2016-2017年广东省茂名市高州中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2016-2017学年广东省茂名市高州中学高二（上）期中数学试卷
（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x＜1}，则M∩N=（）
A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜1}D．{x|x＜2}
2．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）
A．②④B．①③C．①②D．②③
3．（5分）数列{a n}是等差数列，a1+a2=4，a5+a6=20，则该数列的前10项和为（）A．64 B．100 C．110 D．120
4．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）
A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a．b．c成等比数列，且2c﹣4a=0，则cosB=（）
A．B．C．D．
6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）
A．15 B．7 C．8 D．16
7．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则
的值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）函数y=的图象大致为（）
A．B．C．
D．
9．（5分）设x＞0，y＞0，A、B、P三点共线且向量=x+y，则+的最小值（）
A．4 B．2 C．9 D．10
10．（5分）函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）
A．0 B．C．﹣1 D．1
11．（5分）若不等式a2+8b2≥λb（a+b）对任意的实数a，b均成立，则实数λ的取值范围为（）
A．[﹣8，4]B．[﹣4，8]C．[﹣6，2]D．[﹣2，6]
12．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）
A．0 B．﹣100 C．100 D．10200
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=．
14．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与
平面区域D有公共点，则k的取值范围为．
15．（5分）在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2
﹣•x+m=0有实根的概率为．
16．（5分）如图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一
点，以AB为一边作等边三角形ABC．则四边形OACB的面积最大值是．
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，甲、乙两位同学要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠CDB=90°求A，B两点间的距离．
18．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}
中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求a n，b n；
（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．20．（12分）设{a n}是各项都为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S n•b n}的前n项和T n．
21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．
2016-2017学年广东省茂名市高州中学高二（上）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x＜1}，则M∩N=（）
A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜1}D．{x|x＜2}
【解答】解：M={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|x＜1}，则M∩N={x|﹣2＜x ＜1}，
故选：A．
2．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）
A．②④B．①③C．①②D．②③
【解答】解：①若a＞0＞b，则＞，故①错误；
②若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故②正确；
③若a＞|b|，则a＞b，故③正确；
④若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2．故④错误；
故选：D．
3．（5分）数列{a n}是等差数列，a1+a2=4，a5+a6=20，则该数列的前10项和为（）A．64 B．100 C．110 D．120
【解答】解：设公差为d，a1+a2=4，a5+a6=20，
则，
解得a1=1，d=2，
∴S10=10×1+=100，
故选：B．
4．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1
【解答】解：满足的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2
当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a．b．c成等比数列，且2c﹣4a=0，则cosB=（）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，∵a．b．c成等比数列，可得：b2=ac，
又∵c﹣4a=0，可得：c=2a，b=a，
∴cosB===．
故选：B．
6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）
A．15 B．7 C．8 D．16
【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，
∴4a1+a3=2×2a2，
即4+q2﹣4q=0，
即q2﹣4q+4=0，
（q﹣2）2=0，
解得q=2，
∴a 1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
∴S 4=1+2+4+8=15．
故选：A．
7．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（c osα，sinα﹣3）
∴=（cosα﹣3）•cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1
得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1
∴，
故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=
故选：B．
8．（5分）函数y=的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【解答】解：函数y=f（x）=满足f（﹣x）==﹣f（x），
故函数为奇函数，可排除C，D，
或当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x∈（0，）时，y=f（x）＞0函数图象在第一象限，可排除B，
故选：A．
9．（5分）设x＞0，y＞0，A、B、P三点共线且向量=x+y，则+的最小值（）
A．4 B．2 C．9 D．10
【解答】解：∵A、B、P三点共线且向量=x+y，
∴x+y=1，
∵x＞0，y＞0，
∴+=（+）（x+y）=5++≥5+2=9，
当且仅当=，即y=2x时，取等号，
∴+的最小值为9．
故选：C．
10．（5分）函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）
A．0 B．C．﹣1 D．1
【解答】解：∵函数f（x）=sinx在区间[﹣，]上单调增，且f（a）=﹣1，f（b）=1
∴令a=﹣，b=
则=1
故选：D．
11．（5分）若不等式a2+8b2≥λb（a+b）对任意的实数a，b均成立，则实数λ的取值范围为（）
A．[﹣8，4]B．[﹣4，8]C．[﹣6，2]D．[﹣2，6]
【解答】解：b=0时化为：a2≥0，可得λ∈R．
b≠0，化为：﹣+8﹣λ≥0恒成立，
∴△=λ2﹣4（8﹣λ）≤0，即λ2﹣4λ﹣32≤0，
解得﹣8≤λ≤4，
∴实数λ的取值范围为[﹣8，4]．
故选：A．
12．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）
A．0 B．﹣100 C．100 D．10200
【解答】解：∵，
由a n=f（n）+f（n+1）
