(徐彦辉)第一章 范希尔的几何思维水平

一、范希尔理论用于课程设计。 最早将范希尔理论用于课程设计的是前苏联学者 二、范希尔理论还被作为不同教材比较研究的理论框架
1.2.2
几何思维水平的评估
范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面： 一是在每个思维水平上设计出相应的测试题
二是利用编制好的测试题考查的范希尔思维水平
1.2.3 几何教学设计
2. 层次1：分析 儿童能分析图形的组成要素及特征，并以此 建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但 无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义； 能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图 形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也 无法导出公式和使用正式的定义。
3. 层次2：非形式化的演绎
1.2
范希尔理论的应用
范希尔的五个思维水平具有双重意义：他们既 可以作为诊断学生几何思维水平的评估指标，也可 以用于设计每个水平上的教学目标与任务。因此， 范希尔理论在几何教学中的应用是多方面的，其中 包括课程编制、能力评估与教学设计等。
1.2.1
几何课程的编制
今天，范希尔模型已经被运用于许多国家的数学课程编制，其中包括荷 兰、德国、俄罗斯与美国。主要应用于两方面：
阶段4：自由定向 在这个阶段学生碰到多步作业或能以不同方式完成作业。在寻找方法和解决问题 的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的 关系越来越明确。
阶段5：整合 学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的 思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此， 教师要小心，不要提出新的或不一致的观点。
第一章 范希尔的几何思维水平
1.1

范希尔理论 范希尔理论的应用
1.2
1.3
研究展望
1.1
范希尔理论
范希尔理论的核心内容： 一、几何思维的五个水平（五水平）
二、与之对应的五个教学阶段（五阶段）
1.1.1
几何思维水平(五水平)
1. 层次0：视觉 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何 构图元素；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名 称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题， 但无法使用图形的特征或要素名称来分析图形，也无 法对图形做概括的论述。
层次0：视觉 层次1：分析 层次2：非形式化演绎 层次3：形式的演绎 层次4：严密性 阶段1：学前咨询 阶段2：引导定向 阶段3：阐明 阶段4：自由定向 阶段5：整合
在第五个阶段结束时，新的思维水平就获得了。
阶段1：学前咨询 教师和学生进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理 解要学习的课题。 阶段2：引导定向 教室仔细安排活动顺序，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构 的特性。 阶段3：阐明 教室仔细安排活动顺序，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构 的特性。
一是根据下面的定义的5个模式描述相应的思维模式的类型。
模
式
知识类型
默会的知识 直觉的知识
感觉动机 想象
具体符号
形式 后形式
书面知识
作为理论知识 元理论知识
这些模式至少与皮亚杰的理论至少有两个重要的区别：第一，新发展的模式并不 包含或者代替原来的模式；相反，原先的模式继续发展并为后来获得的模式提供 支持。第二，后来发展的模式可以协助先前发展的模式进一步发展。
二是利用水平的划分对模式进行定性的分析。SOLO把抽象程度 和题目上的复杂程度分为五个水平（或结构）
SOLO层次 前结构
规则描述
学生无法解决问题或只会重复问题，不能理解要点 学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点之间没有 联系；理解是有名无实的。 学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将它们有机的联 系起来
不适配性：一水平，一阶段 水平的不连续性：一水平到另一水平的过渡不是平缓的
1.1.4
范希尔理论与SOLO理论的比较
一、SOLO分类法简介
人在学习新知识过程中表现出来的思维阶段是可以观察到的，因此称 为“观察到的学习结果结构” 即SOLO分类法，其理论基础是结构主义学 说和皮亚杰认知发展阶段理论，它要求学生从两个方面做出反应：
范希尔模型用于学生几何活动水平的定位
水平 活动
辨 认
水平0
水平1
水平2
水平3
物理特征 —— 列出物理特征 基于物理特征的 外延性分类 ——
数学性质 只能运用具有简 单结构的定义 列出数学特征 基于数学特征的 外延性分类 举例证明
—— 任何定义 充分性和必要 性的集合 沟通外延与内 涵的联系 非正式的逻辑 证明
5. 层次4：严密性
在这个层次能在不同的公理系统下严谨 的建立定理，以分析比较不同的集合系统。
到了20世纪80年代，范希尔又把五个思维水平合并为三个
