f (1) 3(1Vx)2 3 6Vx 3(Vx)2
Vy 6Vx 3(Vx)2 6 3Vx
Vx
Vx
f / (1) lim Vy lim (6 3Vx) 6
Vx Vx0
Vx0
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率，并求出在该点处的导数．
我们称它为函数y＝f
x
在x＝x
处的导数，
0
记作：f x0 或y x＝x0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
3.1 .2 导数的概念
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1，x 2 ]的平均变化率为
f ( x1) f (x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗 略 的刻画
思考：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10