北师大版选修2-3课件：第一章 5.1 二项式定理

答案
梳理 二项式定理
公式(a＋b)n＝_C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1_b_＋__…__＋__C_rn_a_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_b_n ， 二项式定理
称为二项式定理
二项展开式 等号右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式 二项式系数 各项的系数__C_rn_(r_＝__0_,_1_,2_，__…__，__n_)_叫作二项式系数
跟踪训练 2

已知
x－2xn 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.
(1)求n的值；
n6
解 因为 T3＝C2n( x)n－2－2x2＝ 4C2n x 2 ，
T2＝C1n(
x)n－1－2x＝－2C1n
n3
x2
，
依题意得 4C2n＋2C1n＝162，所以 2C2n＋C1n＝81，
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是 Tr＋1＝C1r0(3 x)10－r(－32x)r ＝Cr10310－r(－23)r·x1023r (r＝0,1,2，…，10). 展开式的第 4 项(r＝3)的二项式系数为 C310＝120.
式中_C_rn_a_n_－_rb_r_叫作二项展开式的第r＋1项，又叫作二项 二项式通项
式通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnrxr ＋…＋xn.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解
方法一
r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210(－3)2＝405.
解答
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1__. 解析 展开式的通项为 Tr＋1＝C9r x9－r(－a)r1xr＝Cr9·(－a)rx9－2r(0≤r≤9， r∈N). 当 9－2r＝3 时，解得 r＝3，代入得 x3 的系数，根据题意得 C39(－a)3＝ －84，解得 a＝1.
解析 答案
(2)已知 n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋2x)n 的二项展开式的 常数项是_1_6_0__. 解析 由题意得n＝6， ∴Tr＋1＝2rC6r x6－2r， 令6－2r＝0得r＝3， ∴常数项为 C3623＝160.
解析 答案
当堂训练
1.(x＋2)8的展开式中x6的系数是
所以n2＝81，n＝9.
解答
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
解
设第 r＋1 项含 x3 项，则 Tr＋1＝C9r(
x)9－r－2xr＝(－2)rC9r
93r
x2
，
9－3r 所以 2 ＝3，r＝1，
所以第二项为含 x3 的项，T2＝－2C19x3＝－18x3.
二项式系数为 C19＝9.
5k
x2
k
·(－1)kak·x 2
＝(－1)kakCk5
5 k
x2
，
令52－k＝32，则 k＝1，
3
∴T2＝－aC15 x 2 ，∴－aC15＝30，
∴a＝－6，故选A.
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解析 答案
4.1－2C1n＋4C2n－8C3n＋16C4n＋…＋(－2)nCnn的值为
A.1
B.－1
√C.(－1)n
方法二
(2x－
1 x2
)5＝
[
1 x2
(2x3
－1)]5＝－
1 x10(1
－2x3)5＝－x110[1－
C15(2x3)
＋C25
(2x3)2－C35(2x3)3＋C45(2x3)4－C55(2x3)5]＝－x110＋1x07 －4x04 ＋8x0－80x2＋32x5.
解答
跟踪训练1 化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1) －C55(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
＋C44(3x)4]＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x ＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037(－23)3＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟
(1)二项式系数都是组合数 Crn(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中 某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数 为 Cnr.例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项 式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
答案
思考2
上述两个等式的右侧有何特点？
答案 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开 式有5项，每一项的次数为4.
思考3
能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？ 答案 能，(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N＋).
解答
引申探究
将本例(1)改为求(2x－x12)5 的展开式. 解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
C45(2x)·(x12)4－C55·(x12)5＝32x5－80x2＋8x0－4x04 ＋1x07 －x110.
解答
命题角度2 展开式中的特定项
例3
Leabharlann Baidu

已知在3

x－
33xn
的展开式中，第
6
项为常数项.
(1)求n；
解
通项公式为
Tr＋1＝Crn
nr
x3
(－3)r
r
x3
＝Crn(－3)r
n2r
x3
.
∵第
6
项为常数项，∴当
r＝5
n－2r 时，有 3 ＝0，即
n＝10.
(2)求含x2的项的系数；
解
n－2r 令 3 ＝2，得
2x)r＝Cr12·2r·x12
3 2
r
，
令 12－32r＝0，得 r＝8. ∴常数项为第9项.
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解析 答案

3.已知
x－
a
5
x
的展开式中含
3
x2
的项的系数为30，则a等于
√A.－6
B.－3
C.3 解析
D.6

x－
a
5
x
的展开式通项
Tk＋1＝Ck5
(3
x＋
1 x
)4
＝
(3
x
)4
＋
C
1 4
(3
x )3(
1 x
)
＋
C
2 4
(3
x )2(
1 x
)2
＋
C
3 4
(3 x)( 1x)3＋C44( 1x)4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. 方法二 (3 x＋ 1x)4＝(3x＋x 1)4＝x12(1＋3x)4＝x12[1＋C14·3x＋C24(3x)2＋C34(3x)3
A.28
√C.112
B.56 D.224
解析 由T2＋1＝C28x8－2·22＝112x6， ∴(x＋2)8的展开式中x6的系数是112.
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解析 答案
2.二项式 (x＋ 2x)12的展开式中的常数项是
A.第6项
B.第7项
C.第8项
√D.第9项
解析
二项展开式中的通项公式为
Tr＋1＝Cr12·x12－r·(
x2
·2r·x

r 3
17r
＝C1r7·2r·x 2

r 3
.
由172－r－3r＝1，解得 r＝9. ∴Tr＋1＝C917·x4·29·x－3，
即 T10＝C917·29·x.其一次项系数为 C917·29.
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解答
本课结束
D.3n
解析 1－2C1n＋4C2n－8C3n＋16C4n＋…＋(－2)nCnn＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n
＝(－1)n.
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解析 答案
5. ( x＋ 32x)n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数.
解 由题意知，C8n＝C9n.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝Cr17
17r
第一章 §5 二项式定理
5.1 二项式定理
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 二项式定理
思考1
我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推 导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式. 答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2 ＋4ab3＋b4.