1.直观水平——整体的认识几何对象
2.描述水平——通过几何性质认识几何对象
3.理论水平——利用演绎推理证明几何关系
1.1.2
几何教学阶段
对应几何和思维的五个水平，范希尔夫妇提出了五个 教学阶段：
2. SOLO分类可以应用于所有学科，儿而范希尔理论只适用于几何课程。
3. SOLO体系给出了过度水平，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过 度，而范希尔理论聚焦于每个层次上的教学设计。
1.1.5
范希尔理论与皮亚杰理论做对比
差异：
1. 皮亚杰与范希尔最大的区别就是：前者讨论的是认知发展阶段，后者给出 的是几何思维水平。
单结构 多元结构 关联结构
扩展抽象
整合个部分内容使其成为一个有机的整体
学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次
为了弥补SOLO输入法由于概念模糊造成的分类不稳定等问题， 伯奈特、曲格韦尔等人在SOLO分类法中加入了三个层次，这样 使得分类更加明确，如下表：
层次
前结构 单结构 低级 多元结构 中级 高级 低级 关联结构 中级 高级
—— 理解等价定义
运用定义
行程定义 分 类
证明等价定义 —— 正式的数学证 明
证
明
1.3
研究展望
一、是否存在其它的几何思维水平？
二、如何细化个水平的评价指标？
三、如何刻画不同几何教学内容（或活动）的范希尔思维水平？
四、如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？
五、如何考查不同年级学生的范希尔思维水平？ 六、我国学生在范希尔水平上是否存在性别差异？ 七、如何帮助学生在不同思维水平之间过渡？ 八、范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？ 九、能否吧范希尔理论推广到其它教学内容？
2. 两个理论的研究目的不一样，皮亚杰主要是研究思维随年龄发展的情况， 而范希尔则试图帮助教师改进教学。前者没有改变课堂，而后者带来了课 堂的变化。 3. 皮亚杰认为影响过渡的主要因素是活动，而范希尔认为是语言。 4. 皮亚杰认为逻辑思维的发展独立于学习内容，而范希尔认为，教学是一个 重要的控制因素。 5. 皮亚杰的研究重点在构建几何概念，他比较深入的探究了几何概念的形成 过程；而范希尔的研究则在于建构集合系统的逻辑顺序，其理论偏向几何 知识内容，较少研究每个水平所涉及的认知过程。
由于范希尔理论侧重于在每个水平上对教学任务与学生 活动进行描述与分析，因此它也就自然成为一个教学设计的 理论框架。于是，在水平测试的基础上，一些研究者尝试利 用范希尔理论去设计教学单元和教学阶段，考查能否由此改 变学生的思维水平。 在运用范希尔理论进行教学设计之前，一件很重要的工 作就是根据具体的教学材料，建立课堂活动与范希尔思维水 平之间的对应关系。下面我们将给出一个初步框架。
1.1.3
范希尔理论的特点
根据克劳雷的说法，范希尔几何水平有以下几个特点：
次序性：学生几何思维水平的发展是循序渐进的 进阶型：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成 长或心理成熟自然而然的。不可能跳过一水平到达下一水平 内隐性及外显性：某层的内隐性变成下一水平的外显性
语言性：一层次，一语言
儿童能建立图形及图形性质间的关系，可以提出 非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探 求图形的内在属性和其包含关系，使用公式预定义及 发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重 要性，不能由不熟悉的前提去证明结果的成立，也不 能建立定理网络之间的内在关系。
4. 层次3：形式的演绎
学生可以了解到，证明的重要性和了解“不定义元 素”、“公理”和“定理”的意义，确信几何定理是 需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必 须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证 实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定 义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关 系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证 明中的必要与充分条件。
代码
0 1 2 3 4 5 6 7
扩展抽象
8
二、在SOLO结构中，与评价有关的四个特点
• 评价的目标是学习者反映的结构质量
• 分类广泛
• 分类有多个维度
• 其结构中隐含着重要的、普遍的学习原则
三、SOLO分类与范希尔理论在许多方面的比较
相似： 1. 两者都为教师提供了一种评价学生思维的途径。 2. 两者都可以作为一种教学的框架。 3. 在各级反应上，学生的反应指标有些类似。 区别： 1. SOLO水平侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体能 力的变化。
次层次 描 述
无法理解问题，胡乱猜想或重复 仅提到了一个相关信息 注意到2-3个问题询问相关特征，但没有进一步阐 述 注意到许多相关特征，但没有进一步阐述 注意到许多相关的特征，并用图解阐述每一点 根据少数内容概括观点或形成图形 整合多个部分内容，形成观点或图形 对整个章节的主要概念进行综合概括 概括整个章节的观点，质疑或批评传统实践或学 科概念的基本含义