河南南阳市卧龙区2020年中考第二次模拟考试数学试卷含答案

河南南阳市卧龙区2020年中考第⼆次模拟考试数学试卷含答案
2020年春期九年级第⼆次模拟考试数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题3分,共30分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1. 下列各数中最⼤的负数是（）
A ．13
- B ．12- C ．－1 D ．－3 2. 某种计算机完成⼀种基本计算的时间约为1纳秒（ns ），已知1ns=0.000000001s ，那么该计算机完成15次基本计算所⽤的时间可⽤科学记数法表⽰为（）
A ．81510s -?
B ．91510s -?
C ．81.510s -?
D ．91.510s -?
3. 如图，//CD AB ，点O 在AB 上，OE 平分∠BOD ，OF OE ⊥，D 110∠=?，则∠AOF=（）
A ． 25°
B ． 30°
C ．35°
D ．40°
4. ⼩明同学做了下⾯四道计算题：①()3
25x x =；②222()2x y x xy y --=-+；③22()()x y y x y x +-=-；④3
2631139x y x y ??= ，其中正确的个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5. 关于x 的⼀元⼆次⽅程220x mx m -+-=的根的情况是（）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．m 不确定，所以⽆法判断
6. ⼀个⼏何体由⼤⼩相同的⼩正⽅体组成，如图是它的主视图和左视图，那么组成该⼏何体所需⼩正⽅体的个数最少是（）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
7. 如果⼀组数据6、7、9、x 、5的平均数为2x ，那么这组数据的⽅差是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆⼼，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、
E，将分别以点D、E为圆⼼，⼤于1
2
DE长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若1
BG=，
4
AC=，则△ACG的⾯积是（）
A．1 B．2 C．3
2
D．
5
2
9. 如图1，已知在四边形ABCD中，//
AB CD，90
B
∠-?，AC AD
=，动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的⽅向以1个单位/秒的速度匀速运动，整个运动过程中，△BCP的⾯积S与运动时间t（秒）的函数关系如图2所⽰，则AD的长为（）
A．5 B C．8 D．
10. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平⾏四边形ABCD的顶点A在y轴上，//
AB x轴，已知点B （4，3），D（2，6），固定A、B两点，拖动CD边向右下⽅平⾏移动，使平⾏四边形ABCD的⾯积变为原来的1
3
，则变换后点D的对应点D'的坐标为（）
A．B．C．D．4)
第Ⅰ卷（共90分）
⼆、填空题（每题3分，满分15分）
11.
2
1
2
π
-
-=
．
12.甲⼄两⼈做猜拳游戏，规定每⼈每次⾄少出⼀个⼿指，两⼈出拳⼿指数之和为偶数时甲获胜，则甲获胜的概率为．
13.如图，在△ABC中，90
BAC
∠=?，36
B
∠=?，AD是BC边上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C 落在点F处，DF交AB于点E，则∠DEB= ．
14. 如图，已知在矩形ABCD 中，4AB =，以点A 为圆⼼，AD 长为半径作弧?DE ，交AB 于点E ，以AB
为直径的半圆恰好与边DC 相切，则图中阴影部分的⾯积为．
15.如图，已知在△ABC 中，90ACB ∠=?，2AC =，4BC =，点E 为AB 的中点，D 为BC 边上的⼀动点，把△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点F 处，当△AEF 为直⾓三⾓形时，CD 的长为．
三、解答题：本⼤题8个⼩题，共75分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
16. 先化简，再求值：2344111a a a a a -+??-+÷ ?++??
，其中a 的值从不等式组a <整数。

17.某学校为了解九年级600名学⽣每天的⾃主学习情况，随机抽查了九年级的部分学⽣，并调查他们每天⾃主学习的时间。

根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学⽣⼈数是_________⼈；
（2）图2中⾓α是_________度；
（3）将图1条形统计图补充完整；
（4）请估算该校九年级学⽣⾃主学习时间不少于1.5⼩时有多少⼈.
18.如图，已知在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，以BC 为直径作O e 交AB 于点E ，D 为AC 边的中点，连接
OD 、DE ，
（1）求证：DE 是O e 的切线.
（2）填空：①若3AC =，1AE =，则O e 的半径长是__________.
