江苏省镇江市三岔乡中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省镇江市三岔乡中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则（）[来源:学科网]
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）
A．32π
B．16π
C．12π
D．8π
参考答案：
D
3. 已知函数f（x）=，若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，则b的取值范围是( )
A．B．（，+∞）∪（﹣∞，）C．（0，）∪（，1）D．（，）
参考答案：A
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，作出函数f（x）的图象，利用一元二次方程根的分布，建立不等式关系即可得到结论．
解答：解：设t=f（x），则函数等价为y=g（t）=t2﹣2bt+b﹣．
作出函数f（x）的图象如图：
当t＞1或t＜0时，t=f（x）有1个零点，
当t=1或t=0时，t=f（x）有2个零点，
当0＜t＜1时，t=f（x）有3个零点，
若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，等价为方程t2﹣2bt+b﹣=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1，
则，即，
解得≤b＜或＜b≤，
故选：A
点评：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法，结合一元二次函数图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 4. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，则B=（ ）
C
5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，
，绘
制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
参考答案：
B
6. 下列命题：①若，为两个命题，则“
且为真”是“或为真”的必要不充分条件；
②若为：
，则
为：
；
③命题
为真命题，命题为假命题。

则命题
，
都是真命题；
④命题“若，则”的逆否命题是“若
，则
”.其中正确结论的个数是 ( ) A
1 B.
2 C.
3 D.4
参考答案：
A 略
7. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A.50种 B.51种 C.140种 D.141种
参考答案：
D 略
8. 函数
在区间
的简图是 （ ）
参考答案：
A 略
9. 若，则的取值范围
是 (）
A．（0，1） B．（0，）
C．（，1） D．（0，1）∪（1，
+∞）
参考答案：
C
10. 设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
∵奇函数在上是增函数，，，∴，又，∴，从而有函数的图象如图
，则有不等式的解集为解集为或，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l l：y=kx+m l和l 2：y=kx+m2（m l<m2），使得当x∈D时，kx+m1≤f（x）kx+m2恒成立，则称函数f（x）在（x D）有一个宽度为d的通道。

有下列函数：
①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=x3+1
其中在上有一个通道宽度为1的函数题号．
参考答案：
①③
略
12. 已知A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N+}，若|A n|表示集合A n中元素的个数则
|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|= ．
参考答案：
682
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N+}，可得A1═{x|2＜x＜22，x=3m，m∈N+}={3}，|A1|=1；
A2={x|22＜x＜23，x=3m，m∈N+}={6}，|A2|=1；A3={x|23＜x＜24，x=3m，m∈N+}={9，12，15}，
|A3|=3；…，A10={x|210＜x＜211，x=3m，m∈N+}={1026，1029，…，2046}，|A10|=301．由于3，6，9，…，2046，组成等差数列{a n}，首项为3，公差为3，即可得出个数．
【解答】解：∵A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N+}，
∴A1═{x|2＜x＜22，x=3m，m∈N+}={3}，∴|A1|=1；
A2={x|22＜x＜23，x=3m，m∈N+}={6}，∴|A2|=1；
A3={x|23＜x＜24，x=3m，m∈N+}={9，12，15}，∴|A3|=3；
A4={x|24＜x＜25，x=3m，m∈N+}={18，21，24，27，30}，∴|A2|=5；
…，
A10={x|210＜x＜211，x=3m，m∈N+}={1026，1029，…，2046}，∴|A10|=301．
由于3，6，9，…，2046，组成等差数列{a n}，
首项为3，公差为3，
∴2046=3+3（n﹣1），解得n=682．
∴|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=682．
故答案为：682．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. 若实数，满足约束条件
，且
有最大值，则实数
．
参考答案：
14. 在菱形ABCD 中，
，
，E 为CD 的中点，则
．
参考答案：
－4 因为菱形
中，
，为
的中点，
因为，
所以．
15. 函数f （x ）=
（sin 2x ﹣cos 2x ）+2sinxcosx 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ．
参考答案：
（1）π，（2）．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）用三角恒等变换化简函数f （x ），求出f （x ）的最小正周期； （2）根据三角函数的单调性，求出f （x ）的单调增区间即可． 【解答】解：（1）∵函数f （x ）=（sin 2
x ﹣cos 2
x ）+2sinxcosx
=﹣
cos2x+sin2x
=2sin （2x ﹣
），
∴f（x ）的最小正周期为T==π； （2）∵f（x ）=2sin （2x ﹣），
∴令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z；
∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+π，k∈Z； ∴kπ﹣
≤x≤kπ+
，k∈Z；
∴函数f （x ）的单调增区间是[k π﹣，k π+
]，k∈Z．
故答案为：（1）π，（2）
．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
16. 在等差数列{a n }中，a 1＝－7,
，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
参考答案：
17. 已知函数f(x)= ，则函数y ＝f(f(x)) －t (0<t<1)的零点个数是__________.
参考答案：
3
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）（2015秋?成都校级月考）设二次函数f （x ）=ax 2
+bx+c ，函数F （x ）=f （x ）﹣x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）．
（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F （x ）＞0的解集．
（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜，比较f （x ）与m 的大小．
参考答案：
考点：二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x﹣m）（x﹣n），
（1）m=﹣1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；
（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1），根据a＞0且0＜x＜m＜n＜，分析各因式的符号，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意知，F（x）=f（x）﹣x=a（x﹣m）（x﹣n）
当m=﹣1，n=2时，不等式F（x）＞0
即为a（x+1）（x﹣2）＞0．
当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1，或x＞2}；
当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
（2）f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1）
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，即0＜ax＜am＜an＜1；
∴x﹣m＜0，an＜1，
∴1﹣an+ax＞0
∴f（x）﹣m＜0，
即f（x）＜m．
点评：此题是中档题．考查二次函数的两根式，以及不等式比较大小等基础知识和方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
19. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
，．（1）求角A、B、C；
（2）若，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．
参考答案：
（1），，；（2），．
（1）因为A，B均为锐角，，
∴，
∴，
∴
∵B为锐角，∴，
∴，则A的大小为
，·································3分
在△ABC中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，·········································6分
∴．··········································7分
（2）根据正弦定理，
得
， (9)
分
∴．··············12分20. 某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打
折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A，B，C三位顾客各买了一件衣服.
（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；
（2）A，B两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X为打折后两位顾客的消费总额，求X的分布列和数学期望.
参考答案：
解：打5，6，7，8折的概率分别为，
（1）事件为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，
所以；
（2）的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，
，，，
，，
，，
所以的分布列为
2000 2200 2400 2600 2800 3000
3200
元.
21. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD//EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的长。

参考答案：
（1）证明：连接，是的切线，.
又
（2）是的切线，是的割线，
..又中由相交弦定理，
得，.是的切线，是的割线，
略
22. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．
①若，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．
参考答案：
（1）由题设：，，，
椭圆的方程为：
（2）①由（1）知：，设，
则圆的方程：，
直线的方程：，
，，
，
圆的方程：或
②解法（一）：设，
由①知：，即：，
消去得：=2
点在定圆=2上．
略。