=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2
=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]
=（﹣1）n+1•（2n+1），
得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选：B．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=．
【解答】解：∵α∈（0，π），cosα=，
∴sinα==，
∴根据诱导公式，得：sin（π﹣α）=sinα=．
故答案为：．
14．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与
平面区域D有公共点，则k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx﹣3过定点D（0，﹣3），
则k AD=，k BD==﹣3，
要使直线y=kx﹣3与平面区域M有公共点，
由图象可知k≥3或k≤﹣3，
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
15．（5分）在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2
﹣•x+m=0有实根的概率为．
【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．
构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的区域为
{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．
所以所求的概率为==．
故答案为：．
16．（5分）如图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一
点，以AB为一边作等边三角形ABC．则四边形OACB的面积最大值是2+．
【解答】解：设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得：
AB2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα，
所以四边形OACB的面积为：
S=S△AOB+S△ABC
=OA•OBsinα+AB2
=×2×1×sinα+（5﹣4cosα）
=sinα﹣cosα+
=2sin（α﹣）+，
∵0＜α＜π，
∴当α﹣=，解得α=π，
即∠AOB=时，四边形OACB面积取得最大值，最大为2+．
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，甲、乙两位同学要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠CDB=90°求A，B两点间的距离．
【解答】解：∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
又CD=40，
∴BD=CD=40，
在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°，∠ADC=30°，
∴∠CAD=45°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，
由正弦定理得：AD==20（+1），
在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos60°=400（+1）2+402﹣800（+1）=2400，
解得：AB=20．
18．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；
（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，
从而估计运动会期间不下雨的概率为．
19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求a n，b n；
（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2 …①
当n=1时，a1=2；
n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+2 …②；
∴由①﹣②得：a n=2a n﹣1
∴{a n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2n．
又∵点P（b n，b n
+1
）在直线x﹣y+2=0上，
∴b n﹣b n
+1+2=0即：b n
+1
﹣b n=2，
又b1=1，∴{b n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b n=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B n=．
∴，
∴++…+==1﹣＜1．
20．（12分）设{a n}是各项都为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S n•b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设各项都为正数的等比数列{a n}的公比是q，且q＞0，
等差数列{b n}的公差是d，
∵a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21，
∴，即，
整理，得2q4﹣q2﹣28=0，q＞0
解得d=2，q=2，
∴a n=2n﹣1，b n=1+（n﹣1）d=2n﹣1．
（Ⅱ）∵{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴S n==2n﹣1，
∵b n=2n﹣1，
∴S n•b n=（2n﹣1）•（2n﹣1）=（2n﹣1）•2n﹣2n+1，
∴T n=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n，
设S=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，①
则2S=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1，②
①﹣②，得：
﹣S=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n+1
=﹣（2n﹣1）•2n+1
=2n+1﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1，
∴S=2+（n+1）•2n+2，
∴T n=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n
=2+（n+1）•2n+2﹣2×+n
=（n+1）•2n+2﹣n2+2．
21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x 1，x2）．
【解答】解：（1）因为f（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因为a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b2﹣4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x1=1，
因为x1+x2=﹣，x1x2=，
所以x2=﹣﹣1=，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以﹣2＜x2＜0．
因为要求f（m）=﹣a＜0，
所以m∈（x1，x2），
因此m∈（﹣2，1），
则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，
于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]
=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，
因为f（x1）≠f（x2），
所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，
所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，
即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．。

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赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60
°
60°
60°
45°
45°
45°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
N
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
=
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。