②当∠A=__________时，四边形OCDE 是正⽅形.
19.如图，为宣传国家相关政策，某村在⼀⼩⼭坡顶端的平地上竖起⼀块宣传牌AB.某数学⼩组想测量宣传牌的⾼度AB ，派⼀⼈站在⼭脚C 处，测得宣传牌顶端A 的仰⾓为40°，DB ⼭坡CD 的坡度1:2i =，⼭坡
CD 的长度为D 与宣传牌底部B 的⽔平距离为2⽶，求宣传牌的⾼度AB.（结果精确到
0.1⽶，参考数据：sin400.64?=，cos400.77?≈，tan400.84?≈ 2.24≈）
20.某茶具店购进了A 、B 两种不同的茶具，1套A 种茶具和2套B 种茶具共需250元；3套A 种茶具和4套B 种茶具共需600元.（1）求A 、B 两种茶具每套的进价分别是多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店准备再购进A 、B 两种茶具共80套，但这次进货时，⼯⼚对A 种茶具每套进价提⾼了8%，⽽B 种茶具每套按第⼀次进价的⼋折，若茶具店本次进货总钱数不超过6240元，则最多可进A 种茶具⼏套？
（3）若销售⼀套A 种茶具可获利30元，销售⼀套B 种茶其可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使本次购进茶具获利最多？最多是多少？
21.如图，点3,42A ?? ???
、(,2)B m 是直线:AB y kx b =+与反⽐例函数(0)n y x x =>图象的两个交点，AC x ⊥轴于点C ，⼰知点D （0，1），连接AD 、BD 、BC ，
（1）求反⽐例函数和直线AB 的表达式；
（2）根据函数图象直接写出当0x >时不等式n kx b x
+>的解集；
（3）设△ABC 和△ABD 的⾯积分别为1S 、2S ，求21S S -的值.
22.已知，在矩形ABCD 中，6AB =，BC 8=，点E 在边CD 上，且4CE =，过点E 作CD 的垂线，并在垂线上矩形外侧截取3EF =，连接AF 、BE 、CF ，将△CEF 绕点C 按顺时针⽅向旋转，记旋转⾓为α，
（1）问题发现：如图1，当0α=?时，AF=_______，BE=_______，AF BE
=_______. （2）拓展探究：试判断：当0sa ≤360°时，5的⼤⼩有⽆变化？仅就图2情况给予证明.
（3）问题解决：当△CEF 旋转⾄A 、E 、F 三点共线时，直接写出线段BE 的长.
23.如图，抛物线22y ax bx =+-经过点A （4，0）、B （1，0），交y 轴于点C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P 是直线AC 上⽅的抛物线上⼀点，过点P 作PH AC ⊥于点H ，求线段PH 长度的最⼤值.
（3）Q 为抛物线上的⼀个动点（不与点A 、B 、C 重合），QM x ⊥轴于点M ，是否存在点Q ，使得以点A 、Q 、M 三点为顶点的三⾓形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.
数学参考答案
⼀、选择题
1-5:ACCDB 6-10:DABBD
⼆、填空题
11.1 12.1325 13.108° 14.23π+15.2或23
三、解答题
16.原式2222
3(1)(1)(2)41(2)(2)2111(2)(2)2a a a a a a a a a a a a a a -+---++-+=÷=?==+++---.
∵a 1a ≠-，2a ≠，a 是整数，
∴为使分式有意义取0a =（或 1）
当0a =时，原式20
120+==-.
（或当1a =时，原式21
321+==-.）
17.（1）40；
（2）54.
（3）（按⼈数为 14 正确补全条形统计图）
（4）148
60033040+?=（⼈）.
估计该校九年级学⽣⾃主学习时间不少于 1.5 ⼩时约有 330⼈.
18. （1）连接 OE ，
∵CD=AD ，CO=BO ，∴DO ∥AB.
∴∠COD=∠B ，∠EOD=∠OEB.
∵OE=OB ，∴∠OEB=∠B.
∴∠COD=∠EOD.
∵OC=OE ，OD=OD ，
∴△COD ≌△EOD.
∵∠ACB=90°，
∴∠DEO =∠ACB=90°.
∵OE 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线.
（2）①
② 45°.
19. 延长AB 交CM 于点E ，过点D 作DF ⊥CM 于点F ，
则四边形BDFE 是矩形，2EF BD ==，BE DF =.
在 Rt △CDF 中，∵ 1:2i =，
∴设 DF x =，则2CF x =.
∵CD = ∴222(2)x x +=.
解得4x =.
∴4DF =，8CF =.
∴8210CE CF EF =+=+=，4BE DF ==.
在 Rt △ACE 中，∵∠ACE=40°，
∴ tan 40AE CE
=?，∴tan40100.848.4AE CE =??≈?=. 答：宣传牌 AB 的⾼度约为 4.4 ⽶.
20. （1）设 A 、B 两种茶具每套的进价分别是 x 元、 y 元，根据题意，可得
2250,34600.x y x y +=??+=?
解得100,75.
x y =??=? 答：A 、B 两种茶具每套的进价分别是100元和75元.
（2）设购进A 种茶具a 套，根据题意，可得
(18%)1000.875(80)6240a a ++?-≤.
解得30a ≤.
答：最多可进 A 种茶具 30 套.
（3）设获利为w 元，则
3020(80)101600w a a a =+-=+.
∵100＞，所以w 随的增⼤⽽增⼤.
∵30a ≤，∴当 30a =时， 1900W =最⼤（元）
此时，8050a -=，
答：进30套A 种茶具，50套B 种茶具，可使本次购进茶具获利最多？获利最多为1900元.
21.（1）∵点3,42A ?? ???在反⽐例函数(0)n y x x =>的图象上，∴ 3462n =?=，∴反⽐例函数的表达式为6(0)y x x =>. 将(,2)B m 代⼊6y x
=中，得632m ==，∴(3,2)B . 将3A ,42?? ???、(3,2)B 代⼊y kx b =+中，得34,23 2.k b k b ?+=+=?，解得4,36 k b ?=-=?. ∴直线 AB 的表达式为463
y x =-+. （2）332
x <<. （3）过点 B 作 BE AC ⊥于点 E ，则 33322BE =-
=. ∴111343222
S AC BE =??=??=. 设直线 AB 与 y 轴交于点F ，则 F （0,6）.
∵D （0,1），∴615DF =-=.
∵点 A 、B 到 DF 的距离分别为
32和3，∴21313153522224BDF ADF
S S S DF =-=??-=??= ???. ∴21153344
S S -=-=. 22.（1）
54. （2）⽆变化. 证明如下：
在图 2 中，连接 AC ，
∵6AB =，8BC =，90CBA ∠=?
，∴410C ==.
∵4CE =，3EF =，
∴ 2AB BC EF CE
==. ∵90CBA CEF ∠=∠=?，
∴ CBA CEF V V ∽.
∴ACB FCE ∠=∠， 2AC CF
=.
∴ACB ACE FCE ACE ∠+∠=∠+∠.
即BCE ACF ∠=∠.
∵ 2AC BC CF CE
==，∴△ACF ∽△BCE. ∴10584
AF AC BE BC ===. （3
. 23.（1）将 A （4,0）、B （1,0）代⼊22y ax bx =+-，得1642020a b a b +-=??+-=?解得1,25.2
a b ?=-=?? ∴抛物线的解析式为215222
y x x =-+-. （2）将0x =代⼊215222
y x x =-+-可得2y =-，∴(0,2)C -. 设直线 AC 的解析式为2y kx =-.
将 A （4,0）代⼊2y kx =-可得12k =
，∴直线 AC 的解析式为122
y x =-. 过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 E.
设 215,2(04)22P t t t t ??-+-<< ，则1,22E t t ??-
. ∴22215111222(2)222222PE t t t t t t ??=-+---=-+=--+
. ∵1122PC S AC PH PE OA ?=
=，
∴22)OA PH PE t AC =?===-+ 当2t =时，PH
. 提⽰：（2）解法⼆
∵△PEH ∽△ACO ，∴PH AO PE AC
=. ∴
AO PH PE AC =?==.
解法三利⽤三⾓函数（3）(2,1)
-.
Q、(5,2)
-或(3,14)。